【精品解析】高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021高二上·郫都期中）已知定点 ， ， 是圆 ： 上任意一点，点 关于点 的对称点为 ，线段 的中垂线与直线 相交于点 ，则点 的轨迹是（　　）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
2．（2021高二上·河北期中）双曲线 的焦点到C的渐近线的距离为（　　）
A． B． C．5 D．
3．（2021高二上·湖州期中）“ 且 ”是“方程 表示椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（2021高二上·温州期中）如果抛物线 的准线是直线 ，那么它的焦点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
5．（2021高二上·开封期中）已知点 是椭圆 的上顶点， 分别是椭圆左右焦点，直线 将三角形 分割为面积相等两部分，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高二上·温州期中）过椭圆 左焦点F作x轴的垂线，交椭圆于P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且 ，则该椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高二上·深圳期中）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，P是C上一点， 垂直于x轴， ，则C的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高二上·沈阳期中）阿基米德(公元前 年—公元前 年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 则椭圆 的方程为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·白城期中）已知方程 ＋ ＝1表示的曲线为C.则以下四个判断正确的为（　　）
A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆
B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
10．（2020高二上·迁安期末）已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（　　）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
11．（2021高二上·河北期中）已知双曲线 ： 与椭圆 有公共焦点， 的左 右焦点分别为 ， ，且经过点 ，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线 的标准方程为
B．若直线 与双曲线 无交点，则
C．设 ，过点 的动直线与双曲线 交于 ， 两点（异于点 ），若直线 与直线 的斜率存在，且分别记为 ， ，则
D．若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，则 （ 为坐标原点）的面积为定值1
12．（2021高三上·石家庄月考）已知椭圆 ， 为 的右焦点， 为 的左顶点， 为直线 与 的两个交点，则下列叙述正确的是（　　）
A． 周长的最小值为
B． 面积的最大值为
C．若 的面积为 ，则 为直角三角形
D．若直线 与 的斜率之积为 ，则 为等腰三角形
三、填空题
13．（2021高二上·河北期中）抛物线 上的点 到其准线 的距离为2，则 　 　．
14．（2021高三上·宁城月考）设抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线 与抛物线相交于 ， 两点，若以 为直径的圆过点 ，则该抛物线的方程为　 　．
15．（2021高二上·白城期中）双曲线 － ＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若 ＝0，则点P到x轴的距离为　 　．
16．（2021高二上·龙江期中）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，定点 ，点 是椭圆 上的动点，则 的最大值是　 　．
四、解答题
17．（2021高二上·沈阳期中）已知双曲线 的右焦点为F(c，0)．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率．
18．（2021高二上·太原期中）已知椭圆 的短轴长为 ，其离心率是 .
（1）求橢圆 的方程；
（2）若过点 的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 、 ，且 ，求直线 的方程.
19．（2021高二上·郫都期中）如图，已知圆 ： ，点 是圆A内一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线 和半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）已知经过A的直线 与曲线 相交于M，N两点，求 面积的最大值，并求出此时直线 的方程.
20．（2021高二上·河南期中）已知椭圆 ．离心率为 ，点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点直线 的斜率之积等于 ，试探求 的面积是否为定值，并说明理由．
21．（2021高三上·金华月考）如图，椭圆C： 的左顶点为 ，直线l： 与椭圆C相交于A，B两点，当 时， ，过椭圆C右焦点F且斜率为 的直线 与直线 ， 分别相交于点M，N（点M，N均不在坐标轴上）．
（1）求椭圆C的方程：
（2）设直线 ， （O为坐标原点）的斜率分别为 ， ．问 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
22．（2021高二上·沈阳期中）已知椭圆 焦点在 轴，离心率为 ，且过点
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 与轨迹 交于 两点，若以 为直径的圆经过定点 ，求证：直线 经过定点 ，并求出 点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求 面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轨迹方程；双曲线的定义
【解析】【解答】因为N为 中点，O为 中点，
所以 ，
因为P在线段 的中垂线上，所以 ，
因此 ，即点 的轨迹是双曲线，
故答案为：D.
【分析】首先由已知条件作出图象，然后由圆的几何性质整理化简结合双曲线的定义即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 ，可得 ，可得 ，
所以双曲线C的焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，即 ，
所以焦点到渐近线的距离为 .
故答案为：B.
【分析】首先由双曲线的简单性质计算出c的取值，由此得出焦点的坐标以及渐近线的方程，再把数值代入到点到直线的距离公式计算出结果即可。
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义
【解析】【解答】解：当m>0，n>0，m=n时，方程mx2+ny2=1表示圆，不是充分条件，
当方程mx2+ny2=1表示椭圆，则m>0，n>0，是必要条件，
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的定义，结合充分必要条件的判定求解即可.
4．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由于抛物线的准线是直线 ，所以它的焦点为 .
故答案为：D
【分析】由抛物线的方程，结合抛物线的简单性质即可求出准线的方程以及焦点的坐标。
5．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为点 是椭圆 的上顶点， 分别是椭圆左右焦点，
所以 ， ，从而有 ，所以 ， ， ，
由题意，三角形 的面积为 1，
设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为 ，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形 分割为面积相等的两部分，可得 ，所以 ，故点M在射线 上．
设直线y＝ax+b和 的交点为N，则由 可得点N的坐标为 ．
①若点M和点 重合，如图：
则点N为线段 的中点，故N ，
把 、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b ．
②若点M在点O和点 之间，如图：
此时 ，点N在点 和点 之间，
由题意可得三角形 的面积等于 ，即 ，
即 ，可得a ，求得 ，
故有 ．
③若点M在点 的左侧，
则 ，由点M的横坐标 ，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和 的交点为P，则由 求得点P的坐标为 ，
此时，由题意可得，三角形APN的面积等于 ，即 ，
即 ，化简可得 ．
由于此时 b＞a＞0，所以 ．
两边开方可得 ，所以 ，化简可得 ，
故有 ．
综上，b的取值范围应是 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由椭圆的简单性质即可求出点的坐标，结合椭圆的方程求出点的坐标，从而计算出三角形的面积，联立直线的方程求解出点的坐标，由弦长公式和三角形的面积公式，代入数值整理得出，由此得出即可。
6．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得： ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
即 ，解得 ，
故答案为：A
【分析】根据题意首先由椭圆的简单性质以及定义，整理即可得到，再由离心率公式结合整体思想得出关于e的方程，求解出e的值即可。
7．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为 垂直于x轴， ，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以C的方程为 .
故答案为：C.
【分析】由椭圆的简单性质结合椭圆的定义，计算出a与c的值，然后由椭圆里a、b、c的关系计算出b的值，由此即可得出椭圆的方程。
8．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意，设椭圆C的方程为 ，
因为椭圆 的离心率为 ，面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 ，
故答案为：A.
【分析】已知条件列出方程组，求出 ，即可得出椭圆的方程。
9．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：若曲线 ＋ ＝1 ： 表示椭圆，则 解得且 ，故A错误；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示双曲线，则 (4-t)(t-1)<0，解得t<1 或t>4 ，故B正确；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示焦点在x轴上的椭圆，则 ，解得，故C正确；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示焦点在y轴上的双曲线，则 ，解得t>4，故D正确；
故选：BCD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程求解即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】对于A，抛物线 ，即 ，易知点 的坐标为 ，A不符合题意；
对于B，显然直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，联立 ，整理得 ， ，B符合题意；
对于C，若 ，则 过点 ，则 ，当 时， ，即抛物线通经的长，C符合题意，
对于D，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，过点 ， ， 分别作准线的垂直线 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，所以线段 ，所以线段 的中点 到 轴的距离为 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点F的坐标；利用已知条件得出直线 斜率存在，设直线 的斜截式方程为 ，再利用直线与抛物线相交。联立二者方程结合韦达定理得出 的值；再利用 结合向量共线定理，则 过点 ，再利用弦长公式结合二次函数的图象求最值的方法，从而求出 ，即求出抛物线通经的长；利用抛物线的标准方程求出焦点的坐标和准线方程，过点 ， ， 分别作准线的垂直线 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，所以 ， ，所以 ，从而求出线段 的长，进而求出线段 的中点 到 轴的距离，从而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A选项，由题意 ，且 ，联立解得 ，所以双曲线 的标准方程为 ，A符合题意；
对于B选项，因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以直线 与双曲线 无交点，则 ，B不符合题意；
对于C选项，过点 的动直线斜率存在且不为0，故设该动直线为 .设 ， ，联立 得 ，所以 解得 且 且 ， ， ，则 ，C符合题意；
对于D，由于动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，当直线 的斜率不存在时， ： ， ， ；当动直线 的斜率存在时，且斜率 时，不妨设直线 ： ，故由 ，从而 ，化简得 .又因为双曲线 的渐近线方程为 ，故由 从而点 ，同理可得， ，所以 ，又因为原点 到直线 ： 的距离 ，所以 ，又由 ，所以 ，故 的面积为定值1，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 利用双曲线 ： 与椭圆 有公共焦点， 再结合椭圆中a，b的值结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出双曲线中c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，得出a，b的关系式，再利用双曲线经过点 ， 再结合代入法得出a，b的关系式，从而解方程组求出a，b的值，进而求出双曲线的标准方程；再利用已知条件结合直线与双曲线的位置关系判断方法，从而求出实数的取值范围；再利用已知条件结合点斜式方程设出过点 的动直线方程，再结合动直线与双曲线相交，联立二者方程求出交点P，Q的坐标，再利用两点求斜率公式，从而求出直线 与直线 的斜率之和；利用已知条件结合动直线l与双曲线的位置关系，再利用双曲线的渐近线求解方法，从而求出双曲线的两条渐近线，再利用动直线与两渐近线相交，联立二者方程求出交点M，N的坐标，再利用两点距离公式和点到直线的距离公式，从而结合三角形的面积公式，进而求出三角形 （ 为坐标原点）的面积，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由椭圆 知： ，设 ，
A. 由题意知： 周长的为 ，当P，Q分别为上下顶点时，等号成立，故正确；
B. 点A到直线 距离为： ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
当 时，等号成立，所以 面积的最大值为 ，故正确；
C. 点F到直线 距离为： ，
，所以 ，
解得 ，此时，不妨设 ，
则 ，
所以 ，则 ，故正确；
D.因为 恒成立，
所以 为任意三角形，故错误；
故答案为：ABC
【分析】 先由椭圆方程求出a，b，c，利用椭圆的定义即可判断选项A；由 ，得 ，再利用三角形的面积公式即可判断选项B；点F到直线 距离为： ，，再利用三角形的面积公式即求得 可判断选项C； 恒成立，即可判断选项D.
13．【答案】4
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 准线 的方程为 ，因为点 到准线 的距离为2，
于是得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：4
【分析】由抛物线的简单性质和定义，整理即可求出a的取值。
14．【答案】y2=4x
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，
过F点且倾斜角为 的直线l与抛物线相交于A，B两点，
以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，以AB为直径的圆过点（﹣ ，2），
可知AB的中点的纵坐标为2，
直线l的方程为：y=x﹣ ，
则 ，可得y2﹣2py﹣p2=0，
则AB中点的纵坐标为 =2，解得p=2，
该抛物线的方程为：y2=4x。
故答案为y2=4x。
【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）标准方程求出焦点F的坐标，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而得出过F点且倾斜角为 的直线l的方程，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，以AB为直径的圆过点（﹣ ，2），从而得出AB的中点的纵坐标为2，从而求出直线l的斜截式方程为：y=x﹣ ，再利用直线与抛物线相交于A，B两点，联立二者方程结合韦达定理结合中点坐标公式得出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
15．【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=m，由题意可知 a=3，b=4，∴c=5，m-n=6
∵ ＝0，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2
∴m2+n2=4c2=100
则由得mn=32
∵
∴
则点P到x轴的距离为 .
故答案为：
【分析】根据双曲线的定义，结合向量的数量积与三角形面积公式求解即可.
16．【答案】13
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】由题意可得 ，则 ．
因为 ．
因为点 在椭圆 上，所以 ，
所以 ，
故 ，
所以 的最大值是13。
故答案为：13。
【分析】由题意可得 ，再利用两点距离公式求出 的值，再利用三角形两边之差小于第三边和椭圆的定义，从而求出 的最大值。
17．【答案】（1）∵双曲线的渐近线为y＝± x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为 ＝1.
（2）设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足 ·(－ )＝－1，∴x0＝ y0.①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3 ＋ ＝c2，即y0＝ c，∴x0＝ c，
∴点A的坐标为 ，代入双曲线方程得
＝1，即 b2c2－ a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得 c4－2a2c2＋a4＝0，
∴3 4－8 2＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝ ，
∴双曲线的离心率为 .
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】 (1)由双曲线 的双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，列出方程组求出a，b，由此能求出双曲线方程；
(2) 设点A的坐标为(x0，y0) ，从而 x0＝ y0 ， 3 ＋ ＝c2 ，进而 ＝1 ，由此能求出双曲线的离心率.
18．【答案】（1）解：由题意可得 ，则 ，由题意可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的标准方程为 .
（2）解：若直线 的斜率不存在，则 ，不合乎题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
，
整理得 ，即 ，解得 .
因此，直线 的方程为 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质计算出a与c的取值，然后由椭圆里a、b、c的关系计算出b的取值，从而得出椭圆的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入计算出结果即可。
19．【答案】（1）解：依题意可知 ， ，则 ，
所以点 的轨迹为以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆.
因为 ， ，则 ，所以曲线 的方程为 .
（2）解：依题意设 的方程为 ，代入 得 .
设 ， ，则 ，
则 的面积 ，
设 ， ，则 .
在 单调递减，
所以 时，即 时， 取最大值3，此时直线 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件结合椭圆的定义，整理化简即可得出点 的轨迹 ，由此得出答案。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后把结果代入到弦长公式和三角形的面积公式整理得出，令由此得出，结合对勾函数的单调性即可求出S的最大值，以及取得最大值时直线的方程。
20．【答案】（1）解：椭圆 离心率为 ，即 ，
∵点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
∴ ，
综上有： ， ，故椭圆方程为 ，
（2）解：由直线与椭圆交于 两点，联立方程：
，整理得 ，
设 ，则
，
，
，
，
原点 到 的距离 ，
为定值；
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)通过椭圆的离心率，结合点G (0， 2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，求出a， b，即可得到椭圆方程；
(2)由直线与椭圆交于M， N两点，联立 整理得 ， 设 ，利用△> 0以及韦达定理，通过斜率乘积推出 ，利用弦长公式以及点到直线的距离求解三角形的面积，求出结果即可.
21．【答案】（1）由已知得 ，联立 得 ，
，得 ，
所以椭圆C的方程为： ．
（2）设点 ， ，则 ， ，
由 得 ，
直线 ： 与直线l： 联立，
得 ，所以
同理
注意到 ，所以
把 代入，得 为定值．
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出a的取值，然后联立直线与椭圆的方程，消元计算出交点的再把，然后把数值代入到弦长公式计算出b的取值，由此得出椭圆的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程求解出，结合点斜式求出直线的方程，然后联立两条直线的方程计算出交点的坐标，由斜率的坐标公式计算出斜率，再由直线垂直斜率之间的关系，代入验证即可得出答案。
22．【答案】（1）由题意，设椭圆方程为
由于椭圆离心率为 ，且过点
解得
故椭圆 的标准方程为：
（2）由直线
联立 ，可得
设 ，则当 时
有
若以 为直径的圆经过定点 ，所以
由
得 ，将 代入可得
代入韦达定理可得：
化简可得：
解得： 或
若 ，直线 过 ，不合题意；
故 ，则直线 ，故直线过定点
（3）由题意，
设 ，则
当 时， 取得最大值为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由已知条件列出关于a， b的方程组求解，可得椭圆 的标准方程；
(2)将直线与椭圆的方程联立，化简到韦达定理之后，再根据以AB为直径的圆经过定点C(3，0)，则 ，将该条件坐标化，将韦达定理代入化简，最后找到参数k， m的关系，代入直线方程，即可判断所过的定点；
(3)借助于弦长公式将面积表示成为k的函数，最后利用换元法结合二次函数的性质求出 面积的最大值.
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021高二上·郫都期中）已知定点 ， ， 是圆 ： 上任意一点，点 关于点 的对称点为 ，线段 的中垂线与直线 相交于点 ，则点 的轨迹是（　　）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】D
【知识点】轨迹方程；双曲线的定义
【解析】【解答】因为N为 中点，O为 中点，
所以 ，
因为P在线段 的中垂线上，所以 ，
因此 ，即点 的轨迹是双曲线，
故答案为：D.
【分析】首先由已知条件作出图象，然后由圆的几何性质整理化简结合双曲线的定义即可得出答案。
2．（2021高二上·河北期中）双曲线 的焦点到C的渐近线的距离为（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 ，可得 ，可得 ，
所以双曲线C的焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，即 ，
所以焦点到渐近线的距离为 .
故答案为：B.
【分析】首先由双曲线的简单性质计算出c的取值，由此得出焦点的坐标以及渐近线的方程，再把数值代入到点到直线的距离公式计算出结果即可。
3．（2021高二上·湖州期中）“ 且 ”是“方程 表示椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义
【解析】【解答】解：当m>0，n>0，m=n时，方程mx2+ny2=1表示圆，不是充分条件，
当方程mx2+ny2=1表示椭圆，则m>0，n>0，是必要条件，
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的定义，结合充分必要条件的判定求解即可.
4．（2021高二上·温州期中）如果抛物线 的准线是直线 ，那么它的焦点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由于抛物线的准线是直线 ，所以它的焦点为 .
故答案为：D
【分析】由抛物线的方程，结合抛物线的简单性质即可求出准线的方程以及焦点的坐标。
5．（2021高二上·开封期中）已知点 是椭圆 的上顶点， 分别是椭圆左右焦点，直线 将三角形 分割为面积相等两部分，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为点 是椭圆 的上顶点， 分别是椭圆左右焦点，
所以 ， ，从而有 ，所以 ， ， ，
由题意，三角形 的面积为 1，
设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为 ，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形 分割为面积相等的两部分，可得 ，所以 ，故点M在射线 上．
设直线y＝ax+b和 的交点为N，则由 可得点N的坐标为 ．
①若点M和点 重合，如图：
则点N为线段 的中点，故N ，
把 、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b ．
②若点M在点O和点 之间，如图：
此时 ，点N在点 和点 之间，
由题意可得三角形 的面积等于 ，即 ，
即 ，可得a ，求得 ，
故有 ．
③若点M在点 的左侧，
则 ，由点M的横坐标 ，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和 的交点为P，则由 求得点P的坐标为 ，
此时，由题意可得，三角形APN的面积等于 ，即 ，
即 ，化简可得 ．
由于此时 b＞a＞0，所以 ．
两边开方可得 ，所以 ，化简可得 ，
故有 ．
综上，b的取值范围应是 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由椭圆的简单性质即可求出点的坐标，结合椭圆的方程求出点的坐标，从而计算出三角形的面积，联立直线的方程求解出点的坐标，由弦长公式和三角形的面积公式，代入数值整理得出，由此得出即可。
6．（2021高二上·温州期中）过椭圆 左焦点F作x轴的垂线，交椭圆于P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且 ，则该椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得： ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
即 ，解得 ，
故答案为：A
【分析】根据题意首先由椭圆的简单性质以及定义，整理即可得到，再由离心率公式结合整体思想得出关于e的方程，求解出e的值即可。
7．（2021高二上·深圳期中）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，P是C上一点， 垂直于x轴， ，则C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为 垂直于x轴， ，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以C的方程为 .
故答案为：C.
【分析】由椭圆的简单性质结合椭圆的定义，计算出a与c的值，然后由椭圆里a、b、c的关系计算出b的值，由此即可得出椭圆的方程。
8．（2021高二上·沈阳期中）阿基米德(公元前 年—公元前 年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 则椭圆 的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意，设椭圆C的方程为 ，
因为椭圆 的离心率为 ，面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 ，
故答案为：A.
【分析】已知条件列出方程组，求出 ，即可得出椭圆的方程。
二、多选题
9．（2021高二上·白城期中）已知方程 ＋ ＝1表示的曲线为C.则以下四个判断正确的为（　　）
A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆
B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：若曲线 ＋ ＝1 ： 表示椭圆，则 解得且 ，故A错误；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示双曲线，则 (4-t)(t-1)<0，解得t<1 或t>4 ，故B正确；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示焦点在x轴上的椭圆，则 ，解得，故C正确；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示焦点在y轴上的双曲线，则 ，解得t>4，故D正确；
故选：BCD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程求解即可.
10．（2020高二上·迁安期末）已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（　　）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】对于A，抛物线 ，即 ，易知点 的坐标为 ，A不符合题意；
对于B，显然直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，联立 ，整理得 ， ，B符合题意；
对于C，若 ，则 过点 ，则 ，当 时， ，即抛物线通经的长，C符合题意，
对于D，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，过点 ， ， 分别作准线的垂直线 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，所以线段 ，所以线段 的中点 到 轴的距离为 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点F的坐标；利用已知条件得出直线 斜率存在，设直线 的斜截式方程为 ，再利用直线与抛物线相交。联立二者方程结合韦达定理得出 的值；再利用 结合向量共线定理，则 过点 ，再利用弦长公式结合二次函数的图象求最值的方法，从而求出 ，即求出抛物线通经的长；利用抛物线的标准方程求出焦点的坐标和准线方程，过点 ， ， 分别作准线的垂直线 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，所以 ， ，所以 ，从而求出线段 的长，进而求出线段 的中点 到 轴的距离，从而找出结论正确的选项。
11．（2021高二上·河北期中）已知双曲线 ： 与椭圆 有公共焦点， 的左 右焦点分别为 ， ，且经过点 ，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线 的标准方程为
B．若直线 与双曲线 无交点，则
C．设 ，过点 的动直线与双曲线 交于 ， 两点（异于点 ），若直线 与直线 的斜率存在，且分别记为 ， ，则
D．若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，则 （ 为坐标原点）的面积为定值1
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A选项，由题意 ，且 ，联立解得 ，所以双曲线 的标准方程为 ，A符合题意；
对于B选项，因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以直线 与双曲线 无交点，则 ，B不符合题意；
对于C选项，过点 的动直线斜率存在且不为0，故设该动直线为 .设 ， ，联立 得 ，所以 解得 且 且 ， ， ，则 ，C符合题意；
对于D，由于动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，当直线 的斜率不存在时， ： ， ， ；当动直线 的斜率存在时，且斜率 时，不妨设直线 ： ，故由 ，从而 ，化简得 .又因为双曲线 的渐近线方程为 ，故由 从而点 ，同理可得， ，所以 ，又因为原点 到直线 ： 的距离 ，所以 ，又由 ，所以 ，故 的面积为定值1，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 利用双曲线 ： 与椭圆 有公共焦点， 再结合椭圆中a，b的值结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出双曲线中c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，得出a，b的关系式，再利用双曲线经过点 ， 再结合代入法得出a，b的关系式，从而解方程组求出a，b的值，进而求出双曲线的标准方程；再利用已知条件结合直线与双曲线的位置关系判断方法，从而求出实数的取值范围；再利用已知条件结合点斜式方程设出过点 的动直线方程，再结合动直线与双曲线相交，联立二者方程求出交点P，Q的坐标，再利用两点求斜率公式，从而求出直线 与直线 的斜率之和；利用已知条件结合动直线l与双曲线的位置关系，再利用双曲线的渐近线求解方法，从而求出双曲线的两条渐近线，再利用动直线与两渐近线相交，联立二者方程求出交点M，N的坐标，再利用两点距离公式和点到直线的距离公式，从而结合三角形的面积公式，进而求出三角形 （ 为坐标原点）的面积，从而找出说法正确的选项。
12．（2021高三上·石家庄月考）已知椭圆 ， 为 的右焦点， 为 的左顶点， 为直线 与 的两个交点，则下列叙述正确的是（　　）
A． 周长的最小值为
B． 面积的最大值为
C．若 的面积为 ，则 为直角三角形
D．若直线 与 的斜率之积为 ，则 为等腰三角形
【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由椭圆 知： ，设 ，
A. 由题意知： 周长的为 ，当P，Q分别为上下顶点时，等号成立，故正确；
B. 点A到直线 距离为： ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
当 时，等号成立，所以 面积的最大值为 ，故正确；
C. 点F到直线 距离为： ，
，所以 ，
解得 ，此时，不妨设 ，
则 ，
所以 ，则 ，故正确；
D.因为 恒成立，
所以 为任意三角形，故错误；
故答案为：ABC
【分析】 先由椭圆方程求出a，b，c，利用椭圆的定义即可判断选项A；由 ，得 ，再利用三角形的面积公式即可判断选项B；点F到直线 距离为： ，，再利用三角形的面积公式即求得 可判断选项C； 恒成立，即可判断选项D.
三、填空题
13．（2021高二上·河北期中）抛物线 上的点 到其准线 的距离为2，则 　 　．
【答案】4
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 准线 的方程为 ，因为点 到准线 的距离为2，
于是得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：4
【分析】由抛物线的简单性质和定义，整理即可求出a的取值。
14．（2021高三上·宁城月考）设抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线 与抛物线相交于 ， 两点，若以 为直径的圆过点 ，则该抛物线的方程为　 　．
【答案】y2=4x
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，
过F点且倾斜角为 的直线l与抛物线相交于A，B两点，
以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，以AB为直径的圆过点（﹣ ，2），
可知AB的中点的纵坐标为2，
直线l的方程为：y=x﹣ ，
则 ，可得y2﹣2py﹣p2=0，
则AB中点的纵坐标为 =2，解得p=2，
该抛物线的方程为：y2=4x。
故答案为y2=4x。
【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）标准方程求出焦点F的坐标，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而得出过F点且倾斜角为 的直线l的方程，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，以AB为直径的圆过点（﹣ ，2），从而得出AB的中点的纵坐标为2，从而求出直线l的斜截式方程为：y=x﹣ ，再利用直线与抛物线相交于A，B两点，联立二者方程结合韦达定理结合中点坐标公式得出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
15．（2021高二上·白城期中）双曲线 － ＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若 ＝0，则点P到x轴的距离为　 　．
【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=m，由题意可知 a=3，b=4，∴c=5，m-n=6
∵ ＝0，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2
∴m2+n2=4c2=100
则由得mn=32
∵
∴
则点P到x轴的距离为 .
故答案为：
【分析】根据双曲线的定义，结合向量的数量积与三角形面积公式求解即可.
16．（2021高二上·龙江期中）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，定点 ，点 是椭圆 上的动点，则 的最大值是　 　．
【答案】13
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】由题意可得 ，则 ．
因为 ．
因为点 在椭圆 上，所以 ，
所以 ，
故 ，
所以 的最大值是13。
故答案为：13。
【分析】由题意可得 ，再利用两点距离公式求出 的值，再利用三角形两边之差小于第三边和椭圆的定义，从而求出 的最大值。
四、解答题
17．（2021高二上·沈阳期中）已知双曲线 的右焦点为F(c，0)．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率．
【答案】（1）∵双曲线的渐近线为y＝± x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为 ＝1.
（2）设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足 ·(－ )＝－1，∴x0＝ y0.①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3 ＋ ＝c2，即y0＝ c，∴x0＝ c，
∴点A的坐标为 ，代入双曲线方程得
＝1，即 b2c2－ a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得 c4－2a2c2＋a4＝0，
∴3 4－8 2＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝ ，
∴双曲线的离心率为 .
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】 (1)由双曲线 的双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，列出方程组求出a，b，由此能求出双曲线方程；
(2) 设点A的坐标为(x0，y0) ，从而 x0＝ y0 ， 3 ＋ ＝c2 ，进而 ＝1 ，由此能求出双曲线的离心率.
18．（2021高二上·太原期中）已知椭圆 的短轴长为 ，其离心率是 .
（1）求橢圆 的方程；
（2）若过点 的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 、 ，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1）解：由题意可得 ，则 ，由题意可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的标准方程为 .
（2）解：若直线 的斜率不存在，则 ，不合乎题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
，
整理得 ，即 ，解得 .
因此，直线 的方程为 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质计算出a与c的取值，然后由椭圆里a、b、c的关系计算出b的取值，从而得出椭圆的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入计算出结果即可。
19．（2021高二上·郫都期中）如图，已知圆 ： ，点 是圆A内一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线 和半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）已知经过A的直线 与曲线 相交于M，N两点，求 面积的最大值，并求出此时直线 的方程.
【答案】（1）解：依题意可知 ， ，则 ，
所以点 的轨迹为以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆.
因为 ， ，则 ，所以曲线 的方程为 .
（2）解：依题意设 的方程为 ，代入 得 .
设 ， ，则 ，
则 的面积 ，
设 ， ，则 .
在 单调递减，
所以 时，即 时， 取最大值3，此时直线 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件结合椭圆的定义，整理化简即可得出点 的轨迹 ，由此得出答案。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后把结果代入到弦长公式和三角形的面积公式整理得出，令由此得出，结合对勾函数的单调性即可求出S的最大值，以及取得最大值时直线的方程。
20．（2021高二上·河南期中）已知椭圆 ．离心率为 ，点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点直线 的斜率之积等于 ，试探求 的面积是否为定值，并说明理由．
【答案】（1）解：椭圆 离心率为 ，即 ，
∵点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
∴ ，
综上有： ， ，故椭圆方程为 ，
（2）解：由直线与椭圆交于 两点，联立方程：
，整理得 ，
设 ，则
，
，
，
，
原点 到 的距离 ，
为定值；
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)通过椭圆的离心率，结合点G (0， 2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，求出a， b，即可得到椭圆方程；
(2)由直线与椭圆交于M， N两点，联立 整理得 ， 设 ，利用△> 0以及韦达定理，通过斜率乘积推出 ，利用弦长公式以及点到直线的距离求解三角形的面积，求出结果即可.
21．（2021高三上·金华月考）如图，椭圆C： 的左顶点为 ，直线l： 与椭圆C相交于A，B两点，当 时， ，过椭圆C右焦点F且斜率为 的直线 与直线 ， 分别相交于点M，N（点M，N均不在坐标轴上）．
（1）求椭圆C的方程：
（2）设直线 ， （O为坐标原点）的斜率分别为 ， ．问 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）由已知得 ，联立 得 ，
，得 ，
所以椭圆C的方程为： ．
（2）设点 ， ，则 ， ，
由 得 ，
直线 ： 与直线l： 联立，
得 ，所以
同理
注意到 ，所以
把 代入，得 为定值．
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出a的取值，然后联立直线与椭圆的方程，消元计算出交点的再把，然后把数值代入到弦长公式计算出b的取值，由此得出椭圆的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程求解出，结合点斜式求出直线的方程，然后联立两条直线的方程计算出交点的坐标，由斜率的坐标公式计算出斜率，再由直线垂直斜率之间的关系，代入验证即可得出答案。
22．（2021高二上·沈阳期中）已知椭圆 焦点在 轴，离心率为 ，且过点
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 与轨迹 交于 两点，若以 为直径的圆经过定点 ，求证：直线 经过定点 ，并求出 点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求 面积的最大值.
【答案】（1）由题意，设椭圆方程为
由于椭圆离心率为 ，且过点
解得
故椭圆 的标准方程为：
（2）由直线
联立 ，可得
设 ，则当 时
有
若以 为直径的圆经过定点 ，所以
由
得 ，将 代入可得
代入韦达定理可得：
化简可得：
解得： 或
若 ，直线 过 ，不合题意；
故 ，则直线 ，故直线过定点
（3）由题意，
设 ，则
当 时， 取得最大值为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由已知条件列出关于a， b的方程组求解，可得椭圆 的标准方程；
(2)将直线与椭圆的方程联立，化简到韦达定理之后，再根据以AB为直径的圆经过定点C(3，0)，则 ，将该条件坐标化，将韦达定理代入化简，最后找到参数k， m的关系，代入直线方程，即可判断所过的定点；
(3)借助于弦长公式将面积表示成为k的函数，最后利用换元法结合二次函数的性质求出 面积的最大值.
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