人教版数学八下第12话数据的分析学案
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第12话：数据的分析
课堂思维碰撞
第一层： 数据的分析
知识导入
算术平均数：算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。公式：
加权平均数：根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重，这种比重，称为权（weight），相应的平均数称为加权平均数.
一般地，若n个数的权分别是，则加权平均数为
中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
方差：设n个数据，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，我们用这些数的平均数，即来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
夯实基础
例1 基本概念
（1）如果一组数据的平均数是5，则的值是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
【答案】A
（2）某中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中课外体育占20%，其中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小彤的三项成绩（百分制）依次为95，90，94，则小彤这学期的体育成绩为（ ）
A．89 B．90 C．92 D．93
【答案】D
（3）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.5
【答案】B
（4）数据的方差是 ．（保留两位有效数字）
能力提升
例2 数据变化
（1）已知数据的中位数是,则= ,众数是 ,平均数是 ．
【答案】解：将除外的5个数从小到大排列为：．
加入后,有6个数,中位数即第3、4位平均数是,故应为第3个或第4个,且与的平均数是,故；
众数是出现次数最多的数,即；
平均数为．
故填．
（2）将一组数据中每一个数减去50后，所得新的一组数据的平均数是2，则原来那组数据的平均数是（ ）
A． B．52 C．48 D．2
【答案】解：由题意知，新的一组数据的平均数
∴
∴，即原来的一组数据的平均数为52．
故选B．
（3）一组数据的方差是2，将这组数据都扩大3倍，则所得一组新数据的方差是（ ）
A．2 B．6 C．32 D．18
【答案】D
第二层： 数据分析综合
夯实基础
例3 基础综合
（1）下列说法正确的个数是（ ）
①样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；
②一组数据的众数只有一个；
③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据；
④数据：2，2，3，2，2，5的众数为4；
⑤一组数据的方差一定是正数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】解：①样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好，故①正确；
②一组数据的众数不只有一个，有时有好几个，故②错误；
③一组数据的中位数不一定是这组数据中的某一数，若这组数据有偶数个即是将一组数据从小到大重新排列后最中间两个数的平均数，故③错误；
④数据：2，2，3，2，2，5的众数为2，故④错误；
⑤一组数据的方差不一定是正数，也可能为零，故⑤错误．
所以说法正确的个数是1个．
故选：B．
（2）甲，乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填人下表：
班级 人数 中位数 方差 平均字数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学根据上表分析得出如下结论：
①甲，乙两班学生成绩的平均水平相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；
③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大．上述结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确；
甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况大，所以（3）也正确．
故选：A．
能力提升
例4 统计量的选择
（1）2007年10月1日是中华人民共和国成立58周年纪念日，要在某校选择256名身高基本相同的女同学组成表演方体，在这个问题中我们最值的关注的是该校所有女生身高的 ．（填“平均数”或“中位数”或“众数”）
【答案】解：根据题意：在这个问题中我们最值的关注的是队伍的整齐，身高必须差不多；
故应该关注该校所有女生身高的众数．
（2）在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【答案】D
（3）已知A组四人的成绩分别为90、60、90、60，B组四人的成绩分别为70、80、80、70，用下列哪个统计知识分析区别两组成绩更恰当（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】通过计算平均数、中位数两组成绩都一样，不能区别，甲的众数为90，60，乙的众数为80，70；也不能区分
∴应通过方差区别两组成绩更恰当，
故选D．
例5 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．
（1）请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环以上次数
甲 7 1.2 ______ 1
乙 ______ 5.4 ______ ______
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩更好些）；
③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看（分析谁的成绩更好些）；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．
【答案】解：（1）
平均数 方差 中位数 命中9环以上次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
（2）测试结果分析
①从平均数和方差来结合看，两者平均数相等，但甲的方差（1.2）小于乙的方差（5.4），所以甲的成绩更稳定；
②从平均数和中位数相结合看，两者平均数相等，但甲的中位数（7）小于乙的中位数（7.5），所以乙的成绩更好些；
③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看，两者平均数相等，但甲命中9环及以上的次数（1次）小于乙命中9环及以上的次数（3次），所以乙的成绩更好些；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看，乙命中环数的曲线整体呈上升趋势，所以乙更有潜力．
例6 某校要从新入学的两名体育特长生李勇、张浩中挑选一人参加校际跳远比赛，在跳远专项测试以及以后的6次跳远选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下表所示：
专项测试和6次跳远选拔赛成绩 平均数 方差
李勇 603 589 602 596 604 612 608 602
张浩 597 580 597 630 590 631 596 333
（1）请你分别从平均数和方差的角度分析两人成绩的特点；
（2）经查阅历届比赛的资料，成绩若达到6.00m就可以冲击奖牌，以往该项目最好成绩是6.15m，如果你是教练，选谁去参加比赛合适？
【答案】解：（1）从成绩的平均数来看，张浩成绩的“平均水平”比李勇的高，从成绩的方差来看，李勇的成绩比张浩的稳定；
（2）张浩成绩的平均数为：，
李勇的方差为：；
在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，李勇有5次成绩超过6米，而张浩只有两次超过6米，从成绩的方差来看，李勇的成绩比张浩的稳定，选李勇更有把握夺得奖牌．
但张浩有两次成绩为6.30米和6.31米，而李勇没有一次达到6.15米，故选张浩能有机会夺得冠军．
课后创新培养
课后作业
练1 下列说法正确的是（ ）
A．数据的众数是4
B．数据的中位数是2
C．一组数据的众数和中位数不可能相等
D．数据的中位数和平均数都是0
【答案】解：A、数据的众数是4和3．故错误；
B、数据的中位数因a的大小不确定,故中位数也无法确定．故错误；
C、一组数据的众数和中位数会出现相等的情况．故错误；
D、数据的中位数和平数数都是0．对．,
故选D．
练2 已知某5个数的和是a,另6个数的和是b,则这11个数的平均数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】解：∵某5个数的和是a,另6个数的和是b,
∴这11个数的平均数是．
故选B．
练3 如图是根据某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图,则这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别为（ ）
A．9,8 B．8,9 C．8,8.5 D．19,17
【答案】解：数据8出现了19次,最多是8,8为众数；
在第25位、26位的均是9,所以9为中位数．
故选B．
练4 某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的鞋号情况,对某中学九（1）班的20名男生所穿鞋号统计如下：那么这20名男生鞋号数据的平均数是________,中位数是________,在平均数、中位数和众数中,鞋厂最感兴趣的是________．
鞋号 23.5 24 24.5 25 25.5 26
人数 3 4 4 7 1 1
【答案】24.55；24.5；众数
练5 某校八年级学生开展踢毽子比赛,每班派5名学生参加,按团体总分高低排名次,成绩较好的甲、乙两班各5名学生的比赛成绩如下（单位：次）
甲班：100 98 110 89 103；乙班：89 100 95 119 97．
下表是整理后的一部分数据：
总次数 平均数 中位数 优秀率
甲班 500 100
乙班 97 40%
（1）把上表中所缺的数据补全（在规定时间内每人踢100次及100次以上为优秀）；
（2）从平均数和中位数看, 班的成绩较好；
（3）从平均数和优秀率看, 班的成绩较好；
（4）从数据的波动程度看,估计 班的方差较小；
（5）根据以上信息,你认为应把冠军奖状发给 班．
【答案】解：（1）甲班所得数据从小到大排列为89、98、100、103、110,则中位数为100,优秀率为×100%=60%；乙班总次数为89+100+95+119+97=500,平均数为（89+100+95+119+97）÷5=100；
总次数 总次数 平均数 中位数 优秀率
甲班 500 100 100 60%
乙班 500 100 97 40%
（2）从平均数和中位数看甲班的成绩较好；
（3）从平均数和优秀率看甲班的成绩较好；
（4）从数据的波动程度看,估计甲班的方差较小；
（5）根据以上信息,你认为应把冠军奖状发给甲班．
故答案为（1）即上表；（2）甲；（3）甲；（4）甲；（5）甲．
2
1
课堂思维碰撞
第一层： 数据的分析
知识导入
算术平均数：算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。公式：
加权平均数：根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重，这种比重，称为权（weight），相应的平均数称为加权平均数.
一般地，若n个数的权分别是，则加权平均数为
中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
方差：设n个数据，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，我们用这些数的平均数，即来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
夯实基础
例1 基本概念
（1）如果一组数据的平均数是5，则的值是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
【答案】A
（2）某中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中课外体育占20%，其中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小彤的三项成绩（百分制）依次为95，90，94，则小彤这学期的体育成绩为（ ）
A．89 B．90 C．92 D．93
【答案】D
（3）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.5
【答案】B
（4）数据的方差是 ．（保留两位有效数字）
能力提升
例2 数据变化
（1）已知数据的中位数是,则= ,众数是 ,平均数是 ．
【答案】解：将除外的5个数从小到大排列为：．
加入后,有6个数,中位数即第3、4位平均数是,故应为第3个或第4个,且与的平均数是,故；
众数是出现次数最多的数,即；
平均数为．
故填．
（2）将一组数据中每一个数减去50后，所得新的一组数据的平均数是2，则原来那组数据的平均数是（ ）
A． B．52 C．48 D．2
【答案】解：由题意知，新的一组数据的平均数
∴
∴，即原来的一组数据的平均数为52．
故选B．
（3）一组数据的方差是2，将这组数据都扩大3倍，则所得一组新数据的方差是（ ）
A．2 B．6 C．32 D．18
【答案】D
第二层： 数据分析综合
夯实基础
例3 基础综合
（1）下列说法正确的个数是（ ）
①样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；
②一组数据的众数只有一个；
③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据；
④数据：2，2，3，2，2，5的众数为4；
⑤一组数据的方差一定是正数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】解：①样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好，故①正确；
②一组数据的众数不只有一个，有时有好几个，故②错误；
③一组数据的中位数不一定是这组数据中的某一数，若这组数据有偶数个即是将一组数据从小到大重新排列后最中间两个数的平均数，故③错误；
④数据：2，2，3，2，2，5的众数为2，故④错误；
⑤一组数据的方差不一定是正数，也可能为零，故⑤错误．
所以说法正确的个数是1个．
故选：B．
（2）甲，乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填人下表：
班级 人数 中位数 方差 平均字数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学根据上表分析得出如下结论：
①甲，乙两班学生成绩的平均水平相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；
③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大．上述结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确；
甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况大，所以（3）也正确．
故选：A．
能力提升
例4 统计量的选择
（1）2007年10月1日是中华人民共和国成立58周年纪念日，要在某校选择256名身高基本相同的女同学组成表演方体，在这个问题中我们最值的关注的是该校所有女生身高的 ．（填“平均数”或“中位数”或“众数”）
【答案】解：根据题意：在这个问题中我们最值的关注的是队伍的整齐，身高必须差不多；
故应该关注该校所有女生身高的众数．
（2）在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【答案】D
（3）已知A组四人的成绩分别为90、60、90、60，B组四人的成绩分别为70、80、80、70，用下列哪个统计知识分析区别两组成绩更恰当（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】通过计算平均数、中位数两组成绩都一样，不能区别，甲的众数为90，60，乙的众数为80，70；也不能区分
∴应通过方差区别两组成绩更恰当，
故选D．
例5 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．
（1）请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环以上次数
甲 7 1.2 ______ 1
乙 ______ 5.4 ______ ______
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩更好些）；
③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看（分析谁的成绩更好些）；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．
【答案】解：（1）
平均数 方差 中位数 命中9环以上次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
（2）测试结果分析
①从平均数和方差来结合看，两者平均数相等，但甲的方差（1.2）小于乙的方差（5.4），所以甲的成绩更稳定；
②从平均数和中位数相结合看，两者平均数相等，但甲的中位数（7）小于乙的中位数（7.5），所以乙的成绩更好些；
③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看，两者平均数相等，但甲命中9环及以上的次数（1次）小于乙命中9环及以上的次数（3次），所以乙的成绩更好些；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看，乙命中环数的曲线整体呈上升趋势，所以乙更有潜力．
例6 某校要从新入学的两名体育特长生李勇、张浩中挑选一人参加校际跳远比赛，在跳远专项测试以及以后的6次跳远选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下表所示：
专项测试和6次跳远选拔赛成绩 平均数 方差
李勇 603 589 602 596 604 612 608 602
张浩 597 580 597 630 590 631 596 333
（1）请你分别从平均数和方差的角度分析两人成绩的特点；
（2）经查阅历届比赛的资料，成绩若达到6.00m就可以冲击奖牌，以往该项目最好成绩是6.15m，如果你是教练，选谁去参加比赛合适？
【答案】解：（1）从成绩的平均数来看，张浩成绩的“平均水平”比李勇的高，从成绩的方差来看，李勇的成绩比张浩的稳定；
（2）张浩成绩的平均数为：，
李勇的方差为：；
在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，李勇有5次成绩超过6米，而张浩只有两次超过6米，从成绩的方差来看，李勇的成绩比张浩的稳定，选李勇更有把握夺得奖牌．
但张浩有两次成绩为6.30米和6.31米，而李勇没有一次达到6.15米，故选张浩能有机会夺得冠军．
课后创新培养
课后作业
练1 下列说法正确的是（ ）
A．数据的众数是4
B．数据的中位数是2
C．一组数据的众数和中位数不可能相等
D．数据的中位数和平均数都是0
【答案】解：A、数据的众数是4和3．故错误；
B、数据的中位数因a的大小不确定,故中位数也无法确定．故错误；
C、一组数据的众数和中位数会出现相等的情况．故错误；
D、数据的中位数和平数数都是0．对．,
故选D．
练2 已知某5个数的和是a,另6个数的和是b,则这11个数的平均数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】解：∵某5个数的和是a,另6个数的和是b,
∴这11个数的平均数是．
故选B．
练3 如图是根据某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图,则这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别为（ ）
A．9,8 B．8,9 C．8,8.5 D．19,17
【答案】解：数据8出现了19次,最多是8,8为众数；
在第25位、26位的均是9,所以9为中位数．
故选B．
练4 某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的鞋号情况,对某中学九（1）班的20名男生所穿鞋号统计如下：那么这20名男生鞋号数据的平均数是________,中位数是________,在平均数、中位数和众数中,鞋厂最感兴趣的是________．
鞋号 23.5 24 24.5 25 25.5 26
人数 3 4 4 7 1 1
【答案】24.55；24.5；众数
练5 某校八年级学生开展踢毽子比赛,每班派5名学生参加,按团体总分高低排名次,成绩较好的甲、乙两班各5名学生的比赛成绩如下（单位：次）
甲班：100 98 110 89 103；乙班：89 100 95 119 97．
下表是整理后的一部分数据：
总次数 平均数 中位数 优秀率
甲班 500 100
乙班 97 40%
（1）把上表中所缺的数据补全（在规定时间内每人踢100次及100次以上为优秀）；
（2）从平均数和中位数看, 班的成绩较好；
（3）从平均数和优秀率看, 班的成绩较好；
（4）从数据的波动程度看,估计 班的方差较小；
（5）根据以上信息,你认为应把冠军奖状发给 班．
【答案】解：（1）甲班所得数据从小到大排列为89、98、100、103、110,则中位数为100,优秀率为×100%=60%；乙班总次数为89+100+95+119+97=500,平均数为（89+100+95+119+97）÷5=100；
总次数 总次数 平均数 中位数 优秀率
甲班 500 100 100 60%
乙班 500 100 97 40%
（2）从平均数和中位数看甲班的成绩较好；
（3）从平均数和优秀率看甲班的成绩较好；
（4）从数据的波动程度看,估计甲班的方差较小；
（5）根据以上信息,你认为应把冠军奖状发给甲班．
故答案为（1）即上表；（2）甲；（3）甲；（4）甲；（5）甲．
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