人教版数学八下第2话直角三角形学案
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第2话：直角三角形
课堂思维碰撞
第一层：勾股定理进阶
知识导入
1．勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2＋b2＝c2可变形为：
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长,,满足，那么这个三角形是直角三角形．
勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同整数倍数后，仍为勾股数．即如果,,勾股数，那么，，（是正整数）也是勾股数。
常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17；９、４０、４１.
能力提升
例1 勾股定理
(1)一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则此三角形的第三边长为__________.
（2）若一个直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长为______．
（3）一直角三角形的一直角边长为，斜边长比另一直角边长大，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
（4）直角三角形两直角边边长为和，则斜边上的高为________.
（5）在中，，，高，则三角形的周长是______．
【答案】(1)10（2）或；（3）C；（4）；（5）或；
例2 勾股定理逆定理
（1）已知三组数据：①2，3，4；②；③14,48,50；④12,15,9；⑤，⑥12，15，20分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（ ）个
A．3 B．4 C． 5 D．6
（2）园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
【答案】（1）B（2）B
第二层：特殊直角三角形
知识导入
等腰直角三角形三边之比为 30°、60°、90°的直角三角形三边之比为
’
30°、30°、120°的等腰三角形三边之比为 边长为的等边三角形的高，面积
能力提升
例3 在括号里填出线段的长度.
例4 （1）在，，已知，，则_______ ________.
（2）已知，中，，，，则=______，=___________.
【答案】（1）6，（2），
第三层：勾股定理的应用
能力提升
例5如图，一架长为7.5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子底端距离墙有4.5米．
（1）求梯子顶端与地面的距离的长；
（2）若梯子顶点下滑1米到点，求梯子的底端向右滑到的距离．
【答案】（1）根据勾股定理知：
（2），
例6（1）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4米，
①树高为多少米？
②大树倒下前，树顶盘旋着一只小鸟，当大树倒下后，小鸟从树顶快速地飞向点B拯救自己的“鸟蛋”，已知小鸟的速度为1.5米/秒，则小鸟从树顶飞到B点需要多少时间？
【答案】①8米，②秒
（2）如图，中，，，．将折叠，使点与重合，得折痕，求的面积．
【答案】（1）
（2）在中，，∴，
设，∴，由题意，，
在中，，∴，
∴，解得，∴，
∴
例7 （1）如图，有一个圆柱体，它的高等于，底面半径等于，一只蚂蚁在点处，它要吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路线是___________（的值取）．
【答案】
（2）如图，正方体的棱长是5cm，一只蚂蚁在下底面的顶点A处，点B在点A相对的棱上，距离上底面2cm，蚂蚁从点A沿正方体的表面爬行到点B的最短路程是________
【答案】
课后创新培养
课后作业
练1 某楼梯的侧面视图如图所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为__________．
(
B
C
A
30
°
)
【答案】；
练2如图，在中，于点，，，，求的长．
【答案】∴．
练3（1）若直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为____________．
（2）直角三角形的两直角边的长分别是和，则斜边上的高为__________．
（3）在一个直角三角形中．三边的平方和为，则斜边长为（ ）
A．80 B．30 C．90 D．120
（4）直角三角形的周长为，斜边长为，则其面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）或；（2）；（3）B；（4）C
练4如图，一个梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端下落了（ ）米
A． B． C． D．
【答案】A
练5 如图，一棵高为8m的大树被台风刮断，若树在离地面3m点C处折断，则树顶端落在离树底部______米处．
【答案】A
6
5
课堂思维碰撞
第一层：勾股定理进阶
知识导入
1．勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2＋b2＝c2可变形为：
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长,,满足，那么这个三角形是直角三角形．
勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同整数倍数后，仍为勾股数．即如果,,勾股数，那么，，（是正整数）也是勾股数。
常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17；９、４０、４１.
能力提升
例1 勾股定理
(1)一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则此三角形的第三边长为__________.
（2）若一个直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长为______．
（3）一直角三角形的一直角边长为，斜边长比另一直角边长大，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
（4）直角三角形两直角边边长为和，则斜边上的高为________.
（5）在中，，，高，则三角形的周长是______．
【答案】(1)10（2）或；（3）C；（4）；（5）或；
例2 勾股定理逆定理
（1）已知三组数据：①2，3，4；②；③14,48,50；④12,15,9；⑤，⑥12，15，20分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（ ）个
A．3 B．4 C． 5 D．6
（2）园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
【答案】（1）B（2）B
第二层：特殊直角三角形
知识导入
等腰直角三角形三边之比为 30°、60°、90°的直角三角形三边之比为
’
30°、30°、120°的等腰三角形三边之比为 边长为的等边三角形的高，面积
能力提升
例3 在括号里填出线段的长度.
例4 （1）在，，已知，，则_______ ________.
（2）已知，中，，，，则=______，=___________.
【答案】（1）6，（2），
第三层：勾股定理的应用
能力提升
例5如图，一架长为7.5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子底端距离墙有4.5米．
（1）求梯子顶端与地面的距离的长；
（2）若梯子顶点下滑1米到点，求梯子的底端向右滑到的距离．
【答案】（1）根据勾股定理知：
（2），
例6（1）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4米，
①树高为多少米？
②大树倒下前，树顶盘旋着一只小鸟，当大树倒下后，小鸟从树顶快速地飞向点B拯救自己的“鸟蛋”，已知小鸟的速度为1.5米/秒，则小鸟从树顶飞到B点需要多少时间？
【答案】①8米，②秒
（2）如图，中，，，．将折叠，使点与重合，得折痕，求的面积．
【答案】（1）
（2）在中，，∴，
设，∴，由题意，，
在中，，∴，
∴，解得，∴，
∴
例7 （1）如图，有一个圆柱体，它的高等于，底面半径等于，一只蚂蚁在点处，它要吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路线是___________（的值取）．
【答案】
（2）如图，正方体的棱长是5cm，一只蚂蚁在下底面的顶点A处，点B在点A相对的棱上，距离上底面2cm，蚂蚁从点A沿正方体的表面爬行到点B的最短路程是________
【答案】
课后创新培养
课后作业
练1 某楼梯的侧面视图如图所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为__________．
(
B
C
A
30
°
)
【答案】；
练2如图，在中，于点，，，，求的长．
【答案】∴．
练3（1）若直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为____________．
（2）直角三角形的两直角边的长分别是和，则斜边上的高为__________．
（3）在一个直角三角形中．三边的平方和为，则斜边长为（ ）
A．80 B．30 C．90 D．120
（4）直角三角形的周长为，斜边长为，则其面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）或；（2）；（3）B；（4）C
练4如图，一个梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端下落了（ ）米
A． B． C． D．
【答案】A
练5 如图，一棵高为8m的大树被台风刮断，若树在离地面3m点C处折断，则树顶端落在离树底部______米处．
【答案】A
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