人教版八下数学第6话一次函数的解析式和图象变化学案

第6话：一次函数的解析式与图象变换
课堂思维碰撞
第一层： 一次函数进阶
知识导入
一、一次函数的概念
一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，此时为正比例函数．
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
二、一次函数的图象
⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．
⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；
②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．
⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．
三、一次函数的性质
一次 函数
， 符号
图象
性质 随的增大而增大 随的增大而减小
1．一次函数图象的位置
在一次函数中：
⑴当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．
⑵当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴
交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．
反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．
2．一次函数图象的增减性
在一次函数中：
⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
能力提升
例1 （1）若函数是正比例函数，则________．
（2）若，是正比例函数，则________．
（3）若是正比例函数，则________．
【答案】、-1、-1
例2（1）函数y=(m-1)x+mn在_________条件下，y是x的一次函数；在_________条件下，y与x成正比例函数.
(2)已知y=(m-2)x+m+2是一次函数，则m_____.
(3)一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么( ).
A. k>0, b>0 B. k>0, b<0 C. k<0, b>0 D. k<0, b<0
(4)已知一次函数y=kx+b，其中kb>0，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过( ).
A. 第一,二象限 B. 第二,三象限 C. 第三,四象限 D. 第一,四象限
【答案】（1）m≠1，m≠1且n=0；（2）m≠2；（3）B（4）B
第二层： 一次函数解析式
知识导入
一次函数解析式求法-------待定系数法:
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将x，y的几对值，或图象上的几个点的坐标代入所设的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程(组)，得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．
能力提升
例3 （1）一个正比例函数的图象经过点（﹣2，4），它的表达式为（　　）
A．y=﹣2x B．y=2x C．y=﹣x D．y=x
【答案】A
（2）直线与轴的交点是，则的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
（3）如图，已知直线经过点，求此直线与轴，轴的交点坐标．
【答案】由题意，在直线上，
∴，∴，∴直线解析式为，
令，则；令，则；
∴直线与轴交于，与轴交于.
（4）若一次函数y=kx+b的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（　　）
A．y=﹣x﹣2 B．y=﹣x﹣6 C．y=﹣x﹣1 D．y=﹣x+10
【答案】D
例4
（1）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（-3，6），求y与x的函数关系式.
【答案】y=-2x
（2）已知直线y=kx+b经过（﹣5，1）和点（3，﹣3），
①求一次函数的解析式.
②当x=-6时，求对应的函数值y；
③当x取何值时，．
【答案】① ；②；③
例5 已知直线与坐标轴所围成的三角形的面积为9，求该一次函数的解析式.
【答案】；或
第三层： 一次函数图象变换
知识导入
直线的平移：
(1)当直线向左(右)平移个单位时，可得：( )；
(2)当直线向上(下)平移个单位时，可得：( ).
由一次函数平移特征可以发现，如果两个一次函数的图像互相平行，则值相等；反之亦然.
直线的对称：
(1)直线关于 轴对称后得到的直线解析式为；
(2)直线关于 轴对称后得到的直线解析式为；
(3)直线关于原点对称后得到的直线解析式为.
能力提升
.例6 (1)把函数的图像向左平移2个单位，所得函数图像的解析式 ；
(2)把函数的图像向下平移4个单位，所得函数图像的解析式为 ；
(3) 直线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是 ；
（4）要从的图象得到直线，就要把直线（　　）．
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
(5)若将直线的图像向上平移3个单位长度后经过点(2，7)，则平移后直线的解析式为 .
【答案】（1）；（2）； （3）．（4）B
（5）
例7 (1)一束光线沿直线照射到 轴上的平面镜 后被反射，则反射光线所在的直线的函数表达式为 .
（2）若直线：与直线关于轴对称，则直线的解析式是 .
（3）若直线与直线关于原点对称，则直线的解析式是 .
【答案】 （1）y=2x-4
（2）
（3）
课后创新培养
课后作业
练1 已知正比例函数的图象经过点，则正比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
练2 一条直线经过点（2，﹣1），且与直线y=﹣3x+1平行，则这条直线的解析式为　 　．
【答案】y=﹣3x+5
练3 已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式．
【答案】设一次函数为
因为它的图象经过、，
则
解得
所以所求一次函数为
练4 已知：函数
⑴若函数图象过，求此函数的解析式．
⑵若函数图象与直线平行，求其函数的解析式．
【答案】⑴由已知有，
解得，此函数的解析式为；
⑵由已知有，即，
函数的解析式；
练5 将直线y=﹣2x沿x轴向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的直线是（　　）
A．y=﹣2x+2 B．y=﹣x+2 C．y=﹣2x+4 D．y=﹣2x+6
【答案】C
练6 已知直线y=2x-1，求它关于x轴、y轴、原点对称的直线的解析式.
【答案】关于x轴对称：y=-2x+1；关于y轴对称：y=-2x-1；关于原点对称：y=2x+1
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