中小学教育资源及组卷应用平台
26.3 实践与探索（2）导学案
课题 26.3 实践与探索（2） 单元 26 学科 数学 年级 九年级
知识目标 1.知道二次函数图象与x轴交点的个数与相应的一元二次方程的解的个数之间的关系. 2.知道二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解、一元二次不等式的解集.
重点难点 重点：利用图象法求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.
教学过程
知识链接 1.一元二次方程根的判别式：△＝_______________,当＞0时，方程有_____________实数根,当△=0时,方程有_____________实数根, 当△＜0时,方程________实数根。 2.在平面直角坐标系中,函数图像上纵坐标y＞0的点位于x轴的__________，纵坐标y=0的点位于x轴__________，纵坐标y＜0的点位于x轴的__________。
合作探究 一、教材第28页 画出函数ｙ=ｘ2-ｘ-图象，并回答问题： (1)函数图象与ｘ轴交点的纵坐标是______，将这个值代入函数解析式求函数图象与ｘ轴交点的横坐标，这样把二次函数问题转化为_______________问题。 (2)当ｘ=___________时, ｘ2-ｘ-=0. 可见，函数ｙ=ｘ2-ｘ-的图象与ｘ轴交点的___坐标，是函数值y=0时所得一元二次方程方程_____________________的解。 二、教材第28页 试一试 观察函数ｙ=ｘ2-ｘ-图象，分析回答： (1) 当ｘ取值为______________时, ｙ＞0. 即：ｘ2-ｘ-＞0。可见______________为ｙ＞0时，所得一元二次不等式______________的解集。 (2) 当ｘ取值为______________时, ｙ＜0，即：ｘ2-ｘ-＜0。可见______为ｙ＞0时，所得一元二次不等式__________________的解集。 归纳：①二次函数y=ax2+bx+c的图像中，ｘ轴上方的图象所对应的ｘ的取值范围，就是ｙ_____0时所得一元二次不等式____________________的解集。 ②二次函数y=ax2+bx+c的图像中，ｘ轴下方的图象所对应的ｘ的取值范围，就是ｙ_____0时所得一元二次不等式____________________的解集。 三、教材第29页 问题4 育才中学九年级(3)班的学生在上节课的作业中出现了争论：解方程x2=x+3时，几乎所有学生都是将方程化为x2-x-3=0，画出函数y=x2-x-3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的根.唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y=x2和y=x+3的图象，如图所示，认为它们的交点A、B的横坐标-和2就是原方程的解. 思考： (1)这两种解法的结果一样吗 (2)小刘解法的理由是什么
自主尝试 1.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图1所示,若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x1=3,则另一个根x2为 ( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 2. 在平面直角坐标系中,二次函数y1=-x2+4x和一次函数y2=2x的图象如图4所示,那么不等式-x2+4x>2x的解集是 ( ) A.x<0 B.0当堂检测 1．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 2．若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ） A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2 3．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（ ） A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4[ 4．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（ ） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（ ） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 6．如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ） A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3 7．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ） A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8 8．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 _________ ． [ 9．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是 _________ ． 10．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为 _________ ． 11.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 _________ ． [] 12．抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式﹣+x2+1＜0的解集是 _________ ． 13．根据如图的函数图象，可得不等式ax2+bx+c＜的解集为 _________ ． 14. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）请直接写出D点的坐标． （2）求二次函数的解析式． 15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（﹣4，0）、C（0，3）两点． （1）写出方程ax2+bx+c=0的解； （2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1. D 2. D 3.D 4. C 5. D 6.D 7.C 8.0 9.3 10.8 11.﹣1＜x＜3 12.0＜x＜1 13.x＜﹣3或0＜x＜2或x＞3． 14.解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点， ∴对称轴是x==﹣1． 又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴D（﹣2，3）； （2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数）， 根据题意得 ， 解得 ， 所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3； 15.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣4，0）、B（1，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣4，x2=1； （2）由图可知，ax2+bx+c＞mx+n时，﹣4＜x＜0．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
26.3.2实践与探索
华师大版 九年级下册
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式：
2.二次函数的一般形式：
请同学们思考,一元二次方程和二次函数之间是否存在一定的关系呢？若有,它们之间的关系是怎样的呢？
新知讲解
画出函数的图象，根据图象回答下列问题：
(1)图象与x轴交点的坐标是什么？
(2)当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程=0有什么关系？
(3)你能从中得到什么启发？
新知讲解
小贴士
图象与x轴交点的坐标分别是(，0)和(，0)
回顾函数图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数的图象.
新知讲解
当y＝0时,解析式变成一元二次方程,其解为x1=，x2= ,就是抛物线y=与x轴的两个交(,0),(,0)的横坐标.
一元二次方程的解x1，x2就是抛物线y=与x轴的两个交点的横坐标.
归纳
x
O
A
B
y
(1)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2,那么抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点的坐标分别是(x1,0),(x2,0).
(2)求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的方法：
令y=0，则ax2+bx+c=0.一元二次方程的两根x1, x2
就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点的横坐标.
思考
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
新知讲解
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
新知讲解
问题:根据二次函数y=的图象,回答下列问题：
(1)当x取何值时,y<0 当x取何值时,y>0
(2)试用含有x的不等式来描述问题(1).
(1)当当x<或x>时,y>0, 即0.
(-)
()
(2)一元二次不等式<0的解集就是一元二次不等式0的解集就是x<或x>.
归纳总结
(1) 从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。
(2) 从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
典例精析
育才中学九年级（3）班的学生在上节课的练习中出现了争论：解方程时，几乎所有学生都是将方程化为，画出函数y=的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的根。
唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数和的图象，如图，认为它们的交点A、B的横坐标和2就是原方程的根.
新知讲解
你对这两种解法有什么看法？请与你的同伴交流.
归纳总结
A
B
x
O
y
(1)求抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m的交点的
横坐标,就是求一元二次方程ax2+bx+c=kx+m的根.
(2)求抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交点的方法:
联立得方程组:
方程组的解就是交点坐标.
做一做
运用小刘的方法求方程的根，并检验小刘的方法是否合理.
y＝2x2－3x－2
（－0.5，0）
（2，0）
y＝2x2
y＝3x＋2
（－0.5，0）
（2，0）
方程组的解就是对应两个函数图象的交点.
课堂练习
1．关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )
A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为(0，8)
C．图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)
D．y的最小值为－9
2.已知二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1－b，m)，B(2b＋c，m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b＋c的值为( )
A．－1 B．2 C．3 D．4
D
C
课堂练习
3.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2= .
4.4
4.如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0
的根是______.
1
(2,0)
x1=x2=2
课堂练习
5.如图,一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx－2交于A、B两点,且A(1,0),抛物线的对称轴是x=.
(1)求k和a、b的值；
(2)求不等式 kx+1＞ax2+bx－2的解集.
x
y
A
O
B
解:(1)∵y1=kx+1经过点A(1,0)，
∴ 0=k+1，
∴ k=－1.
∵ y=ax2+bx－2经过点A(1,0)，
∴ a+b－2=0 ①，
∵抛物线的对称轴是x=
联立① ②，解得:
a= , b= .
课堂练习
(2)解方程组
解得：
可得kx+1≤ax2+bx－2的解集是-6＜x＜1
则B的坐标是（-6，7）
作业布置
1.课本P30 习题26.3 3,4
2.如图是函数
的图象，根据图象
值范围是 ．
提供的信息，确定使﹣1≤ y ≤2的自变量x的取
课堂小结
变 形
函数图象交点的横坐标
变 形
函数图象交点的横坐标
变 形
变 形
解集是抛物线图象在直线下方的点的横坐标所组成的取值范围
解集是抛物线图象在直线上方的点的横坐标所组成的取值范围
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
26.3 实践与探索（2）教学设计
课题 26.3 实践与探索（2） 单元 26 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.知道二次函数图象与x轴交点的个数与相应的一元二次方程的解的个数之间的关系. 2.知道二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解、一元二次不等式的解集.
重点 利用图象法求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.
难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.一元二次方程的一般形式： 2.二次函数的一般形式： 请同学们思考,一元二次方程和二次函数之间是否存在一定的关系呢？若有,它们之间的关系是怎样的呢？ 学生思考，回答问题 通过回顾以前的知识，为今天的学习做好准备.
讲授新课 问题1 画出函数y=x2-x-的图象，根据图象回答下列问题： (1)图象与x轴交点的坐标是什么 (2)当x取何值时，y=0 这里x的取值与方程x2-x-=0有什么关系 (3)你能从中得到什么启发 教师讲评，并画出函数图象，如图所示. 教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(-，0)和(，0). 让学生完成(2)的解答.教师巡视指导并讲评. 对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识： 从“形”的方面看，函数y=x2-x-的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2-x-=0的解；从“数”的方面看，当二次函数y=x2-x-的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2-x-=0的解.更一般地，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系. 问题2 根据问题1的图象回答下列问题. (1)当x取何值时，y<0 当x取何值时，y>0 (2)能否用含有x的不等式来描述问题(1) 当x<-或x>时，y>0；当-0的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的自变量的取值范围；不等式ax2+bx+c<0的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点对应的自变量的取值范围.因此可用图象法求一元二次不等式的解集. 问题3、 育才中学九年级(3)班的学生在上节课的作业中出现了争论：解方程x2=x+3时，几乎所有学生都是将方程化为x2-x-3=0，画出函数y=x2-x-3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的根.唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y=x2和y=x+3的图象，如图所示，认为它们的交点A、B的横坐标-和2就是原方程的解. 思考： (1)这两种解法的结果一样吗 (2)小刘解法的理由是什么 (3)函数y=x2和y=bx+c的图象一定相交于两点吗 你能否举出例子加以说明 (4)函数y=x2和y=bx+c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2=bx+c的解吗 先让学生回顾函数y=ax2+bx+c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y=x2-x-的图象. 教师巡视，学生合作、交流. 结合图形，学生合作交流，教师引导学生归纳总结。 让学生讨论、交流，发表不同意见，并进行归纳. 利用数形结合的思想，引导学生观察分析，总结规律。 利用数形结合的思想，引导学生观察分析，总结规律。 能够让学生养成自主归纳，提高学生的学习能力.
课堂练习 1．关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( ) A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为(0，8) C．图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0) D．y的最小值为－9 2.已知二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1－b，m)，B(2b＋c，m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b＋c的值为( ) A．－1 B．2 C．3 D．4 3.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2= . 4.如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0 的根是______. 5.如图,一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx－2交于A、B两点,且A(1,0),抛物线的对称轴是x= (1)求k和a、b的值； (2)求不等式 kx+1＞ax2+bx－2的解集. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 二次函数与一元二次方程及一元二次不等式 二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根；当二次函数的值为0时，相应自变量的值即是方程ax2+bx+c=0的解. 二次函数与一元二次不等式的关系： x轴上方的点的横坐标即是ax2+bx+c>0的解集. x轴下方的点的横坐标即是ax2+bx+c<0的解集. 例题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
