2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.5.1两角差的余弦公式教案(表格式）

两角差的余弦公式
教学目标要求
理解推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义；
能利用两角差的余弦公式进行简单的化简、运算、证明，发展数学运算素养。
教学重难点
重点：两角差的余弦公式的推导与应用。
难点：两角差的余弦公式的推导与解决给值求值（求角）问题。
3、教学基本流程
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4、教学情境设计
设计意图 师生活动
前面我们已经学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换。观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角（π/2的整数倍）与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数恒等关系。 如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α和β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系？ 例如当要求计算cos 15°时，有些同学会想到利用cos(60° 45°)或cos(45° 30°)，但此时不知道该式的结果是什么？ 所以接下来我们要探究cos(α β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系。 通过前面学习的诱导公式，提出问题来引起学生思考，再通过实际的数学问题来引导学生进一步的思考。 教师引导学生思考。通过实际数学问题：计算cos 15°，来引导学生通过计算cos(60° 45°)或cos(45° 30°)，但因知识有限，只能探究cos(α β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系来解决该题。
教师通过ppt演示，直观的体现出AP=A1P1，最后通过两点间的距离公式来得到相应的公式。 P1(cos α，sin α)，A1(cos β，sin β)，P(cos (α β)，sin (α β))。 因为AP=A1P1，根据两点间的距离公式得[cos(α β) 1]2+sin2(α β) =(cos α cos β)2+(sin α sin β)2 化简得 cos(α β)=cos αcos β+sin αsin β 当α=2kπ+β(k∈Z)时，容易证明上述仍然成立。 所以，对于任意角α，β有cos(α β)=cos αcos β+sin αsin β（C(α β)）
探究点一：公式的简单应用（证明、化简、求值） 例：1.cos 15°=____________； 2.化简cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β为_________； 3.利用公式C(α β)证明： （1）cos(π/2 α)=sin α；（2）cos(π α)= cos α。 练：（1）化简 sin(x+y)sin(x y) cos(x+y)cos(x y)的结果为( ) A. cos 2y B. cos 2x C. cos 2y D. cos 2x C. cos 2y D. cos 2x B. cos 2x C. cos 2y D. cos 2x （2）cos 75°=____________. 通过例题初步感受两角差的余弦公式的应用，再通过两个练习来加深学生对该探究点的印象。 解：1.cos 15°=cos(60° 45°) =cos60°cos45°+sin60°sin45°=×+×=； 2.原式=cos[(α+β) β]=cos α； 3.（1）cos(π/2 α)=cos(π/2)cos α+sin(π/2)sin α=0×cos α+1×sin α=sin α； （2）cos(π α)=cos π cos α+sin π sin α=( 1) cos α+0 sin α= cos α。 练习让学生自主思考，并让学生上台板演。
探究点二：给值求值问题 例：已知sin α=4/5，α∈(π/2,π)，cos β= 5/13，β是第三象限角，求cos(α β)的值。 练：若α，β均为第二象限角，满足sin α=3/5，cos β= 5/13，则cos(α β)=( ) A. 33/65 B. 16/65 C. 56/65 D. 33/65 (拔高)若sin α sin β=/2，cos α cos β=1/2，则cos(α β)的值为( ) A. 1/2 B. /2 C. 3/4 D. 1 通过探究点二让学生感受到同角三角函数的基本关系与两角差的余弦公式的结合，再通过一道练习来巩固该题型。接着通过拔高题来让学生感受这类题型的其它考察方式。 解：∵sin2α+cos2α=1，且α为第二象限角，则cos α= 3/5。同理得，sin β= 12/13。 ∴cos(α β)=cos α cos β+sin α sin β=( 3/5) ( 5/13)+4/5 ( 12/13)= 33/65. 而练习让学生在下面自主思考，并让一位学生上台进行板演。 拔高题教师不能直接给出答案，而是通过提示来引导学生思考，加深学生印象。
探究点三：给值求角问题 例：已知α，β均为锐角，且cos α=2/5，cos β=/10，求角α β。 解：因为α，β都是第一象限角，且sin2α+cos2α=1，sin2β+cos2β=1 所以得sin α=/5，sin β=3/10。因为cos(α β)=cos αcos β+sin αsin β =(2/5)×(/10)+(/5)×(3/10)=/2。所以α β=π/4。 这是一位同学的解答过程，同学们，他做对了吗？ 变式：已知cos α=1/7，cos(α β)=13/14，且0<β<α<π/2，求角β。 该例题是学生的易错题，通过这道题，希望学生能养成一个好习惯，再解之前，应先确定所求的角为第几象限角。 而变式很多学生会选择通过cos α与将cos(α β)展开来解角β，但这样只会让计算更复杂，更算不出结果，应通过α与α β来表示β。 正确解答步骤： 解：因为α，β都是第一象限角，且cos α>cos β，所以α<β。 因为sin2α+cos2α=1，sin2β+cos2β=1，所以得sin α=/5，sin β=3/10。因为cos(α β)=cos αcos β+sin αsin β =(2/5)×(/10)+(/5)×(3/10)=/2。所以α β= (π/4)。 变式的解答过程： 解：因为0<β<α<π/2，所以0<α β<π/2。 因为sin2α+cos2α=1，sin2(α β)+cos2(α β)=1， 得sin α=4/7，sin(α β)=3/14， 因为 cosβ=cos[α (α β)]=cosαcos(α β)+sin αsin(α β) =(1/7)×(13/14)+(4/7)×(3/14)=1/2，所以α β=π/4。
课堂检测： 1.cos 7π/12=( ) A. (+1)/2 B. (1 )/2 C. (+)/4 D. ( )/4 2.已知sin α=/5，sin(α β)= /10，α，β均为锐角，则β=( ) A. 5π/12 B. π/3 C. π/4 D. π/6 3.已知cos α+cos β=1/2，sin α+sin β=1/3，则cos(α β)=( ) A. 13/72 B. 59/72 C. 1/6 D. 1 4.已知α，β都是锐角，sin α=4/5，cos(α+β)= 8/17，则cos β=_________。 通过课堂检测，来巩固相关知识点。 教师下去巡视，遇到学生有哪些问题教师进行当场辅导，同时观察有什么典型错误，稍后指出相关错误让学生加深印象。
5、课堂小结
1.两角差的余弦公式推导过程；
2.公式简单应用（证明、化简、求值）；
3.给值求值问题；
4.给值求角问题。