人教版数学八下第3话平行四边形、矩形综合学案

第3话：平行四边形、矩形综合
课堂思维碰撞
第一层：平行四边形进阶
知识导入
性质 图解
边 ①两组对边分别平行且相等 ①， ②,， ③, ④ ⑤,
角 ②对角相等，邻角互补
对角线 ③对角线互相平分 ④分成的四个小三角形面积相等 其中两对小三角形全等 ⑤对角线交点为平行四边形对称中心
周长 ①周长=邻边之和×2 ① ②
面积 ②面积=底×高
对称中心 ①过对称中心的直线把平行四边形分成全等两部分 ②过对称中心的直线平分平行四边形的面积和周长 ① ②
角分线 ①任一角分线与边相交成等腰三角形 ②邻角角分线互相垂直 ①为等腰三角形 ②
平行四边形中面积一半问题：
点在边上 点在内部 点在外部
能力提升
例1 平行四边形性质和判定
（1）平行四边形中，，周长为，则____，_____．
【答案】，
（2）如图，平行四边形中，对角线，相交于点，
将平移至的位置，则图中与相等的其它线段有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B（和）
（3）如图，在平行四边形中，，在上取，则________．
【答案】
（4）在四边形ABCD中，若有下列四个条件：
①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD．
现以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（　　）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【答案】A
例2 平行四边形的模型
（1）如图，□ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE⊥CE，若BE＝4，CE＝3，则□ABCD的面积是
【答案】12
（2）如图：是内的一点，，则=___________．
【答案】1:6
（3）如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作交于，如果的周长为，那么平行四边形的周长为___________．
【答案】
例3 现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．
【答案】
第二层：矩形进阶
知识导入
知识点 典型范例
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．也就是长方形． 矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等． 矩形的特殊性质：①AC=BD ②∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°
矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定： 四边形ABCD是平行四边形，一个角为90°； 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD 任意三个角等于90°的四边形
斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，则CD=
重要模型： 结论：
能力提升
例4 矩形模型
（1）如图，已知矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，，则=______．
（2）如图所示，矩形内一点到、、的长分别是2、3、4，则 的长为______．
（3）已知，如图，在矩形中，是边上的动点，于，于，如果， ，那么PE+PF=______
【答案】（1）；（2）；（3）
例5 矩形折叠
（1）如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
（2）如图，已知矩形，将沿对角线折叠，记点的对应点为，若，则的度数为________．
【答案】
（3）已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，，求的长．
【解析】由题意得，.
在中，应用勾股定理得，
.
所以.
在中，应用勾股定理，设，得
.
解得 即.
（4）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在处，若，，则的长为（　　）
A． B．3 C．1 D．
【答案】A
（5）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使点与点重合，则AECF的面积为________．
【答案】 20
横扫学霸
例6 如图，在四边形中，，，，、两点在边上，且四边形是平行四边形．
⑴与有何等量关系？请说明理由；
⑵当时，求证：平行四边形是矩形．
【答案】⑴ 解：.
理由如下：
∵，，，
∴四边形和四边形都是平行四边形.
∴，.
又四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
⑵ 证明：四边形和四边形都是平行四边形，
∴，.
∵，
∴.
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形.
课后创新培养
课后作业
练1 如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=3，EF=1，则BC长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
练2 已知P是平行四边形ABCD内一点，若S△ABP：SABCD=2：5，则S△CPD：SABCD=_______
【答案】1:10
练3 如图，将矩形沿折叠，若则________．
【答案】
练4 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为________
【答案】5
练5 如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
【答案】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
4
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