高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．（2021高三上·烟台期中）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A．-1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】 ，当 时， ，所以 ，由万能公式得： ，
所以 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，得出，再利用万能公式得出的值。
2．（2021高三上·太原期中）若 是函数 的极值点，则函数（ ）
A．有最小值 ，无最大值
B．有最大值 ，无最小值
C．有最小值 ，最大值
D．无最大值，无最小值
【答案】A
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题设， 且 ，
∴ ，可得 .
∴ 且 ，
当 时 ， 递减；当 时 ， 递增；
∴ 有极小值 ，无极大值.
综上，有最小值 ，无最大值。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用 是函数 的极值点， 从而求出实数a的值，再利用求导的方法求出函数的最值。
3．（2021高三上·运城期中）已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题设， 且 ，由 有两个极值点，
∴令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，
∴ ， ，且 ，得 .
又 ，且 ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，
∴ ，即 递增，故 ，
∴ 。
故答案为：B
【分析】由已知条件结合导数的运算法则，进而求出导函数，再利用 和函数 有两个不同的极值点 ， ，令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，再结合韦达定理和判别式法，得出实数a的取值范围，再利用 ，且 ，再利用代入法得出 ，从而得出 ，令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数 为增函数，从而求出函数的值域，进而求出实数t的取值范围。
4．（2021高三上·赣州期中）已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，可得 ，当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，得 ，
，
又已知 ，
， ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意构造函数结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得到，再由对数的运算性质结合对数函数的单调性即可得到，由此即可比较出a、b、c的大小。
5．（2021高三上·烟台期中）已知函数 （ ）的图象上存在点 ，函数 的图象上存在点 ，且 、 关于 轴对称，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ， ， ，
因为 上存在关于 轴对称的点，
所以 ，则 ，
令 ，要使有对称点，则 在 上有零点，
，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
又 ，
，
所以 ，
要使 在 上有零点，则 ，
即 ，解得 。
故答案为：C
【分析】令 ， ， ，利用 上存在关于 轴对称的点，所以 ，则 ，令 ，要使有对称点，则 在 上有零点，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值和最小值，再利用零点存在性定理，从而结合已知条件求出实数c的取值范围。
6．（2021高三上·龙岗期中）已知 为偶函数， 为奇函数，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B． ，
C． ，且 ，若 ，则
D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】由题可知：
所以
对A， ， ，故正确，不符合题意；
对B， ，令 ，
则 （当且仅当 时取等号）
又 ，所以 ，所以 在 单调递增，
所以 ，即
，所以函数 在 单调递增，
所以 ，B正确，不符合题意；
对C，设 则 ，令
所以 为 的增函数，等价于 在 上恒成立，
即 ，
（当且仅当 时取等号），
所以 ，C正确，不符合题意；
对D， ，
所以 ，D错误，符合题意
故答案为：D
【分析】 根据题意，由函数的奇偶性和解析式可得，联立可得f(x)、g (x)的解析式，然后逐项进行分析，可得答案。
7．（2021高三上·湖南期中）已知 是定义在R上的函数， 是 的导函数，满足： ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【解答】令 ，则 ，
所以 在R上单调递增，不等式 可化为 ，
而 ，则 ，即 ，
所以 ，即不等式解集为 .
故答案为：D
【分析】根据题意构造函数，对函数求导由导函数的性质即可得到函数的单调性，由函数的单调性即可得到不等式，结合题意整理即可得到，从求出不等式的解集。
8．（2021高三上·河南月考）若函数 在 上恰有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由于 ，
所以 ，
要使 在 上恰有两个不同的极值点，
则 在 上有两个不同的解，
令 ，
即二次函数 在 上有两个不同的解，
所以 ，解得 。
故答案为：B
【分析】由于 ，再利用导数的运算法则从而求出函数的导函数，要使 在 上恰有两个不同的极值点，则 在 上有两个不同的解，令 ，即二次函数 在 上有两个不同的解，从而结合二次函数的图象，进而求出实数a的取值范围。
二、多选题
9．（2021高三上·沈阳月考）已知函数 ，（ ）
A． 在 处取得极大值
B． 有两个不同的零点
C．
D．若 在 上恒成立，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【解答】易知函数 的定义域为 ，
，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 在 处取得极大值 ，A符合题意；
令 ，则 ，即 ，故 只有一个零点，B不符合题意；
显然 ，因此 ，易知 ， ，
设 ，则 ，当 时， ， 单调递减，而 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，C符合题意；
令 （ ），则 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 处取得极大值也是最大值 ，因为 在 上恒成立，所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值；再利用函数零点的求解方法，从而求出函数的零点；再利用函数的单调性，从而判断出的大小关系；再利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数k的取值范围，从而找出正确的选项。
10．（2021高二下·东莞期末）下图是函数 的导函数 的图象，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是 的极小值点
C． 是 的极小值点 D． 是 的极大值点
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意，根据 的图象，可得当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以A不正确；
不是函数 的极值点，所以B不正确；
是函数 的极小值点，所以C符合题意；
是函数 的极大值点，所以D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】 根据导数值与0的关系判断各个选项即可.
11．（2021高三上·湖南期中）已知函数 下列说法正确的是（ ）
A．对于 都存在零点
B．若 恒成立，则正实数a的最小值为
C．若 图像与直线 分别交于A，B两点，则 的最小值为
D．存在直线 与 的图像分别交于A，B两点，使得 在A处的切线与 在B处的切线平行
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为 ，所以 ，令 ，存在 使得 ，故 在 单调递减，在区间 单调递增， 的最小值为 ，当 时， 不存在零点，A不符合题意.
对于B，不等式化为 ，令 ，则 ，所以 在 上递增，故同构可得： ，即 的最大值，令 ，则 ，所以 时 ，当 时 ，所以 ，所以 成立，B符合题意.
对于C，可知 ， ， ，令
在 上递增，且 ，当 ，
当 ，所以， ，C符合题意.
对于D，假设存在 满足题意，可知
，因为在 在A处与 在B处的切线平行所以有， ，即 ，得 ，故存在m符合题意，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 对函数h(x)求导，利用函数单调性与导数的关系，求得h(x)的最小值，因此可得h(x)不存在零点由此判断出选项A错误；利用不等式，构造函数，利用函数的单调性，分离参数可得，结合其导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可求出函数的最大值，由此即可求得a的取值范围，从而判断出选项B正确；根据题意设出A和B点坐的标，由此求得，构造函数，利用函数单调性与导数的关系，即可求得最小值，因此求得的最小值，由此即可判断出选项C正确；由C选项可知，f(x)在A处与g(x)在B处的切线平行，因此可得，化简可得，由此即可求得m的值，所以存在m符合题意，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
12．（2021高三上·重庆月考）定义域在R上函数 的导函数为 ，满足 ， ，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，构造函数 ，则 ，
由 可知 ，
所以 在R上单调递增，且 ，
故 ，即 ， ，A不符合题意；
由 可得 ，B符合题意；
当 时， ，所以 ， ，
所以 ， ，
令 ，则 ，
所以 单调递增， ，即 ，
所以 ， ，
C符合题意；
由 可得 ，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】由题意可知，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性可知 在R上单调递增，得出，逐项进行判断可得答案。
三、填空题
13．（2021高三上·怀仁期中）函数 的图像在点 处的切线方程为 .
【答案】3x+2y-1=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意， ， ，
故 ， ，
故切线方程为： ，
即3x+2y-1=0。
故答案为：3x+2y-1=0。
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出函数在切点处的切线的方程。
14．（2021高三上·烟台期中）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ， ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ， 恒成立，
即 ， 恒成立，
设 ，
，
， ， 为减函数，
， ， 为增函数，
所以 ，即 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数 在 上单调递增，所以 ， 恒成立，即 ， 恒成立，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
15．（2021高三上·洮南月考）若 ， ，且函数 在 处有极值，则 的最大值等于 .
【答案】36
【知识点】利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：f'(x)=24x2-2mx-2n，
因为x = 1是极值点，故f'(1)=24-2m-2n=0，
所以m+n=12，又m，n >0，
所以，当且仅当m=n=6 时取等号，
故mn的最大值为36.
故答案为：36
【分析】根据函数的极值，结合基本不等式的性质求解即可.
16．（2021高三上·江西月考）已知函数 ，且 ， 为 的导函数，下列命题：
①存在实数 ，使得导函数 为增函数；
②当 时，函数 不单调；
③当 时，函数 在 上单调递减；
④当 时，函数 有极值．
在以上命题中，正确的命题序号是 ．
【答案】①②③④
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由 可得 ，
对于①，若 时， 为增函数，故①对；
对于②，若 时， ， ，
，使得 ，所以函数 不单调，故②对；
对于③，令 ，则 ，
当 时，由 得 ，由 得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 ，
要使 ，则令 ，则 ，所以 ，
令 ， ，
则 在 单调递减，在 单调递增，
而 ， 所以 恒成立，从而 ，即 恒成立，即 在 上单调减．故③正确；
对于④，当 时， ， ，可知 在 单调递减，在 单调递增，
因为 ， ，
，使得 ，所以函数 有极值，故④对．
综上所述：①②③④都正确，
故答案为：①②③④.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，CEO找出正确命题的序号。
四、解答题
17．（2021高三上·太原期中）已知函数 .
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
所以函数 为 上的单调递减函数
（2）解：若 恒成立，即 恒成立，
显然，当 时成立，
当 时，不等式等价于 恒成立，
令 ，则 ，
当 时，得 或 ，即函数 在 和 上单调递增，
当 时，得 ，即函数 在 上单调递减，
由于 时， 由正数趋近于 ，当 时，
所以函数 的草图如图，
所以 恒成立，只需
所以实数 的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断出函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
（2） 若 恒成立，即 恒成立，显然，当 时成立，当 时，不等式等价于 恒成立，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，从而画出函数 的图象，所以 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数 的取值范围。
18．（2021高三上·怀仁期中）已知函数 .
（1）当 时， 为 上的增函数，求 的最小值；
（2）若 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， .
由 为 上的增函数可得 对 恒成立，
则 ，∵ ，∴ ，∴ ，则 的最小值为 .
（2）解： ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ 为 上的增函数，
又 ，∴ 为奇函数，.
由 得 ，
∵ 为 上的增函数，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ .
故 的取值范围为
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） 利用b的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合已知条件函数 为 上的增函数，可得 对 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，则 ，再结合均值不等式求最值的方法，进而求出实数a的取值范围，进而求出实数a的最小值。
（2）利用导数的运算法则求出导函数，再利用 ，得出 ，再利用 和 ，得出 ，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数 为 上的增函数， 再利用奇函数的定义，从而判断出函数 为奇函数，再由 结合奇函数的定义，得出 ，再利用函数 为 上的增函数，从而结合增函数的性质，进而结合 ，从而求出满足要求的 的取值范围。
19．（2021高三上·湖北期中）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，判断函数 的零点个数.
【答案】（1）解：
函数的定义域为 ， ，
当 时， ， ，当且仅当 时， ，
在 单调递增；
当 时， 或 ，
， 在 ， 单调递增，在 单调递减；
当 时， 或 ， ，
在 ， 单调递增，在 单调递减；
综上所述：当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减
（2）解： ， ，
，
设 ， ，
所以 在 单调递增，
， ，
∴ ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴ ， ，
设 ， ，
∴ 在 单调递减，∴ ，∴ 在 成立，
∵ 在 单调递减，在 单调递增， ∴ ，
取 ，设 ，
，
∴ ， ，∴ ， ，
取 ，设
，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ 在定义域内有两个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域，然后对函数求导，结合a的取值范围即可得到导函数的性质，由此即可得到函数的单调性以及单调区间。
(2)根据题意首先化简函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性以及零点的定义即可得到，然后由零点存在性定理结合题意即可得证出结论。
20．（2021高三上·广东月考）已知函数 ．
（1）探究函数 的单调性；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解： ，得 ，
①若 ，则 ， 在 上单调递增；
②若 ，则 ，此时，当 时， ； 时， ；所以 在区间 上单调递增，在 上单调递减．
（2）解：法一：不等式 在 上恒成立，相当于 在 上恒成立．令 ，
则
①当 时，因在 上恒有 ，因此 是 的极大值点．所以此时有 ；
②当 时， ，此时 ，可知 分别是函数 的极大值点和极小值点，因此，有
；
③当 时， ，知 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以 ；
④当 时，同理可知 分别是函数 的极大值点和极小值点，因此，有 ；
综上可知，实数 的取值范围是 ．
法二：不等式变为：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ， ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；所以当 时， 取得极大值，即
所以 ，即 ，
所以
可知 是 的唯一极大值点，因而也是最大值点．所以 ；
③若 ， ，此时 ，即 在 上单调递减，所以 ；
综上可知，实数 的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想求解即可；
（2）法一，根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数g(x)的最值问题，利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性与极值，结合分类讨论思想求解即可；
法二，根据分类讨论思想，利用分离参数，构造函数 ，先利用研究函数的极值与最值，从而判断函数h(x)的单调性与最值，从而求解即可.
21．（2021高三上·南开期中）已知函数 的导数为 ，函数 .
（1）求 ；
（2）求 最小正周期及单调递减区间；
（3）若 ，不是单调函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：依题意，
（2）解：由(1)知， ，
则 的最小正周期为 ，
由 ， 得： ， ，
所以 的单调递减区间为 ，
（3）解：由(2)知， ， ，
当 时， ，则 ，即 ，
当 在 上单调时，则对 ， 或 成立，
由 ， 得： ， ，则 ，
由 ， 得： ， ，则 ，
因此，当 在 上单调时， 或 ，
于是得 不是单调函数时， ，
所以实数 的取值范围是
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性；三角函数的周期性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则，从而求出函数f(x)的导函数。
（2） 由(1)结合 和二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出正弦型函数g(x)的最小正周期，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象，从而判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数 的单调递减区间。
（3） 由(2)结合 知， ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合不等式恒成立问题求解方法，再利用已知条件 不是单调函数，从而求出实数 的取值范围。
22．（2021高三上·运城期中）已知函数
．
（1）求函数
的定义域；
（2）求曲线
在点
处的切线方程；
（3）求证：当
时，
．
【答案】（1）解：由 得， ， .所以函数 的定义域为 .
（2）解：由 得： ，又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为： .
（3）证明：由（2）得， .
当 时， 与 单调递增，
所以 在 上单调递增.
又 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 .
【知识点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用分式函数的定义域求解方法结合正弦型函数的图象，进而求出函数f(x)的定义域。
（2）利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用求导的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（3） 由（2）得出 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，进而证出当 时， 。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．（2021高三上·烟台期中）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A．-1 B． C． D．2
2．（2021高三上·太原期中）若 是函数 的极值点，则函数（ ）
A．有最小值 ，无最大值
B．有最大值 ，无最小值
C．有最小值 ，最大值
D．无最大值，无最小值
3．（2021高三上·运城期中）已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021高三上·赣州期中）已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021高三上·烟台期中）已知函数 （ ）的图象上存在点 ，函数 的图象上存在点 ，且 、 关于 轴对称，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021高三上·龙岗期中）已知 为偶函数， 为奇函数，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B． ，
C． ，且 ，若 ，则
D．
7．（2021高三上·湖南期中）已知 是定义在R上的函数， 是 的导函数，满足： ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021高三上·河南月考）若函数 在 上恰有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高三上·沈阳月考）已知函数 ，（ ）
A． 在 处取得极大值
B． 有两个不同的零点
C．
D．若 在 上恒成立，则
10．（2021高二下·东莞期末）下图是函数 的导函数 的图象，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是 的极小值点
C． 是 的极小值点 D． 是 的极大值点
11．（2021高三上·湖南期中）已知函数 下列说法正确的是（ ）
A．对于 都存在零点
B．若 恒成立，则正实数a的最小值为
C．若 图像与直线 分别交于A，B两点，则 的最小值为
D．存在直线 与 的图像分别交于A，B两点，使得 在A处的切线与 在B处的切线平行
12．（2021高三上·重庆月考）定义域在R上函数 的导函数为 ，满足 ， ，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2021高三上·怀仁期中）函数 的图像在点 处的切线方程为 .
14．（2021高三上·烟台期中）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围 .
15．（2021高三上·洮南月考）若 ， ，且函数 在 处有极值，则 的最大值等于 .
16．（2021高三上·江西月考）已知函数 ，且 ， 为 的导函数，下列命题：
①存在实数 ，使得导函数 为增函数；
②当 时，函数 不单调；
③当 时，函数 在 上单调递减；
④当 时，函数 有极值．
在以上命题中，正确的命题序号是 ．
四、解答题
17．（2021高三上·太原期中）已知函数 .
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
18．（2021高三上·怀仁期中）已知函数 .
（1）当 时， 为 上的增函数，求 的最小值；
（2）若 ， ，求 的取值范围.
19．（2021高三上·湖北期中）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，判断函数 的零点个数.
20．（2021高三上·广东月考）已知函数 ．
（1）探究函数 的单调性；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
21．（2021高三上·南开期中）已知函数 的导数为 ，函数 .
（1）求 ；
（2）求 最小正周期及单调递减区间；
（3）若 ，不是单调函数，求实数 的取值范围.
22．（2021高三上·运城期中）已知函数
．
（1）求函数
的定义域；
（2）求曲线
在点
处的切线方程；
（3）求证：当
时，
．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】 ，当 时， ，所以 ，由万能公式得： ，
所以 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，得出，再利用万能公式得出的值。
2．【答案】A
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题设， 且 ，
∴ ，可得 .
∴ 且 ，
当 时 ， 递减；当 时 ， 递增；
∴ 有极小值 ，无极大值.
综上，有最小值 ，无最大值。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用 是函数 的极值点， 从而求出实数a的值，再利用求导的方法求出函数的最值。
3．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题设， 且 ，由 有两个极值点，
∴令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，
∴ ， ，且 ，得 .
又 ，且 ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，
∴ ，即 递增，故 ，
∴ 。
故答案为：B
【分析】由已知条件结合导数的运算法则，进而求出导函数，再利用 和函数 有两个不同的极值点 ， ，令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，再结合韦达定理和判别式法，得出实数a的取值范围，再利用 ，且 ，再利用代入法得出 ，从而得出 ，令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数 为增函数，从而求出函数的值域，进而求出实数t的取值范围。
4．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，可得 ，当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，得 ，
，
又已知 ，
， ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意构造函数结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得到，再由对数的运算性质结合对数函数的单调性即可得到，由此即可比较出a、b、c的大小。
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ， ， ，
因为 上存在关于 轴对称的点，
所以 ，则 ，
令 ，要使有对称点，则 在 上有零点，
，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
又 ，
，
所以 ，
要使 在 上有零点，则 ，
即 ，解得 。
故答案为：C
【分析】令 ， ， ，利用 上存在关于 轴对称的点，所以 ，则 ，令 ，要使有对称点，则 在 上有零点，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值和最小值，再利用零点存在性定理，从而结合已知条件求出实数c的取值范围。
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】由题可知：
所以
对A， ， ，故正确，不符合题意；
对B， ，令 ，
则 （当且仅当 时取等号）
又 ，所以 ，所以 在 单调递增，
所以 ，即
，所以函数 在 单调递增，
所以 ，B正确，不符合题意；
对C，设 则 ，令
所以 为 的增函数，等价于 在 上恒成立，
即 ，
（当且仅当 时取等号），
所以 ，C正确，不符合题意；
对D， ，
所以 ，D错误，符合题意
故答案为：D
【分析】 根据题意，由函数的奇偶性和解析式可得，联立可得f(x)、g (x)的解析式，然后逐项进行分析，可得答案。
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【解答】令 ，则 ，
所以 在R上单调递增，不等式 可化为 ，
而 ，则 ，即 ，
所以 ，即不等式解集为 .
故答案为：D
【分析】根据题意构造函数，对函数求导由导函数的性质即可得到函数的单调性，由函数的单调性即可得到不等式，结合题意整理即可得到，从求出不等式的解集。
8．【答案】B
【知识点】二次函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由于 ，
所以 ，
要使 在 上恰有两个不同的极值点，
则 在 上有两个不同的解，
令 ，
即二次函数 在 上有两个不同的解，
所以 ，解得 。
故答案为：B
【分析】由于 ，再利用导数的运算法则从而求出函数的导函数，要使 在 上恰有两个不同的极值点，则 在 上有两个不同的解，令 ，即二次函数 在 上有两个不同的解，从而结合二次函数的图象，进而求出实数a的取值范围。
9．【答案】A,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【解答】易知函数 的定义域为 ，
，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 在 处取得极大值 ，A符合题意；
令 ，则 ，即 ，故 只有一个零点，B不符合题意；
显然 ，因此 ，易知 ， ，
设 ，则 ，当 时， ， 单调递减，而 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，C符合题意；
令 （ ），则 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 处取得极大值也是最大值 ，因为 在 上恒成立，所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值；再利用函数零点的求解方法，从而求出函数的零点；再利用函数的单调性，从而判断出的大小关系；再利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数k的取值范围，从而找出正确的选项。
10．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意，根据 的图象，可得当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以A不正确；
不是函数 的极值点，所以B不正确；
是函数 的极小值点，所以C符合题意；
是函数 的极大值点，所以D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】 根据导数值与0的关系判断各个选项即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为 ，所以 ，令 ，存在 使得 ，故 在 单调递减，在区间 单调递增， 的最小值为 ，当 时， 不存在零点，A不符合题意.
对于B，不等式化为 ，令 ，则 ，所以 在 上递增，故同构可得： ，即 的最大值，令 ，则 ，所以 时 ，当 时 ，所以 ，所以 成立，B符合题意.
对于C，可知 ， ， ，令
在 上递增，且 ，当 ，
当 ，所以， ，C符合题意.
对于D，假设存在 满足题意，可知
，因为在 在A处与 在B处的切线平行所以有， ，即 ，得 ，故存在m符合题意，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 对函数h(x)求导，利用函数单调性与导数的关系，求得h(x)的最小值，因此可得h(x)不存在零点由此判断出选项A错误；利用不等式，构造函数，利用函数的单调性，分离参数可得，结合其导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可求出函数的最大值，由此即可求得a的取值范围，从而判断出选项B正确；根据题意设出A和B点坐的标，由此求得，构造函数，利用函数单调性与导数的关系，即可求得最小值，因此求得的最小值，由此即可判断出选项C正确；由C选项可知，f(x)在A处与g(x)在B处的切线平行，因此可得，化简可得，由此即可求得m的值，所以存在m符合题意，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，构造函数 ，则 ，
由 可知 ，
所以 在R上单调递增，且 ，
故 ，即 ， ，A不符合题意；
由 可得 ，B符合题意；
当 时， ，所以 ， ，
所以 ， ，
令 ，则 ，
所以 单调递增， ，即 ，
所以 ， ，
C符合题意；
由 可得 ，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】由题意可知，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性可知 在R上单调递增，得出，逐项进行判断可得答案。
13．【答案】3x+2y-1=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意， ， ，
故 ， ，
故切线方程为： ，
即3x+2y-1=0。
故答案为：3x+2y-1=0。
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出函数在切点处的切线的方程。
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ， ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ， 恒成立，
即 ， 恒成立，
设 ，
，
， ， 为减函数，
， ， 为增函数，
所以 ，即 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数 在 上单调递增，所以 ， 恒成立，即 ， 恒成立，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
15．【答案】36
【知识点】利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：f'(x)=24x2-2mx-2n，
因为x = 1是极值点，故f'(1)=24-2m-2n=0，
所以m+n=12，又m，n >0，
所以，当且仅当m=n=6 时取等号，
故mn的最大值为36.
故答案为：36
【分析】根据函数的极值，结合基本不等式的性质求解即可.
16．【答案】①②③④
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由 可得 ，
对于①，若 时， 为增函数，故①对；
对于②，若 时， ， ，
，使得 ，所以函数 不单调，故②对；
对于③，令 ，则 ，
当 时，由 得 ，由 得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 ，
要使 ，则令 ，则 ，所以 ，
令 ， ，
则 在 单调递减，在 单调递增，
而 ， 所以 恒成立，从而 ，即 恒成立，即 在 上单调减．故③正确；
对于④，当 时， ， ，可知 在 单调递减，在 单调递增，
因为 ， ，
，使得 ，所以函数 有极值，故④对．
综上所述：①②③④都正确，
故答案为：①②③④.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，CEO找出正确命题的序号。
17．【答案】（1）解：当 时， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
所以函数 为 上的单调递减函数
（2）解：若 恒成立，即 恒成立，
显然，当 时成立，
当 时，不等式等价于 恒成立，
令 ，则 ，
当 时，得 或 ，即函数 在 和 上单调递增，
当 时，得 ，即函数 在 上单调递减，
由于 时， 由正数趋近于 ，当 时，
所以函数 的草图如图，
所以 恒成立，只需
所以实数 的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断出函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
（2） 若 恒成立，即 恒成立，显然，当 时成立，当 时，不等式等价于 恒成立，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，从而画出函数 的图象，所以 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数 的取值范围。
18．【答案】（1）解：当 时， .
由 为 上的增函数可得 对 恒成立，
则 ，∵ ，∴ ，∴ ，则 的最小值为 .
（2）解： ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ 为 上的增函数，
又 ，∴ 为奇函数，.
由 得 ，
∵ 为 上的增函数，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ .
故 的取值范围为
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） 利用b的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合已知条件函数 为 上的增函数，可得 对 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，则 ，再结合均值不等式求最值的方法，进而求出实数a的取值范围，进而求出实数a的最小值。
（2）利用导数的运算法则求出导函数，再利用 ，得出 ，再利用 和 ，得出 ，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数 为 上的增函数， 再利用奇函数的定义，从而判断出函数 为奇函数，再由 结合奇函数的定义，得出 ，再利用函数 为 上的增函数，从而结合增函数的性质，进而结合 ，从而求出满足要求的 的取值范围。
19．【答案】（1）解：
函数的定义域为 ， ，
当 时， ， ，当且仅当 时， ，
在 单调递增；
当 时， 或 ，
， 在 ， 单调递增，在 单调递减；
当 时， 或 ， ，
在 ， 单调递增，在 单调递减；
综上所述：当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减
（2）解： ， ，
，
设 ， ，
所以 在 单调递增，
， ，
∴ ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴ ， ，
设 ， ，
∴ 在 单调递减，∴ ，∴ 在 成立，
∵ 在 单调递减，在 单调递增， ∴ ，
取 ，设 ，
，
∴ ， ，∴ ， ，
取 ，设
，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ 在定义域内有两个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域，然后对函数求导，结合a的取值范围即可得到导函数的性质，由此即可得到函数的单调性以及单调区间。
(2)根据题意首先化简函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性以及零点的定义即可得到，然后由零点存在性定理结合题意即可得证出结论。
20．【答案】（1）解： ，得 ，
①若 ，则 ， 在 上单调递增；
②若 ，则 ，此时，当 时， ； 时， ；所以 在区间 上单调递增，在 上单调递减．
（2）解：法一：不等式 在 上恒成立，相当于 在 上恒成立．令 ，
则
①当 时，因在 上恒有 ，因此 是 的极大值点．所以此时有 ；
②当 时， ，此时 ，可知 分别是函数 的极大值点和极小值点，因此，有
；
③当 时， ，知 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以 ；
④当 时，同理可知 分别是函数 的极大值点和极小值点，因此，有 ；
综上可知，实数 的取值范围是 ．
法二：不等式变为：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ， ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；所以当 时， 取得极大值，即
所以 ，即 ，
所以
可知 是 的唯一极大值点，因而也是最大值点．所以 ；
③若 ， ，此时 ，即 在 上单调递减，所以 ；
综上可知，实数 的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想求解即可；
（2）法一，根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数g(x)的最值问题，利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性与极值，结合分类讨论思想求解即可；
法二，根据分类讨论思想，利用分离参数，构造函数 ，先利用研究函数的极值与最值，从而判断函数h(x)的单调性与最值，从而求解即可.
21．【答案】（1）解：依题意，
（2）解：由(1)知， ，
则 的最小正周期为 ，
由 ， 得： ， ，
所以 的单调递减区间为 ，
（3）解：由(2)知， ， ，
当 时， ，则 ，即 ，
当 在 上单调时，则对 ， 或 成立，
由 ， 得： ， ，则 ，
由 ， 得： ， ，则 ，
因此，当 在 上单调时， 或 ，
于是得 不是单调函数时， ，
所以实数 的取值范围是
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性；三角函数的周期性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则，从而求出函数f(x)的导函数。
（2） 由(1)结合 和二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出正弦型函数g(x)的最小正周期，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象，从而判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数 的单调递减区间。
（3） 由(2)结合 知， ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合不等式恒成立问题求解方法，再利用已知条件 不是单调函数，从而求出实数 的取值范围。
22．【答案】（1）解：由 得， ， .所以函数 的定义域为 .
（2）解：由 得： ，又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为： .
（3）证明：由（2）得， .
当 时， 与 单调递增，
所以 在 上单调递增.
又 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 .
【知识点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用分式函数的定义域求解方法结合正弦型函数的图象，进而求出函数f(x)的定义域。
（2）利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用求导的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（3） 由（2）得出 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，进而证出当 时， 。
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