2021-2022学年人教版（五四制）九年级上学期数学期末练习试卷（word版含解析）

2021-2022学年人教五四新版九年级上学期数学期末练习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．下列计算正确的是（　　）
A．a a2＝a2 B．a2+a4＝a8 C．（ab）3＝ab3 D．a3÷a＝a2
3．下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，2）
5．如图所示的几何体的从左面看到的图形为（　　）
A． B． C． D．
6．关于x的分式方程﹣＝0的解为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．4
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
10．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则下列结论中正确的有（　　）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．近年来，我国5G发展取得明显成效，截至2020年9月底，全国建设开通5G基站超510000个，将数据510000用科学记数法可表示为　 　．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．因式分解：﹣2xm2+12xm﹣18x＝　 　．
14．计算﹣的结果是　 　．
15．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为 　 　．
16．若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜﹣3，则m的取值范围是　 　．
17．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为　 　．
18．如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为　 　．
19．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，若点D满足AD＝AB，BD＝AB，点P是AD的中点，则＝　 　．
20．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝2，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中x＝tan60°﹣2．
22．（7分）如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（8分）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．
24．（8分）如图，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）请直接写出与△CED面积相等的三角形．
25．（10分）健康药店为了满足不同客户的需求，计划购进A，B两种规格的酒精，若购进3瓶A酒精和5瓶B酒精需用98元，若购进8瓶A酒精和3瓶B酒精需用158元．
（1）求购进每瓶A酒精和每瓶B酒精各需多少元？
（2）该药店决定购进A酒精和B酒精共40瓶，总费用不超过550元，那么最多可以购进多少瓶A酒精？
26．（10分）在图1至图3中，⊙O的直径BC＝30，AC切⊙O于点C，AC＝40，连接AB交⊙O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB．
（1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长；
（2）如图2，若射线AP过圆心O，交⊙O于点E，F，求tanF的值；
（3）如图3，作DH⊥PB于点H，连接CH，直接写出CH的最小值．
27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，P是第三象限对称轴右侧的抛物线上一点，连接PA、PB，若△PAB的面积为16，求∠PBO的正切值；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠ABP的平分线交抛物线于点C，作CK⊥x轴，垂足为K，CK交AP于点R，N是BP上一点（N不与B、P重合），连接NR，延长NR交直线AB于点M，连接CM、CN，若CM＝CN，求M点坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．解：a a2＝a3，故选项A不合题意；
a2与a4不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；
（ab）3＝a3b3，故选项C不合题意；
a3÷a＝a2，正确，故选项D符合题意．
故选：D．
3．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
4．解：∵y＝3（x+4）2+2是抛物线解析式的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣4，2）．
故选：D．
5．解：从这个几何体的左面看，所得到的图形是长方形，能看到的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
因此，选项D的图形，符合题意，
故选：D．
6．解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
故选：B．
7．解：如图，连接OA，OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝30°，CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，
∵OA＝OC，
∴OA＝AC＝4，
∴⊙O的半径为4，
故选：B．
8．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴sinA＝＝，
故选：D．
9．解：∵ ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE＝AD，
∴＝．
故选：D．
10．解：依题意得
A：（1）当0≤x≤120，yA＝30，
（2）当x＞120，yA＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
B：（1）当0≤x＜200，yB＝50，
当x＞200，yB＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确；
当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确；
当y＝60时，A：60＝0.4x﹣18，∴x＝195，
B：60＝0.4x﹣30，∴x＝225，故（3）正确；
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将yA＝40或60代入，得x＝145分或195分，故（4）错误；
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．解：510000＝5.1×105，
故答案为：5.1×105．
12．解：根据题意得：，
解得：x≥2且x≠3．
故答案是：x≥2且x≠3．
13．解：原式＝﹣2x（m2﹣6m+9）＝﹣2x（m﹣3）2．
故答案为：﹣2x（m﹣3）2．
14．解：﹣
＝2﹣
＝．
故答案为：．
15．解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），
∴﹣m＝1×2，解得m＝﹣2，
即m的值为﹣2．
故答案为﹣2．
16．解：解不等式2x﹣1＞3x+2，得：x＜﹣3，
∵不等式组的解集是x＜﹣3，
∴m≥﹣3．
故答案为m≥﹣3．
17．解：根据题意得，
解得n＝8，
经检验：n＝48是分式方程的解，
故答案为：8．
18．解：∵⊙O的周长为4π，
∴⊙O的直径是4，
∴⊙O的半径是2，
∵的长为π，
∴的长等于⊙O的周长的，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝﹣＝π﹣2．
故答案为π﹣2．
19．解：延长PB，在PB的延长线上截取BE＝AP，连接PC，
∵BD＝AB，点P是AD的中点，
∴BP⊥AD，
∴∠BPA＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠BPA+∠PAC+∠ACB+∠CBP＝360°，∠CBP+∠EBC＝180°，
∴∠PAC+∠CBP＝180°，
∴∠EBC＝∠PAC，
在△EBC和△PAC中，
，
∴△EBC≌△PAC（SAS），
∴EC＝PC，∠ECB＝∠PCA，
∵∠PCA+∠PCB＝90°，
∴∠ECB+∠PCB＝90°，
即∠PCE＝90°，
∵AD＝AB，
设AB＝25x，则AD＝14x，AP＝7x，
∴BE＝7x，BP＝＝＝24x，
∴PE＝BE+BP＝7x+24x＝31x，
∵EC＝PC，∠PCE＝90°，
∴PC＝，
∴＝，
故答案为：．
20．解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：原式＝﹣
＝﹣
＝﹣，
当x＝tan60°﹣2＝﹣2时，
原式＝﹣＝﹣＝﹣．
22．解：如图，线段BD即为所求作．
23．解：（1）本次调查共抽取的学生数有：24÷40%＝60（名）；
（2）最喜欢冰壶项目的人数有：60﹣16﹣24﹣12＝8（名），补全统计图如下：
（3）根据题意得：
1500×＝300（名），
答：估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有300名．
24．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，
∴AB＝AD，
∵AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ACED是平行四边形，BO＝DO，AC⊥BD，
∴AD＝CE，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴BC＝AD＝CE，
∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
25．解：（1）设购进每瓶A酒精需要x元，每瓶B酒精需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购进每瓶A酒精需要16元，每瓶B酒精需要10元．
（2）设购进A酒精m瓶，则购进B酒精（40﹣m）瓶，
依题意，得：16m+10（40﹣m）≤550，
解得：m≤25．
答：最多可以购进25瓶A酒精．
26．解：（1）如图1，连接OP，
∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥BC．
∵BC＝30，AC＝40，
∴AB＝50．
由S△ABC＝AB CD＝AC BC，
即，
解得CD＝24，
当OP⊥CD时，点P，O的距离最小，此时．
（2）如图2，连接CE，
∵EF为⊙O的直径，
∴∠ECF＝90°．
由（1）知，∠ACB＝90°，
由AO2＝AC2+OC2，得（AE+15）2＝402+152，
解得．
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF＝∠AFC．
又∠CAE＝∠FAC，
∴△ACE∽△AFC，
∴．
∴．
（3）CH的最小值为．
解：如图3，以BD为直径作⊙G，则G为BD的中点，DG＝9，
∵DH⊥PB，
∴点H总在⊙G上，GH＝9，
∴当点C，H，G在一条直线上时，CH最小，
此时，，，
即CH的最小值为．
27．解：（1）如图1，
∵直线y＝x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，
∴A（﹣6，0），B（0，2）．
把A（﹣6，0），B（0，2）代入y＝x2+bx+c，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2；
（2）如图2，作PD⊥x轴，垂足为F，交AB于点D，作BG⊥PD，交PD的延长线于点G，作PE⊥y轴，垂足为E，
设P点坐标为（t， t2+t+2），则D（t， +2），
∴PD＝+2﹣（t2+t+2）＝﹣t2﹣4t，
∵A（﹣6，0），
∴OA＝6，
∵BG⊥PD于G，PD⊥x轴于F，
∴∠G＝∠GFO＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴四边形OBGF为矩形，
∴OF＝BG，
∴S△ABP＝S△ADP+S△BDP
＝PD×AF+PD×BG
＝PD×（AF+BG）
＝PD×（AF+OF）
＝PD×OA
＝×6×（﹣t2﹣4t）
＝﹣2t2﹣12t，
∵△PAB的面积为16，
∴﹣2t2﹣12t＝16，
解得t＝﹣2或t＝﹣4，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣，点P在对称轴右侧，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣4）；
∵PE⊥y轴于点E，
∴∠PEO＝90°，
又∵∠PFO＝∠AOE＝90°，
∴四边形PEOF为矩形，
∴PE＝OF＝2，OE＝4，
∵B（0，2），
∴BE＝6，
∴tan∠PBO＝＝；
（3）如图3，连接AC，CP，作PE⊥y轴于E，CH⊥y轴于H，MQ∥PB，交PA的延长线于点Q，
∵tan∠BAO＝＝＝tan∠PBO，
∴∠PBO＝∠BAO，
∵BC平分∠ABP，
∴∠ABC＝∠PBC，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴2∠PBO+2∠PBC＝90°，
∴∠PBO+∠PBC＝45°，
∴∠CBO＝45°，
∵CH⊥y轴于H，
∴∠CBO＝∠BCH＝45°，
∴BH＝CH，
设C点坐标为（m， m2+m+2），
∴CH＝﹣m，BH＝﹣m2﹣m，
∴﹣m2﹣m＝﹣m，
解得m＝0（舍）或m＝﹣5，
∴C（﹣5，﹣3），
∴AK＝1，CK＝3，
∴tan∠ACK＝＝＝tan∠BAO，
∴∠BAO＝∠ACK，
∵CK⊥x轴于点K，
∴∠AKC＝90°，∠ACK+∠CAK＝90°，
∴∠BAO+∠CAK＝90°，
∴∠CAB＝∠MAC＝90°，
由勾股定理得PB＝＝2，AB＝＝2，
∴PB＝AB，
又∵∠ABC＝∠PBC，BC＝BC，
∴△ABC≌△PBC（SAS），
∴AC＝PC，∠CPB＝∠CAB＝90°，
∴∠CAM＝∠CPN＝90°，
又∵CM＝CN，
∴Rt△ACM≌Rt△PCN（HL），
∴AM＝PN，
∵AB＝PB，
∴∠BAP＝∠BPA，
∵MQ∥PB，
∴∠BPA＝∠Q，
∴∠BAP＝∠QAM＝∠Q，
∴MQ＝AM，
∵AM＝PN，
∴MQ＝PN，
∵∠QRM＝∠PRN，∠NPR＝∠Q，
∴△QRM≌△PRN（AAS），
∴MR＝NR，
∵CM＝CN，
∴CR⊥MN，
∴∠CRM＝∠CKA＝90°，
∴MN∥x轴，
设直线AP的解析式为y＝kx+n，
把A（﹣6，0），P（﹣2，﹣4）代入，得，
解得，
∴y＝﹣x﹣6，
当x＝﹣5时，y＝﹣1，
∴R（﹣5，﹣1）；
∵MN∥x轴，
∴点M的纵坐标为﹣1，
把y＝﹣1代入y＝x+2得：﹣1＝x+2，
∴x＝﹣9，
∴M点坐标为（﹣9，﹣1）．