浙江省精诚联盟2021-2022学年高二上学期12月联考数学试题（Word版含答案）

精诚联盟2021-2022学年高二上学期12月份联考
数学试题
选择题部分
一．选择题（本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
3．已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ）
A．2 B． C． D．4
4．圆与圆：外切，且与轴相切，则的轨迹方程是（ ）
A． B．和
C． D．和
5．阿基米德是古希腊著名的数学家，物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
6．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（ ）
A．4秒钟 B．5秒钟 C．6秒钟 D．7秒钟
7．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，．若点满足，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．在正项等比数列中，，，的前项和为，前项积为，则满足的最大正整数的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
二．多选题（本题共有4小題，每小题5分，共20分．在每小題给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全都选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）
9．已知圆：和圆：，则（ ）
A．两圆的圆心的距离为25
B．两圆相交
C．两圆的公共弦所在直线方程为
D．两圆的公共弦长为
10．已知，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是（ ）
A．爆炸点在以，为焦点的椭圆上
B．爆炸点在以，为焦点的双曲线的一支上
C．若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到监测点的距离为米
D．若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到监测点的距离为680米
11．已知数列是公差为的等差数列，若存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．符合题意的数列有无数多个 B．符合题意的实数有无数多个
C．符合题意的数列仅有一个 D．符合题意的实数仅有一个
12．设三棱的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点）．记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）
13．直线在轴上的截距为________．
14．设，，若是与的等差中项，则________．
15．已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为________．
16．设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为________．
四．解答题（本题共6小题，共70分．17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知圆：．
（I）求圆的圆心坐标和半径；
（II）已知点，过点作圆的切线，求切线方程．
18．（12分）已知数列是等差数列，是的前项和，，．
（I）求数列的通项公式；
（II）求．
19．（12分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且，是的中点．
（I）求证：平面；
（II）求平面和平面的夹角的余弦值．
20．（12分）已知正项数列的首项，前项和满足
（I）求数列的通项公式；
（II）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）如图，在直角梯形中，，，，点是的中点．将沿折起，使，连接、、，得到三棱锥．
（I）求证：平面平面；
（II）若，二面角的大小为60°，求三棱锥的体积．
22．（12分）已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点且
（I）求的值及椭圆的方程；
（II）设直线平行于（为原点），且与椭圆交于两点、．
（1）当面积最大时，求直线的方程；
（2）当、两点位于直线的两侧时，求证：直线是的平分线．
精诚联盟2021-2022学年高二上学期12月份联考
数学学科参考答案
一．选择题
1-4 CACD 5-8 ABCB
二．多选题
9．BD 10．BD 11．AD 12．AC
三．填空题
13-16 、2、1、12
四、简答题
17．解：（1）圆：，圆的标准方程为：．
圆的圆心，半径为1．
（2）已知点，过点P作圆C的切线，
当切线的斜率不存在时，切线方程为．
当切线的斜率存在时，设切线方程：，即，
此时：，解得，
可得切线方程为：．综上切线方程为：或．
18．解：（I）因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以；
（II）由（I）可知，所以，
所以．
19．（I）证明：因为为正三角形，为的中点，则，
又，，，取的中点，连接，，
所以，又，故，，
所以四边形为平行四边形，
则，平面，平面，故平面；
（Ⅱ）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，故，
同理求出平面的法向量为，
所以，
故平面和平面夹角的余弦值为．
20．解：（1）当时，，∴，即，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，故，
，
因此
（2）当时，，
∴，
又∵，∴，解得或．
即所求实数的范围是或．
21．（1）证明：因为，，且，，平面，
故平面，
又平面，所以，又，，，平面，
故平面，
又平面，故平面平面；
（2）解：取，的中点，，连接，，，
因为，分别为，的中点，则，又平面，
故平面，又平面，则，
因为，分别为，的中点，则，又，
则，因为，，平面，所以平面，
则为二面角的平面角，因为二面角的大小为60°，
所以，
设，则，，，，，，
由的等面积法可得，，解得，
所以三棱锥的体积为．
22．（1）解：设，，则，，
因为，解得，
由在椭圆上，可得，又，解得，，
则椭圆的方程为；
（2）（i）解：由于，设直线的方程为，，，
由可得，
则，解得，
，，则
，
又点到的距离，
所以，当且仅当，即时，等号成立．
所以直线的方程为；
（ii）证明：要证直线为是的平分线，转化为证明，
因此结论成立．