高考试题中直线和圆问题的类型与解法 学案

高考试题中直线和圆问题的类型与解法
大家知道，直线和圆的问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，每年高考试卷中，圆锥曲线的大题基本上都会涉及到直线方程的相关内容，同时与圆相关的问题也是不可或缺的一个内容。题型为选择题或填空题，也可能参透到圆锥曲线的大题之中，难度为中，低档。纵观近几年高考试卷，归结起来直线和圆的问题主要包括：①直线的倾斜角或斜率；②直线方程的求法；③求圆的方程；④直线和圆的最值问题；⑤圆标准方程与一般方程之间的关系及运用；⑥直线与圆和圆与圆的位置关系及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在具体解答直线和圆的问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、在平面直角坐标系XOY中，已知点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2,
记M的轨迹为C。
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|.|TB|
=|TP|.|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件就可求出C的方程；（2）如图，设A（，），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，根据直线点斜式方程求出直线AB的方程，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，得到|TA|.|TB|关于，m的表示式，同理可得|TP|.|TQ|关于，m的表示式，联立两个表示式得到关于，的等式，求出，之间的关系就可求出直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。
【详细解答】（1）点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2, a=1，c=，=-=17-1=16，C的方程为-=1（x1）；（2）如图，设A（，
），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，直线
AB过点T（，m），斜率为，直线AB的方程为y=x-+m，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得：（16-）+（-2m）x-+m--16=0，+
=，.=，|TA|.|TB|=（1+）（-）（-）
=（1+）[-+]=-（1+）=（1+）
，同理可得|TP|.|TQ|=（1+），|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|，（1+）
=（1+），（1+）（）=（1+）（），=，，
=-，+=0，直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0。
5、（理）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在X轴和Y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值。
（文）已知点A（m，0）和B（0，n），且+=16，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值（2019成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①点轨迹方程的定义与基本求法；②椭圆的定义与性质；③直线斜率的定义与基本求法；④设而不求，整体代入数学思想及运用。
【解题思路】（理）（1）运用求点的轨迹方程的基本方法就可求曲线C的方程；（2）联立直线方程和曲线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，；结合韦达定理得到两根之和与两根之积关于t的式子，利用已知直线上两点的坐标求直线的斜率的公式分别求出直线HM，HN的斜率，根据斜率之和为1得到关于t的方程，求解方程并注意M，N是不同两点，直线y=2x+t不经过点（0，1）的条件就可求出t的值；
【详细解答】如图，设P（x，y），A（，0），B（0，）， y
=（x，y-），=（-x，-y），=3， B
（x，y-）=（3-3x，-3y）， x=3-3x， P（x，y）
=x， y-=-3y， 0 A x
=4y，|AB|==4，+16=16，+=1，曲线C的方程是：
+=1；（2）设M（，），N（，），直线y=2x+t不经过点（0，1），
10+ t，即t 1，由 +=1，得：37+36tx+9-9=0，+=-，.
y=2x+t，=，M，N是不同两点， =-437
（9-9）=36（36-37+37）>0，-+=+===4
+=+4=1，t=31，且-<3<，t的值是3。
（文）（1）如图，设P（x，y），A（，0），B（0，）， y
=（x，y-），=（-x，-y），=3， B
（x，y-）=（3-3x，-3y）， x=3-3x， P（x，y）
=x， y-=-3y， 0 A x
=4y，|AB|==4，+16=16，+=1，曲线C的方程是：+=1；（2）设M（，），N（，），直线y=2x+t不经过点（0，1），
10+ t，即 t 1，由 +=1，得： 37+36tx+9-9=0，+=-，.
y=2x+t， =，M，N是不同两点， =-437
（9-9）=36（36-37+37）>0，-+=+4=1，t=31，且-<3<，t的值是3。
3、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆
C设位于X轴上方的两点，且M//N，记直线AM，BN的斜率分别为，，若3
+2=0，求直线M/的方程。（文）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C设位于X轴上方的两点，且M//N，直线M 的斜率为2 ，记直线AM，BN的斜率分别为，，求3+2的值（2019成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③椭圆标准方程的定义与求法；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤直线与椭圆相交的定义与性质；⑥已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；⑦求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用椭圆的定义与性质，结合椭圆离心率的定义与性质，求出a，b的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）（理）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件和已知直线上两点求直线斜率的公式把，表示出来，从而得到关于参数M的方程，求解方程得出m的值，利用求直线方程的基本方法就可求出直线M的方程。（文）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件和已知直线上两点求直线斜率的公式把，表示出来，从而得到关于参数m的方程，求解方程得出m的值，利用求直线方程的基本方法就可求出直线M的方程。
【详细解答】（1） 由题意有：2b=4①，=②,= +③，联立①②③解
得=9, =8, 椭圆C的标准方程是： N y
EMBED Equation.DSMT4 + =1；（2）（理）设M（，）， M
D（，），N（，），由（1）知， A B
（-1，0），（1，0），A（-3，0），
B（3，0），如图，直线M过点（-1，0），直线M的方程为：x=my-1,
由x=my-1,得：（8+9）-16my-64=0，+=，.=-，
+ =1，M//N, 点D与点N关于原点对称，=-，=-，
N（-，-），=，==，3+2=0，=-，
3（+3）=-2（+3），3+2+9+6=0，3（m-1）
+2(m-1) +9+6=0，5m-3+2++4=0，=,
=-,>0，m>0，.=-.=-，m=，直线M的方程是：x=y-1，即：y=2x+2。（2）设M（，），直线M与椭圆C的另一个交点为D（，），N（，），由（1）知，（-1，0），（1，0），A（-3，0），B（3，0），如图，直线M过点（-1，0），斜率为2直线M的方程为：y=2(x+1)，由y=2(x+1)，14+27x+9=0， + =- ，
+ =1，.=，M//N, 点D与点N关于原点对称，=-，=-， N（-，-），=，=
=，3+2=+=
==
==,+ =- ，.=，=-或=-，=2(x+1)>0，=-，3+2
===0。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与直线倾斜角和直线斜率相关的问题，解答这类问题需要理解直线倾斜角和直线斜率的定义，掌握求直线倾斜角和直线斜率的基本方法。
（2）直线的倾斜角是X轴绕直线与X轴的交点（条件是直线与X轴相交），按逆时针方向旋转到与直线重合时转动的最小正角；求直线倾斜角的取值范围的基本方法是：①求出直线斜率的取值范围；② 运用正切三角函数的图像确定直线倾斜角的取值范围；
（3）直线的倾斜角有两个特殊情况：①直线与X轴平行或重合时，倾斜角=0，②直线与Y轴平行或重合时，倾斜角=；
（4）已知直线的倾斜角，求直线的斜率用公式k=tan应注意它的条件是；
（5）求直线的斜率时，应根据题给的条件选用恰当的公式和方法，常用求直线斜率的基本方法有：①已知直线倾斜角，用公式k=tan；②已知直线上两点的坐标（，），（，），用公式k= ；③已知直线的方向向量=（m，n），用公式k= ；④已知直线的一般方程Ax+By+C=0，用公式k=- 。
【典例2】解答下列问题：
1、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2（2021成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若AM与BN面积相等，求直线l的方程。
（文）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若|MA|=|BN|，求直线l的方程。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间的距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可求出椭圆C的方程；（2）（理）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MN|关于参数m的表示式，利用点到直线的距离公式和三角形面积公式得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。（文）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MA|，|BN|关于参数m的表示式，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2，2ab=2①，===2②，=+③，联立①②③解得：=5，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）（理）设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，
联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，
直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MN|=
=，==，=-=,|MN|
. -|M|.||=|M|.||，.=（2+3）|+|=，5（+5）=6（+1），m=，直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。
（文）设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，
联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，
直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MA|=|BN|，|-0|=|
-|，点A，B在点M，N之间，+=，=， m=，即直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。
2、（理）已知M+-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过P作M的切线PA，PB，且切点分别为A，B，当|PM|.|AB|最小时，直线AB的方程为（ ）
A 2x-y-1=0 B 2x+y-1=0 C 2x-y+1=0 D 2x+y+1=0
（文）已知圆+-6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）（2020全国高考新课标I）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②直线与圆位置关系定义与性质；③判断直线与圆位置关系的基本方法；④点到直线距离公式及运用；⑤求函数最值的基本方法；⑥直线方程定义与性质；⑦求直线方程的基本方法。
【解题思路】（理）根据圆一般方程化标准方程的基本方法，把圆的方程化为标准方程，从而得到点M的坐标，运用直线与圆位置关系的性质和判断直线与圆位置关系的基本方法得到PMAB，从而得到|PM|.|AB|关于x的表示式，利用求函数最值的基本方法求出当|PM|.|AB|最小时，求出点P的坐标，从而得到以点P为圆心，|PA|为半径的圆的方程，由直线AB是圆P与圆M的公共弦求出直线AB的方程就可得出选项。（文）根据圆一般方程化标准方程的基本方法，把圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和圆的半径，由题意可知，当且仅当过点（1，2）的直线与过点（1，2）的直径垂直时，直线被该圆所截得的弦的长度的最小，求出此时的弦长就可得出选项。
【详细解答】（理）如图，设A（，），P（， y A
-2-2），+-2x-2y-2=0，+ P
=4，M（1，1），|AM|=|BM|=2，过P作M的切 0 B x
线PA，PB，且切点分别为A，B，PMAB，|PM|.|AB|=4=2|PA|.|AM|=4|PA|，|PM|.
|AB|最小时，只需|PA|最小时，当且仅当PM垂直于直线l时，即|PM|==，|PA|===1为最小，过点M垂直于直线l的直线方程为x-2y+1=0，联立直线l和直线PM得：x=-1，y=0，P（-1，0），以点P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为：+=1，直线AB是圆P与圆M的公共弦，直线AB的方程为：+
-1-(+-2x-2y-2)=4x+2y+2=0，即2x+y+1=0，D正确，选D。（文）+-6x=0，
+=9，圆心为（3，0），半径为3，当且仅当过点（1，2）的直线与过点（1，2）的直径垂直时，直线被该圆所截得的弦的长度的最小，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为2=21=2，B正确，选B。
3、若直线l与曲线y=和圆+=相切，则l的方程为（ ）（2020全国高考新课标III）
A y=2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义；③求曲线在某
点处切线方程的基本方法；④判断直线与圆相切的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y=的导函数，运用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法求出直线l关于的方程，利用判断直线与圆相切的基本方法得到关于的方程，求解方程求出的值，从而得出直线l的方程就可得出选项。
【详细解答】设直线l与曲线y=在点P（，）处相切，=，
=， 直线l的方程为：y-=(x-)，即x-y+=0，直线l与
圆+=相切， = = ， =1，直线l的方程为：
y=x+，D正确，选D。
4、（理）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B（0,1），右焦点为F，连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|= |BF|。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，若APQ的面积是AMN的面积的2倍。求直线l的方程。
（文）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在经过点（0，2）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由（2019成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③求直线方程的基本方法； ④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤直线斜率的定义与基本求法；⑥求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得出椭圆C的方程；（2）根据求直线方程的基本方法求出直线l的方程；联立直线方程和椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。（文）运用椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得出椭圆C的方程；（2）根据求直线方程的基本方法求出直线l的方程；联立直线方程和椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程就可得出结论。
【详细解答】（理）（1）设点C（，）， 椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点
为A，上顶点为B（0,1），右焦点为F，b=1，A（a，0），F（，0），连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|= |BF|，=，=，-
=， a=2，即椭圆C的方程为：+=1；（2）设点M（，），N（，），直线l过点（1，0），直线l的方程为：x=my+1，联立直线l的方程和椭圆C的方程得：（4+）+2my-3=0，+=-， .=-，直线AM，AN的方程分别为：y=(x-2)，y= (x-2)，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，P（3，），Q（3，），｜MN｜=
=，==，｜PQ｜=-
=，== ，
=1== ，=，
=，m=2，直线l的方程为：x-2y-1=0或x+2y-1=0。
（文）（1） 椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，），
=①，且+=1②，=+③，联立①②③解得：=4，=1，椭圆C
的方程为：+=1；（2）设存在经过点（0，2）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形，点M（，），N（，），P（0，），线段MN的中点为Q（,）直线l过点（0，2），直线l的方程为：x=my-2m，联立直线l的方程和椭圆C的方程得：（4+）-4y
+4-4=0，+=， .=，=16-4（4+）（4-4）=-48+64
>0，+=m（+）-4m=,<，=,=, Q（,
）, PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，直线PQ的方程为：y-
=-m(x-)，令x=0，得y=,=,|PQ|=
=，|MN|=.=，|MN|=2|PQ|，
=， m=，存在经过点（0，2）直线l，其
方程为：x-2y+4=0或x+2y-4=0与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P（0，-）连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求直线方程的问题，解答这类问题需要理解直线方程的定义，掌握直线方程常见的几种形式；
（2）求直线方程的常用方法有：①直接法；②间接法；
（3）直接法是根据题给条件，选择恰当的直线方程形式，依据相应直线方程形式求出直线的方程；
（4）间接法是根据直线在题给条件中所具有的某些性质，先设出方程（含参数或待定系数），再由题给条件求出参数或待定系数，然后求出直线的方程；
（5）常见的直线系方程有：①过定点P(，)的直线系方程：A（x-）+B(y-)=0
(+0)或y-=k(x-)和x=；②平行已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+=0（C）；③垂直已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+=0（C）；
④过已知直线：x+y+=0与x+y+=0的交点的直线系方程：x+y++（x+y+）=0（不包括直线x+y+=0）。
【典例3】解答下列问题：
1、已知点P在圆+=16上，点A（4，0），B（0，2），则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 点P到直线AB的距离小于10 B 点P到直线AB的距离大于2
C 当PBA最小时，|PB|=3 D 当PBA最大时，|PB|=3
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②圆参数方程定义与性质；③已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；④点到直线距离公式及运用；⑤求三角函数最值的基本方法；⑥余弦定理及运用；⑦基本不等式及运用。
【解题思路】根据圆和圆参数方程的性质，得到点P含参数的坐标，运用已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法，求出直线AB的方程，由点到直线的距离公式，得到点P到直线AB的距离关于参数的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出点P到直线AB的距离最值可以判断A，B选项的正确与错误；过点B作圆的切线PC，PD，切点分别为C，D，显然当点P与点C重合时，PBA最大，当点P与点D重合时，PBA最小，此时，|PB|=|BC|=|BD|，运用勾股定理求出|PB|的值，可以判断C，D的正确与错误，就可得出正确的选项。 P
【详细解答】如图，点P在圆+=16上， y C
P（5+4cos，5+4sin），点A（4，0），B（0，2），直线 B D
AB的方程为x+2y-4=0，= 0 A x
=（求证tan=），当且仅当=1时，取得最大值为
=+4<10，当且仅当=-1时，取得最小值为=-4<2，
A正确，B错误；过点B作圆的切线PC，PD，切点分别为C，D，显然当点P与点C重合时，PBA最大，当点P与点D重合时，PBA最小，由勾股定理可知，此时|PB|=|BC|=|BD|
===3，C，D正确，综上所述A，C，D正确，选A，C，D。
2、（理）已知等边ABC的三个顶点均在圆+=4上，点P（，），则.
+.的最小值为（ ）
A 14 B 10 C 8 D 2
（文）已知A，B是圆+=4上的两个动点，且满足|AB|=2，点P（，），则.
的最小值为（ ）（成都市2021高三三诊）
A B C 1 D 7-2
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②圆参数方程定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法；④向量数量积的定义与性质；⑤求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据圆和圆参数方程的性质，结合问题条件得到点A，B，C关于参数的坐标，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，向量数量积的性质得到.+.关于的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出.+.的最小值就可得出选项。（文）根据圆和圆参数方程的性质，结合问题条件得到点A，B关于参数的坐标，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，向量数量积的性质得到.关于的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出.的最小值就可得出选项。
【详细解答】（理）如图， 等边ABC的三个顶点均在 A y
圆+=4上，点A（2cos，2sin），点B(2c
os(+)，2sin(+))，点C(2cos(+)，2s C x
in(+))，点P（，），=（2cos-， B
2sin-），= B(2c os(+)-，2sin(+)-)，=(2c os(+)-，2sin(+)-)，.+.=4 cos. cos(+)-2[ cos+ cos(+
)] +3+4 sin. sin(+)-2[ sin+ sin(+)]+6+4cos. cos(+)-2
[ cos+ cos(+)]+34 +6=4cos[ cos(+)+cos(+)]sin.sin(+)-2
[ sin+sin(+)]-2[ 2cos+ cos(+)+cos(+)]+6+4 sin[ sin(+)
+sin(+)]-2 [2 sin+ sin(+)+sin(+)]+12=4 cos(-cos-sin
- cos+ sin)-2( 2cos- cos- sin- cos+sin)+6
+4 sin(-sin+ cos- sin- cos)-2 (2 sin-sin+ cos
- sin- cos)+12=-4 cos -2cos+6-4 sin -2 sin+12=-4(cos
+ sin )-2( sin+cos)+18=-6 sin(+)+14，当且仅当(+)=2k+，
即=2k+时，.+.=-6 sin(+)+14=-6+14=8的值为最小，C正确，选C。（文）如图，点A，B是圆+=4上，且|AB|=2，A（2cos，2sin），B(2cos(+)，2sin(+))，点P（， y A
），=（2cos-，2sin-）， B
= (2cos(+)-，2sin(+)-)，
.=4 cos. cos(+)-2[ cos+ cos(+)] +3+4 sin. sin(+)-2
[ sin+ sin(+)]+6=4 cos[-(+)]-2( cos-sin)-2(sin+
cos)+9=-2-2 cos(+)-2sin(+)+9=7-6 sin(++)，当且仅当+
+==2k+，即=2k-时，.=7-61=7-6=1为最小值，C正确，选C。
3、点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值为（ ）（2020全国高考新课标III）
A 1 B C D 2
【解析】
【考点】①点到直线的距离公式及运用；②基本不等式及运用。
【解答思路】根据点到直线的距离公式，结合问题条件得到关于k的函数，运用基本不等式求出点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值就可得出选项。
【详细解答】点（0，1）到直线y=k(x+1)距离为：d=，==1
-=1-，当且仅当k=-1时，=1+1=2为最大值，点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值为d=，B正确，选B。
『思考问题3』
（1）【典例3】是求直线和圆的最值问题，解答这类问题需要掌握函数和三角函数求最值的基本方法；
（2）求有关直线和圆的最值问题一般是借助图形的性质，运用数学结合的方法求解；
（3）常见的最值问题有：①求u=形式的最值，这类问题可转化为求动直线斜率的最值；②求t=ax+by形式的最值，这类问题可转化为动直线截距的最值；③求+形式的最值，这类问题可转化为动点到定点的距离的的最值。
【典例4】解答下列问题：
1、抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在X轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M（2，0），M与l相切。
（1）求C，M的方程；
（2）设，，是C上的三个点，直线，均与M相切，判断与M的位置关系，并说明理由（2021全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线方程的基本方法；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据抛物线与圆的性质和求抛物线与圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线和圆的方程；（2）如图，设（，），（，），（，），根据直线，均与M相切，得到关于，，的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断与M的位置关系。
【详细解答】（1）设抛物线的方程为 =2px（p>0），直线l：x=1交C于P，Q两点，P（1，），Q（1，-），=（1，），=（1，-）， OPOQ，.=1-2P=0，p=，抛物线C的方程为： =x，点M（2，0），M与l相切，M的方程为：+=1；如图，设（，），（，），（，），直线，的方程 y
分别为：x-y+ =0，x-y 0
+ =0，直线，均与M相
切，=1，，，是方程（-1）+2x-+3=0的两根，直线的方程为：x-(+)y+=0，点M到直线的距离
====1，直线与M相切。
2、已知直线l：ax+by-=0与圆C：+=，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②直线与圆位置关系定义与性质；③点到直线距离公式及运用；④判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】根据圆和直线与圆位置关系的性质，结合问题条件，运用判断直线与圆位置关系的基本方法对各选项的正确与错误解析判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，点A在圆C上，+=，===r，
直线l与圆C相切，即A正确；对B，点A在圆C内，+<，=
=>r，直线l与圆C相离，即B正确；对C，点A在圆C外，+>，==3、“k= ”是“直线y=kx+2与圆+=1相切”的（ ）（成都市2021高三零诊）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①直线与圆相切的定义与求法；②判断直线与圆相切的基本方法；③充分条件，必要条件，充分必要条件定义与性质；④判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据直线与圆相切的性质和判断直线与圆相切的基本方法，结合问题条件分别判断k=时，能否推出直线y=kx+2与圆+=1相切，直线y=kx+2与圆+=1相切时，能否得到k=，运用判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法通过判定就可得出选项。
【详细解答】当k=时，圆心（0，0）到直线y=kx+2的距离为=1，
此时，直线y=kx+2与圆+=1相切；当直线y=kx+2与圆+=1相切时，圆心（0，0）到直线y=kx+2的距离为=1，与k无关，此时，k=是否成立不能确定， “k=”是“直线y=kx+2与圆+=1相切”的充分而不必要条件，A正确，选A。
4、若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（ ）（2020全国高考新课标II）
A B C D
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②求圆标准方程的基本方法；③点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】根据圆的性质和求圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出圆的标准方程，从而得到圆的圆心坐标，运用点到直线的距离公式求出圆心到直线2x-y-3=0的距离就可得出选项。
【详细解答】设圆的方程为+=，过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，
|a|=|b|=R①，+=②，联立①②解得：a=b=1，=1，或a=b=5，=25，
过点（2，1）的圆的方程为：+=1，或+=25，圆心坐标为（1，1）或（5，5），当圆心坐标为（1，1）时，d= =，当圆心坐标为（5，5）时，d= =，圆心到直线2x-y-3=0的距离为，B正确，选B。
『思考问题4』
（1）【典例1】是点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系相关的问题，解决这类问题需要理解点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系的定义，掌握判断点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系的基本方法；根据直线与圆的三种位置关系的特征判断其属于哪一种位置关系；
（2）判断点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系主要有两种方法：①代数法；②几何法；
（3）在实际解决问题时，到底选用哪种方法，应该根据题给条件来确定：①如果圆心坐标容易求出，则首先考虑几何判断法；②如果圆心坐标不容易求出，则首先考虑代数判断法。
O x
M
M
O
b
O
b
0
b