命题与证明（二）
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课件26张PPT。 命题与证明
(二)证明1.一般的,对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题,知识回顾2.说明一个命题是假命题，只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。命题分为真命题与假命题。反例必须是具备命题的条件,却不具备命题的结论3.定理：用推理的方判断为正确的命题；
4.公理：经过人类长期实践后公认为正确的命题；
定理.公理都可以判断其他命题真假的依 据；公理不需要再证明。一、下列语句哪些是命题,哪些不是命题?
正数大于零，零大于一切负数;
两点确定一条直线;
画∠AOB的平分线;
相等的角是全等三角形的对应角;
若c＞a+b,则c＞a,c＞b正确吗？是命题是命题不是命题是命题不是命题练一练二、判断下列命题的真假.
1.有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.
2.素数不可能是偶数.
3.黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.
4.有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.
5.若y(1-y)=0，则y=0.真命题假命题假命题假命题假命题练一练6.正数不小于它的倒数.
7.如果两个角不是对顶角，那么它们不相等.
8.若x＜3，则x2＜9.
9.异号两数相加和为负数.
10.若c＞a+b,则c＞a,c＞b.假命题假命题假命题假命题假命题证明 要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做 证明 。证明命题的一般步骤:(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(4)分析题意,探索证明思路；例1: 已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,
且∠1＝∠2，求证: a∥b.
证明：由∠2=∠3（对顶角相等）
∠2=∠4（已知） 根据：等量代换 得：∠3= ∠1
根据：同位角相等，两直线平行
得： ∥ .
3把三个角拼在一起试试看？三角形3个内角的和是 .如何证明三角形内角和等于180°？试一试！ABC例2：已知:△ABC,
求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:如图,作BC的延长线CD,
过点C作CE∥AB.
∠1= ∠A(两直线平行,内错角相等)
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）,
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).交流你还有什么
不同的方法?关于辅助线：1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）
2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用. 三角形内角和定理 ：
三角形三个内角的和等于180°. 证明：直角三角形两个锐角互余。求证：∠A＋∠B＝90°.练一练已知：如图，△ABC中，∠C=90°. 例3：如图，已知∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD.证明：由：∠1+∠2=180°(已知)，
∠1=∠3（对顶角相等）.
∠2=∠4（ ） 根据：等量代换 得：∠3+ =180°.
根据：同旁内角互补，两直线平行
得： ∥ .对顶角相等∠4AB CD例4：如图，已知：∠1=∠2，∠1=∠B， 求证：AB∥EF，DE∥BC。 证明：由∠1=∠2 （已知），
根据： .
得AB∥EF.
又由∠1=∠B（ ）.
根据：同位角相等，两直线平行
得 ∥ .
内错角相等，两直线平行已知DE BC例5：如图，已知：∠DAF=∠AFE，∠ADC+∠DCB=180°，求证：EF∥BC证明：由：∠DAF=∠AFE （ ）
根据： .
得：AD∥ .
由：∠ADC+ =180°（已知）. 根据： .
得：AD∥ .
再根据： .
得：EF∥BC已知内错角相等，两直线平行EF∠DCB同旁内角互补，两直线平行BC平行于同一直线的两条直线互相平行例6：如图，已知：∠2=∠3， ∠1+∠3=180°， 求证：EF∥GH. 证明：由：∠2=∠3 （已知） ∠1+∠3=180°（ ） 根据： .
得：∠1+∠2=180°.
根据： .
得： 。已知等量代换同旁内角互补，两直线平行EF∥GH例7：如图，已知：∠1=∠2，BD平分∠ABC，试说明AD∥BC. 证明：由BD平分∠ABC（已知）， 根据： .
得：∠2=∠3.
又由：∠2=∠1（已知） 根据： .
得：∠3= . 根据：内错角相等，两直线平行. 得： ∥ .BACD123角平分线定义等量代换∠1AD BC例8：如图，已知：AB∥CD，AE∥BD，试说明∠ABD=∠E. 证明：由 （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等 得：∠ABD= . 由AE∥BD（ ）. 根据： . 得∠BDC=∠E .
再根据：等量代换 得： = .AB∥CD∠ BDC已知两直线平行，同位角相等∠ ABD ∠E例9：如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2，试说明AB∥CD. 证明：由AC∥DE （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等. 得∠ACD= .
又由∠1=∠2（已知）. 根据： . 得∠1=∠ACD . 再根据： . 得 ∥ .∠ 2等量代换内错角相等，两直线平行AB CDABCD1234例10: 如图，已知AD是△ABD
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C证法三： 延长AD ∵∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C∴∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C 即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C例2：如图，已知AG//CF，AB//CD，∠A＝40?， 求∠C的度数。1解:∵ AG//CF(已知)∴ ∠A=∠1(两直线平行,同位角相等)又∵AB//CD(已知)∴ ∠1=∠C(两直线平行,同位角相等)∴ ∠A=∠C(等量代换)∵ ∠A＝40?∴ ∠C＝40?例2： 如图所示 ∠1 =∠2
求证 ： ∠3 =∠4证明：∵ ∠1 =∠2（已知） ∴a//b
(同位角相等,两直线平行) ∴ ∠3 =∠4
(两直线平行，内错角相等)信辛中学
高汉光
(二)证明1.一般的,对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题,知识回顾2.说明一个命题是假命题，只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。命题分为真命题与假命题。反例必须是具备命题的条件,却不具备命题的结论3.定理：用推理的方判断为正确的命题；
4.公理：经过人类长期实践后公认为正确的命题；
定理.公理都可以判断其他命题真假的依 据；公理不需要再证明。一、下列语句哪些是命题,哪些不是命题?
正数大于零，零大于一切负数;
两点确定一条直线;
画∠AOB的平分线;
相等的角是全等三角形的对应角;
若c＞a+b,则c＞a,c＞b正确吗？是命题是命题不是命题是命题不是命题练一练二、判断下列命题的真假.
1.有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.
2.素数不可能是偶数.
3.黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.
4.有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.
5.若y(1-y)=0，则y=0.真命题假命题假命题假命题假命题练一练6.正数不小于它的倒数.
7.如果两个角不是对顶角，那么它们不相等.
8.若x＜3，则x2＜9.
9.异号两数相加和为负数.
10.若c＞a+b,则c＞a,c＞b.假命题假命题假命题假命题假命题证明 要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做 证明 。证明命题的一般步骤:(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(4)分析题意,探索证明思路；例1: 已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,
且∠1＝∠2，求证: a∥b.
证明：由∠2=∠3（对顶角相等）
∠2=∠4（已知） 根据：等量代换 得：∠3= ∠1
根据：同位角相等，两直线平行
得： ∥ .
3把三个角拼在一起试试看？三角形3个内角的和是 .如何证明三角形内角和等于180°？试一试！ABC例2：已知:△ABC,
求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:如图,作BC的延长线CD,
过点C作CE∥AB.
∠1= ∠A(两直线平行,内错角相等)
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）,
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).交流你还有什么
不同的方法?关于辅助线：1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）
2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用. 三角形内角和定理 ：
三角形三个内角的和等于180°. 证明：直角三角形两个锐角互余。求证：∠A＋∠B＝90°.练一练已知：如图，△ABC中，∠C=90°. 例3：如图，已知∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD.证明：由：∠1+∠2=180°(已知)，
∠1=∠3（对顶角相等）.
∠2=∠4（ ） 根据：等量代换 得：∠3+ =180°.
根据：同旁内角互补，两直线平行
得： ∥ .对顶角相等∠4AB CD例4：如图，已知：∠1=∠2，∠1=∠B， 求证：AB∥EF，DE∥BC。 证明：由∠1=∠2 （已知），
根据： .
得AB∥EF.
又由∠1=∠B（ ）.
根据：同位角相等，两直线平行
得 ∥ .
内错角相等，两直线平行已知DE BC例5：如图，已知：∠DAF=∠AFE，∠ADC+∠DCB=180°，求证：EF∥BC证明：由：∠DAF=∠AFE （ ）
根据： .
得：AD∥ .
由：∠ADC+ =180°（已知）. 根据： .
得：AD∥ .
再根据： .
得：EF∥BC已知内错角相等，两直线平行EF∠DCB同旁内角互补，两直线平行BC平行于同一直线的两条直线互相平行例6：如图，已知：∠2=∠3， ∠1+∠3=180°， 求证：EF∥GH. 证明：由：∠2=∠3 （已知） ∠1+∠3=180°（ ） 根据： .
得：∠1+∠2=180°.
根据： .
得： 。已知等量代换同旁内角互补，两直线平行EF∥GH例7：如图，已知：∠1=∠2，BD平分∠ABC，试说明AD∥BC. 证明：由BD平分∠ABC（已知）， 根据： .
得：∠2=∠3.
又由：∠2=∠1（已知） 根据： .
得：∠3= . 根据：内错角相等，两直线平行. 得： ∥ .BACD123角平分线定义等量代换∠1AD BC例8：如图，已知：AB∥CD，AE∥BD，试说明∠ABD=∠E. 证明：由 （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等 得：∠ABD= . 由AE∥BD（ ）. 根据： . 得∠BDC=∠E .
再根据：等量代换 得： = .AB∥CD∠ BDC已知两直线平行，同位角相等∠ ABD ∠E例9：如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2，试说明AB∥CD. 证明：由AC∥DE （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等. 得∠ACD= .
又由∠1=∠2（已知）. 根据： . 得∠1=∠ACD . 再根据： . 得 ∥ .∠ 2等量代换内错角相等，两直线平行AB CDABCD1234例10: 如图，已知AD是△ABD
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C证法三： 延长AD ∵∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C∴∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C 即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C例2：如图，已知AG//CF，AB//CD，∠A＝40?， 求∠C的度数。1解:∵ AG//CF(已知)∴ ∠A=∠1(两直线平行,同位角相等)又∵AB//CD(已知)∴ ∠1=∠C(两直线平行,同位角相等)∴ ∠A=∠C(等量代换)∵ ∠A＝40?∴ ∠C＝40?例2： 如图所示 ∠1 =∠2
求证 ： ∠3 =∠4证明：∵ ∠1 =∠2（已知） ∴a//b
(同位角相等,两直线平行) ∴ ∠3 =∠4
(两直线平行，内错角相等)信辛中学
高汉光