人教版数学七下第5讲平面直角坐标系中的变换与应用学案

第5讲 平面直角坐标系中的变换与应用
课堂思维碰撞
模块一：平面直角坐标系中的平移
知识导入
一、回顾:
1．平面直角坐标系概念：
（1）有序数对：有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对，记作．
注意：当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同的有序数对．
（2）平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就构成了平面直角坐标系．
轴和轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．
（3）坐标：对于坐标平面内的一点P，过点P分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点P的横坐标和纵坐标，有序数对就是P的坐标，记作P．
（4）象限:轴和轴把坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．
注意：原点和两条坐标轴不属于任何一个象限．
2．平面直角坐标系中的特殊直线：
（1）坐标轴：轴上的点，纵坐标为0；轴上的点，横坐标为0．
（2）与轴平行的直线：点表示为（x，m），x为任意实数，m为不等于0的常数．（也可以表示为：直线y=m）
与轴平行的直线：点表示为（n，y），y为任意实数，n为不等于0的常数．（也可以表示为：直线x=n）
（3）一、三象限角平分线：若点P（m，n）在第一、三象限的角平分线上，则m=n，即：横、纵坐标相等．（也可以表示为：y=x）
二、四象限角平分线：若点P（m，n）在第二、四象限的角平分线上，则m=﹣n，即：横、纵坐标互为相反数．（也可以表示为：y=﹣x）
3．点到轴线的距离：
点到轴的距离是；点到轴的距离是；
点到直线的距离是；点到直线的距离是．
二、平面直角坐标系中的平移：
点的坐标在直角坐标系中的平移规律是“上加下减，右加左减”，即：向正方向平移加，向负方向平移减．
点 平移个单位 坐标
向上
向下
向左
向右
注意：对图形进行平移时，图形上所有点的坐标都发生同样的变化．
夯实基础
例1 平面直角坐标系概念回顾
（1）如果用（7，1）表示七年级一班，那么八年级五班可表示成 ．
（2）如图，把“QQ”笑脸放在平面直角坐标系中，已知眼睛A、B的坐标分别为（-2，3），（0，3），则嘴C的坐标是 ．
（3）若点A（a，3）在二、四象限的角平分线上，则点B（a-3，a+2）在第___ _ __象限．
（4）点C在x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点C的坐标为 ．
（5）点到直线的距离为，则的坐标是 ．
【答案】（1）；（2）；（3）三；（4）；（5）．
例2 点的左右平移
（1）点P(5，)向上平移3个单位得到点P1的坐标为_______；再向右平移4个单位得到点P2的坐标为_______.
（2）已知，将它先向左平移4个单位，得到点N，再向上平移3个单位后得到点Q，则Q点的坐标是 ．
（3）点经过平移后得到点，它的平移过程是先 ，再 ．如果把点P向下平移5个单位，再向左平移1个单位之后的坐标是，则点P的坐标是 ．
（4）将点向下平移4个单位，再向左平移2个单位后得到点，则 ， ．
【答案】（1）（5，1），（9，1）；（2）（-7，1）；（3）向右平移2个单位，再向下平移6个单位；；（4）-4,3．
能力提升
例3 图形平移
（1）在平面直角坐标系中，三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都加上2，则得到的新三角形与原三角形相比向 平移了2个单位长度．
(2)如图，经过怎样的平移得到.( )
A．把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位
(3)平面直角坐标系中，线段是由线段AB经过平移得到的，点A(，)的对应点为A1(1，)，点B(1，1)的对应点B1为_______.
(4)如下图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左右眼睛的坐标分别是(，2)，(，2)，右边图案中左眼的坐标是(3，4)，则右边图案中右眼的坐标是_______.
(5)如图，把左图中的⊙A经过平移得到⊙O(如右图)，如果左图中⊙A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在右图中的对应点的坐标为______.
【答案】（1）上；（2）A；（3）；（4）；（5）．
模块二：平面直角坐标系中的面积问题
知识导入
在坐标系或网格中求图形面积的方法：
①直接法——对于有一条边平行于坐标轴的三角形，可直接用面积公式 求面积；
②等积变换法——如：前面学过的平行线间的等积变换；
③割补法——可将三角形补成矩形，则原三角形面积即为矩形面积减去数个直角三角形的面积．
能力提升
例4 面积问题
（1）点、点和点围成的三角形的面积为 ．
（2）在平面直角坐标系中，已知点，，的面积为12，试说明点的坐标特征．
（3）已知：矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为，则矩形的面积等于 ．
(4)如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点A坐标为(2，)，则的面积为___ ___ .
【答案】（1）6；（2）C点的纵坐标为3或-3；（3）6；（4）5．
横扫学霸
例5 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(9，0)，C(7，5)，D(2，7).
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）在y轴上找一点P，使△APB的面积等于四边形的一半．求P点坐标．
【答案】（1）42；（2）．
模块三：坐标系中的规律问题
知识导入
找规律求点的坐标一般先找n =1、2、3几个图形的规律，再推广到n的情况.
例6 点的坐标变化找规律
（1）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形，，……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形四条边上的整点共有 个．
【答案】80
（2）如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
（3）如图，正方形ABCD的四个顶点在坐标轴上，A点坐标为（3，0），假设有甲、乙两个物体分别由点A同时出发，沿正方形ABCD的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向匀速运动，物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体12秒钟可环绕一周回到A点，乙物体24秒钟可环绕一周回到A点，则两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
（4）如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2015次，点依次落在点，，，，…，的位置，则的横坐标是___ ____．
【答案】2014
课后创新培养
课后作业
练1 （1）直角梯形在直角坐标系中的位置如图，若，点坐标为，则点坐标是 ．
（2）点在第三象限，则m的取值范围是______．
【答案】（1）；（2）．
练2 (1) 将点P(，3)先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，则得到点的坐标为______.
(2) 点A向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点(，3)，则点A的坐标为______.
(3) 在平面直角坐标系中，将线段OA向左平移2个单位，平移后，点O、A的对应点分别为、. 若点O(0，0)，A(1，4)，则点坐标为______，点坐标为______.
【答案】（1）（-2，4）；（2）（2，4）；（3）（-2，0），（-1，4）
练3 如图，长为2，宽为1的长方形ABCD以右下角的顶点为中心顺时针旋转90°，此时A点的坐标为______；依次旋转2015次，则顶点A的坐标为______.
【答案】（3,2），（3023,0）
练4 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(，5)，B(，0)，C(，3).
(1) 求出△ABC的面积.
(2) 在图中画出△ABC向右平移3个单位，再向下平移2个单位的图形.
(3) 写出点A1，B1，C1的坐标.
【答案】（1）7.5；（2）略；（3）A1 （2，3），B1 （2，-2），C1 （-1，1）