《勾股定理的逆定理》教案
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文档简介
惠东县初中教案编写评比
八年级数学（人教版）
§18.2.2勾股定理的逆定理（第一课时）
《18.2.2勾股定理的逆定理》教学设计
教???? 材
义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级下册
设计理念
从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地进行学习。通过合作、讨论、动手实践等方式使学生熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题。从而感受数学源于生活，更好地理解数学知识的意义，体现“人人学有价值数学”的新课程理念。整个数学设计流程突出以学定教，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。
学情分析
八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何向推理几何过渡的重要阶段。这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。
知识分析
勾股定理逆定理应用内容选自《人教版》义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第十八章《勾股定理》中的第二节。是在学生已经学习了勾股定理、勾股定理应用、勾股定理的逆定理后、对勾股定理的逆定理的巩固运用。勾股定理的逆定理是几何中一个非常重要的定理，它是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法。还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。八年级正是学生由实验几何向推理几何过渡的重要时期，通过对勾股定理逆定理的再探究，有利于更好的培养学生的分析思维能力，发展推理能力。在教学中渗透类比、转化，从特殊到一般的思想方法。
学
习
目
标
知识与技能
应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.
灵活应用勾股定理及逆定理解综合题.
进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
过程与方法
在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度.使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律.
情感态度与价值观
通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；在解决问题的过程中，培养学生的数学建模能力；发展学生与他人交流、合作的意识。
教学重点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学难点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学方法
“引导发现，合作探究”教学法
学法指导
尝试学习、探究学习、合作交流学习
教学用具
利用教学平台多媒体,对本节知识做一些补充，以增大课堂容量，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
教学评价
随堂提问、练习反馈、作业反馈
教
学
流
程
活动流程
活动内容及目的
活动一 创设情境，导入课题
通过对勾股定理的复习以固旧导新，帮助其发掘新知切入点。
活动二 研究新知、应用举例
出示教材P73例1，以此引领学生探究，运用勾股定理逆定理的相关知识。
活动三 随堂练习，巩固深化
通过生活实例的补充，达到举一反三，触类旁通，感受数学来源于生活而又服务与生活。
活动四 课堂总结，发展潜能
将知识回味内化，纳入已有的知识体系。
活动五 布置作业，课后拓展
分类布置、分层要求，将探究兴趣由课内延伸到课外；及时捕捉学生学习状况，适时进行有效诊断评价、反馈补救。
教??????? 学?????? 过 程
问题与情境
师生互动
媒体使用与教学评价
【活动1】创设情境，导入课题
我们已经学习了勾股定理，你能叙述吗？
【实验观察】
实验方法：用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．（90°），可以发现这个三角形是直角三角形．
(3)? 提出课题§《18.2.2勾股定理的逆定理》归纳结论：勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
【教师活动】
（1）出示问题
【学生活动】
?学生通过思考举手回答及总结得出勾股定理的逆定理。
【媒体使用】（略）
【赏??? 析】
旨在通过复习勾股定理来引入本课时的学习任务——应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题。
【活动2】研究新知、应用举例
出示例题：例1：以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？如 三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？
例：根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形
a=7,b=24,c=25;
(2) a=,b=1,c=
例2：一港口位于东西方向的海岸线上，远航号、海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道远航号沿东北方向航行，能知道海天号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意画图(见课件)
????????????? PQ=16×1.5=24
????????????? PR=12×1.5=18
????????????? QR=30
?因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90O.
?由“远航”号沿东北方向航行可知， ∠QPS=45O,即“海天‘号沿西北方向航行。
?
【教师活动】教师通过梯次性问题的展示，适时点拨。
【学生活动】
（1）学生读题，理解题意，弄清楚已知条件和需解决的问题。如例1先来判断a,b,c三边哪条最长，然后才能运用定理解题。
例2⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
（2）教师提出你能根据题意画出相关图形吗？
（在学生都尝试画了之后，教师再在黑板上或多媒体中画出示意图）
（3）图的不唯一性.
（4）解题过程.
（5）同学之间的交流、检查、小结，教师最后点评。
【媒体使用】（略）
【赏??? 析】
读题是学生理解题意的重要环节，只有正确接收有关信息，才能为下一步利用这些信息进行分析打好基础。
画图对学生来说，会有一定的难度; 如果学生能准确的画出也可利用学生画的图进行进一步的分析（画图也是本节课的难点）
?
【活动3】随堂练习，巩固深化
补充题：1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地.小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 .
2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
4、一根 30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7米，比较长边短 1米，请你试判断这个三角形的形状．
解：设这条边长为X米，则较长边为（X+1）米，较短边为（X—7）米，根据题意得：
X+(X+1)+(X—7)=30
解得：?????? X=12
所以三角形三边为5米、12米、13米。
根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形．
答：这个三角形是直角三角形。
【教师活动】教师通过梯次性问题的展示，适时点拨。
【学生活动】
学生分析：
（1）若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；（2）设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；（3）根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形．（4）解．（展示教学平台的答案参考答案：1．向正南或正北.2．能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2；3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°.4、解：设这条边长为X米，则较长边为（X+1）米，较短边为（X—7）米，根据题意得：X+(X+1)+(X—7)=30
解得：?????? X=12
所以三角形三边为5米、12米、13米。根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形．
答：这个三角形是直角三角形。
【媒体使用】（略）
【赏?? 析】
本题帮助培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识
【活动4】课堂总结，发展潜能
（1）自主小结：①对自己——谈本节课有哪些收获？②对同伴——谈在学习本节内容时应注意什么？③对老师——谈本节课学习中还有哪些疑惑？
（2）教师概括小结，重点强调：1．勾股定理的逆定性：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（问：勾股定理是什么呢？）
2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
3．应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
?
【教师活动】
引导学生自主小结的基础上，进行概括小结，教师应关注学生的表现，包括知识掌握情况、情绪状况等。
【学生活动】
按要求，进行自主小结，注意倾听同伴意见，反思梳整存在问题。
【媒体使用】（略）
【赏??? 析】
使所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享，在反思中提升。
?
【活动5】布置作业，课后拓展
1.必做题：课本第75页的第3题。
2.选做题：已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC.
求：四边形ABCD的面积.
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【教师活动】课件展示作业题
【学生活动】按照要求自主完成作业
【媒体使用】（略）
【赏??? 析】了解学生学习的效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，体会勾股定理逆定理的妙用。
使学生的主体作用得以有效发挥，尊重学生之间的个体差异，为不同学生的发展创造条件。
板板书设计
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2→Rt⊿
课题
一、勾股定理逆定理
二、生活运用
三、一种思想（数学建模）
?
屏幕
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【赏析】
反馈矫正，突破重、难点
学生练习
学生练习
课后
反思
八年级数学（人教版）
§18.2.2勾股定理的逆定理（第一课时）
《18.2.2勾股定理的逆定理》教学设计
教???? 材
义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级下册
设计理念
从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地进行学习。通过合作、讨论、动手实践等方式使学生熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题。从而感受数学源于生活，更好地理解数学知识的意义，体现“人人学有价值数学”的新课程理念。整个数学设计流程突出以学定教，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。
学情分析
八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何向推理几何过渡的重要阶段。这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。
知识分析
勾股定理逆定理应用内容选自《人教版》义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第十八章《勾股定理》中的第二节。是在学生已经学习了勾股定理、勾股定理应用、勾股定理的逆定理后、对勾股定理的逆定理的巩固运用。勾股定理的逆定理是几何中一个非常重要的定理，它是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法。还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。八年级正是学生由实验几何向推理几何过渡的重要时期，通过对勾股定理逆定理的再探究，有利于更好的培养学生的分析思维能力，发展推理能力。在教学中渗透类比、转化，从特殊到一般的思想方法。
学
习
目
标
知识与技能
应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.
灵活应用勾股定理及逆定理解综合题.
进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
过程与方法
在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度.使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律.
情感态度与价值观
通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；在解决问题的过程中，培养学生的数学建模能力；发展学生与他人交流、合作的意识。
教学重点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学难点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学方法
“引导发现，合作探究”教学法
学法指导
尝试学习、探究学习、合作交流学习
教学用具
利用教学平台多媒体,对本节知识做一些补充，以增大课堂容量，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
教学评价
随堂提问、练习反馈、作业反馈
教
学
流
程
活动流程
活动内容及目的
活动一 创设情境，导入课题
通过对勾股定理的复习以固旧导新，帮助其发掘新知切入点。
活动二 研究新知、应用举例
出示教材P73例1，以此引领学生探究，运用勾股定理逆定理的相关知识。
活动三 随堂练习，巩固深化
通过生活实例的补充，达到举一反三，触类旁通，感受数学来源于生活而又服务与生活。
活动四 课堂总结，发展潜能
将知识回味内化，纳入已有的知识体系。
活动五 布置作业，课后拓展
分类布置、分层要求，将探究兴趣由课内延伸到课外；及时捕捉学生学习状况，适时进行有效诊断评价、反馈补救。
教??????? 学?????? 过 程
问题与情境
师生互动
媒体使用与教学评价
【活动1】创设情境，导入课题
我们已经学习了勾股定理，你能叙述吗？
【实验观察】
实验方法：用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．（90°），可以发现这个三角形是直角三角形．
(3)? 提出课题§《18.2.2勾股定理的逆定理》归纳结论：勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
【教师活动】
（1）出示问题
【学生活动】
?学生通过思考举手回答及总结得出勾股定理的逆定理。
【媒体使用】（略）
【赏??? 析】
旨在通过复习勾股定理来引入本课时的学习任务——应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题。
【活动2】研究新知、应用举例
出示例题：例1：以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？如 三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？
例：根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形
a=7,b=24,c=25;
(2) a=,b=1,c=
例2：一港口位于东西方向的海岸线上，远航号、海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道远航号沿东北方向航行，能知道海天号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意画图(见课件)
????????????? PQ=16×1.5=24
????????????? PR=12×1.5=18
????????????? QR=30
?因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90O.
?由“远航”号沿东北方向航行可知， ∠QPS=45O,即“海天‘号沿西北方向航行。
?
【教师活动】教师通过梯次性问题的展示，适时点拨。
【学生活动】
（1）学生读题，理解题意，弄清楚已知条件和需解决的问题。如例1先来判断a,b,c三边哪条最长，然后才能运用定理解题。
例2⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
（2）教师提出你能根据题意画出相关图形吗？
（在学生都尝试画了之后，教师再在黑板上或多媒体中画出示意图）
（3）图的不唯一性.
（4）解题过程.
（5）同学之间的交流、检查、小结，教师最后点评。
【媒体使用】（略）
【赏??? 析】
读题是学生理解题意的重要环节，只有正确接收有关信息，才能为下一步利用这些信息进行分析打好基础。
画图对学生来说，会有一定的难度; 如果学生能准确的画出也可利用学生画的图进行进一步的分析（画图也是本节课的难点）
?
【活动3】随堂练习，巩固深化
补充题：1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地.小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 .
2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
4、一根 30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7米，比较长边短 1米，请你试判断这个三角形的形状．
解：设这条边长为X米，则较长边为（X+1）米，较短边为（X—7）米，根据题意得：
X+(X+1)+(X—7)=30
解得：?????? X=12
所以三角形三边为5米、12米、13米。
根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形．
答：这个三角形是直角三角形。
【教师活动】教师通过梯次性问题的展示，适时点拨。
【学生活动】
学生分析：
（1）若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；（2）设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；（3）根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形．（4）解．（展示教学平台的答案参考答案：1．向正南或正北.2．能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2；3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°.4、解：设这条边长为X米，则较长边为（X+1）米，较短边为（X—7）米，根据题意得：X+(X+1)+(X—7)=30
解得：?????? X=12
所以三角形三边为5米、12米、13米。根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形．
答：这个三角形是直角三角形。
【媒体使用】（略）
【赏?? 析】
本题帮助培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识
【活动4】课堂总结，发展潜能
（1）自主小结：①对自己——谈本节课有哪些收获？②对同伴——谈在学习本节内容时应注意什么？③对老师——谈本节课学习中还有哪些疑惑？
（2）教师概括小结，重点强调：1．勾股定理的逆定性：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（问：勾股定理是什么呢？）
2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
3．应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
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【教师活动】
引导学生自主小结的基础上，进行概括小结，教师应关注学生的表现，包括知识掌握情况、情绪状况等。
【学生活动】
按要求，进行自主小结，注意倾听同伴意见，反思梳整存在问题。
【媒体使用】（略）
【赏??? 析】
使所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享，在反思中提升。
?
【活动5】布置作业，课后拓展
1.必做题：课本第75页的第3题。
2.选做题：已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC.
求：四边形ABCD的面积.
????????
【教师活动】课件展示作业题
【学生活动】按照要求自主完成作业
【媒体使用】（略）
【赏??? 析】了解学生学习的效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，体会勾股定理逆定理的妙用。
使学生的主体作用得以有效发挥，尊重学生之间的个体差异，为不同学生的发展创造条件。
板板书设计
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2→Rt⊿
课题
一、勾股定理逆定理
二、生活运用
三、一种思想（数学建模）
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屏幕
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【赏析】
反馈矫正，突破重、难点
学生练习
学生练习
课后
反思