第二十二章圆课后培优练习2021-2022学年京改版九年级数学上册（word版含解析）

第二十二章 圆（下）
一、单选题
1．如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为（ ）．
A．12 B．10 C．4 D．15
2．过圆上一点可以作出圆的最长的弦有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知⊙O的半径为5，直线l上有一点P满足PO=5，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
4．下列语句中，不正确的个数是（　　）
①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ）
A．5米 B．8米 C．7米 D．米
6．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（　　）
A．65° B．50° C．45° D．40°
7．如图，扇形AOB的圆心角为142°，点C是弧AB上一点，则∠ACB的度数是( )
A．38° B．120° C．109° D．119°
8．如图．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为（　　）
A．cm B．1cm C．cm D．2cm
9．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，此三角形外接圆的半径为（　　）
A．10 B．6 C．4 D．5
10．已知点P是线段OA的中点，P在半径为r的⊙O外，点A与点O的距离为10，则r的取值范围是（ ）
A．r＜5 B．r＜10 C．r＞5 D．r＞10
11．如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点，若，，则下列结论：①；②的周长为；③．正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
12．以O(2，2)为圆心，3为半径作圆，则⊙O与直线y＝kx＋k的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
13．在中，，，．若以点为圆心，画一个半径为的圆，则点与的位置关系为（ ）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断
14．已知点P(3，4)，以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是( )
A．r＞4 B．r＞4且r≠5 C．r＞3 D．r＞3且r≠5
15．如图，☉O的半径OC=5 cm，直线l⊥OC，垂足为点H，且l交☉O于A，B两点，AB=8 cm，当l与☉O相切时，l需沿OC所在直线向下平移（ ）
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
二、填空题
16．在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为________cm．
17．已知：∠BAC．
（1）如图，在平面内任取一点O；
（2）以点O为圆心，OA为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；
（3）连接DE，过点O作线段DE的垂线交⊙O于点P；
（4）连接AP，DP和PE．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
①△ADE是⊙O的内接三角形；
②；
③ DE=2PE；
④ AP平分∠BAC．
所有正确结论的序号是______________．
18．若边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是___________．
19．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O内，则OP________5cm（填“”、“”或“”）．
20．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝________.
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．
（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．
①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为 ，线段PQ的长为 ；
②若B（2，0），求线段PQ的长；
（2）已知1≤PA≤2， 直线l：（k≠0）．
①当k=1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为 ；
②记直线l：（k≠0）在的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．
22．如图，△ABC是等边三角形，D是上任一点，求证：DB+DC=DA．
23．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD；
(1) 求证：CDE=2B；
(2) 若BD：AB=：2，求⊙O的半径及DF的长．
参考答案
1．B
解：连接EF，如下图所示，
∵∠FOE＝90°，又根据90°的圆周角所对的弦是直径，
∴EF为⊙O的直径，
在Rt△EFO中，OE＝8，OF＝6，∠FOE＝90°，
根据勾股定理，EF＝10，
∴圆的直径长为10，
故选：B．
2．A
解：圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条．
故选：A．
3．D
解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=5=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜5=r，⊙O与直线l相交，
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交，
故选：D．
4．C
①根据直径的概念，知直径是特殊的弦，故正确；
②根据弧的概念，知半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误；
③根据等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧．长度相等的两条弧不一定能够重合，故错误；
④如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，故错误．
故选C．
5．B
如图，由题意可知，AB=24米，OA=OC=13米
在RT△ADO中，
∴CD=OC-OD=8
故答案选择B．
6．B
连接OA，OB，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠ACB＝130°，
∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．
故选：B．
7．C
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
8．B
【解析】
连接OD、OE、OF，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴AD=AE，BD=BF，CE=CF，OE⊥AC，OF⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形CEOF是正方形，
设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB==5cm，
∵AD=AE=AC-EC=4-r，BD=BF=BC-FC=3-r，
∴4-r+3-r=5，
解得 r=1，即⊙O的半径为1cm，
故选B.
9．D
∵62+82=102，
∴△ABC为直角三角形，斜边长为10，
∴△ABC的外接圆的直径为10，
∴此三角形外接圆的半径为5.
故选：D.
10．A
∵点P是线段OA的中点，点A与点O的距离为10，∴OP=5．
∵P在半径为r的⊙O外，∴r＜5．
故选A．
11．B
、是的切线，
，故①正确；
、、是的切线，
，，
的周长，
故②错误.
连接、、，
，
，故③正确.
综上可得①③正确，共2个.
故选：.
12．A
由y=kx+k，设y=0，则x=-，
∴直线y=kx+k与x轴交点A的坐标为（-，0），
∵O（2，2）为圆心，
∴OA=，
∵3为半径作圆，
∴OA=＜3=，
∴点A在圆内，
∴直线与圆的位置关系为相交，
故选A．
13．B
如图所示：
∵，AB=3，AC=4，
∴在Rt△ABC中,
BC=>4，
∴点在外.
故选B.
14．B
如图所示，作PA⊥x轴，垂足为A，连结OP，
∵点P的坐标为，
∴，，
∴
∴当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，
r的取值范围为且．
故透B.
15．B
连接OA，
∵OH⊥AB，
∴AH=4，OA=OC=5，
∴OH=3，
∵当点H平移到点C时，直线与圆相切，
∴CH=OC-OH=2cm，
即直线在原有位置向下移动2cm后与圆相切．
故选B
16．4
解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2cm，
∴⊙O的直径=4cm．
故答案为：4．
17．①④
解：①点A、D、E三点均在⊙O上，所以△ADE是⊙O的内接三角形，此项正确；
② ∵DE⊥DE交⊙O于点P
∴
并不能证明与、关系，
∴不正确；
③设OP与DE交于点M
∵DE⊥DE交⊙O于点P
∴DE⊥OP， ME=DE（垂径定理）
∴△PME是直角三角形
∴ME＜PE
∴＜PE
∴DE＜2PE
故此项错误.
④∵ （已证）
∴∠DAP=∠PAE（同弧所对的圆周角相等）
∴AP平分∠BAC．
故此项正确.
故答案为：①④
18．
解：连接OB，OC，如图
∵四边形ABCD是正方形且内接于⊙O
∴∠BOC=90°，
∴在Rt△BOC中，利用勾股定理得：
∵OC=OB，正方形边长=2
∴利用勾股定理得：则
∴．
∴⊙O的半径是，
故答案为：．
19．＜．
当点P是⊙O内一点时，OP<5cm.
故答案为:<.
20．60°
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠A．
∴∠A=60°，
∴∠DCE=60°．
故答案为60°．
21．（1）①（0，1）；；②；（2）①6；②或
解：（1）①∵B（0,0），A（0,2），以AB为直径作，
∴C(0，1)，
∵过点P作OC的切线PQ，Q为切点，
∴连接CQ，则CQ⊥PQ，如图所示：
∵在RtΔPQC中，CQ＝BC＝1，点P（0,3），
∴PC=3-1=2，
∴.PQ=，
故答案为：（0,1）；．
②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，
∵A（0，2），B（2，0），
∴C（1，1），
∴M（0，1），
在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA=，
∴CQ=，
∵P（0，3），M（0，1），
∴PM=2，
在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC=，
在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ==．
（2）①如图：
当k＝1时，y＝x＋4，
设Q（t-4，t），
∵1≤PA≤2，
∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），
∴，
∵CQ⊥PQ，
∴CQ的解析式为，
∴Q点横坐标为，
∴=t-4，
∴m=4t-10，
∴C(2t-5,1)，
∵CQ=AC，
∴(2t-5)2+1=2(t-1)2，
∴t＝6或t＝2，
∴t的最大值为6；
故答案为：6．
②∵-1≤x≤1，∴y=kx+k+3经过定点(-1,3)，
∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，
∴PQ2=PA·PO，如图所示：
当k＜0时，Q点在端点（-1,3）和（1,2k＋3）之间运动，
当P（0,4）时，PQ＝，
以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0,4-)，
此时k＝1-，
当P（0,3）时，PQ＝，
Q(1,2k+3)，
∴1+4k2=3，
∴k=，
∴k=，
∴1-当k＞0时，当P（0,4）时，PQ＝，
以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0,4+)，
此时k＝1＋，
当P（0,3）时，PQ＝，
∵Q(1,2k+3)，
∴PQ2=(1-0)2+(2k+3-3)2=3，
∴1+4k2=3，
∴k=，
∴k=，
∴≤k<1+．
22．见解析．
解：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC
∴∠ADB＝∠ACB＝60°
∵四边形ABDC是圆内接四边形
∴∠ABE＝∠ACD
在△AEB和△ADC中，
∴△AEB≌△ADC
∴AE＝AD
∵∠ADB＝60°
∴△AED是等边三角形
∴AD＝DE＝DB＋BE
∵BE＝DC
∴DB＋DC＝DA．
23．证明见解析.
过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
24．（1）见解析
（2），10
(1)
[证明] 连接OD，∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴CDO=90°，∴CDE+ODE=90°，
又∵DF⊥AB，
∴DEO=DEC=90°，
∴EOD+ODE=90°，
∴CDE=EOD，
又∵EOD=2B，
∴CDE=2B．
(2) [解]
连接AD，
∵AB是圆O的直径，
∴ADB=90°，
∵BD：AB=：2，
∴在Rt△ADB中，cosB==，
∴B=30°，
∴AOD=2B=60°，
又∵在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=，
即8O的半径为，
在Rt△CDE中，CD=10，C=30°，
∴DE=CDsin30°=5，
∵弦DF⊥直径AB于点E，
∴DE=EF=DF，
∴DF=2DE=10．