第二十章解直角三角形课后培优2021-2022学年京改版九年级数学上册（word版含解析）

第二十章 解直角三角形
一、单选题
1．如图，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
3．要使式子有意义，则α可以取下列数值中的(D)
A．17° B．19°
C．21° D．24°
4．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．
A．4 m B．6 m C．m D．
5．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角为60°.问摩天轮的高度AB约是(　　)
(结果精确到1 米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
A．120米 B．117米 C．118米 D．119米
6．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是(　 　)
A． B．12 C．14 D．21
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是 （ ）
A．米 B．米 C．15米 D．10米
8．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若，，则tan∠ACD的值为（ ）
A． B． C． D．
10． 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，已知∠A和边a，求边c，则下列关系中正确的是 ( )
A．； B． ； C．a=b×tanA； D．．
11．如图,数轴上点A表示的数是-1,原点O是线段AB的中点,∠BAC=30，∠ABC=90°,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数是
A． B． C． D．
12．cos60°－sin30°＋tan45°的值为(　 　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
13．计算：（）﹣1+tan30° sin60°=（　　）
A．﹣ B．2 C． D．
二、填空题
14．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝6，CD＝5，则sin A等于________．
15．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行________海里．
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=4，那么AB的长为________．
17．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为_________. (2)∠CDE的正切值为________.
18．计算：＝ ．
三、解答题
19．如图所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解这个直角三角形．
20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A,B,C,D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．如图，在ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=．
（1）求AB边上的高CD；
（2）求ABC的面积S；
（3）求tanB．
22．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．
（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海轮从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
23．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm． 当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：
（1）在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；
（2）求BF的长．
参考答案
1．D
解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠CAD＝60°，
又∵ AC＝2，∴ AD＝1，CD＝，
∴ BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，
∴ ．
故选：D．
2．D
解：如图所示，
在Rt△ACD中，AD=4,CD=3,
∴AC== =5
∴= = .
故选D.
3．D
根据题意得，≥0，解得≥0.4，α≈23.58°，
故选：D.
4．D
地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为(m)，
则地毯的总长至少为m
故选D．
5．C
解：在Rt△ABC中，由∠C=45°，得AB=BC，
在Rt△ABD中，
∵tan∠ADB=tan60°=，
∴BD=，
又∵CD=50m，
∴BC-BD=50，即AB- =50，
解得：AB≈118．
即摩天轮的高度AB约是118米．
故选C．
6．A
解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，
∴cosB==，
∴∠B=45°，
∵sinC===，
∴AD=3，
∴CD==4，
∴BD=3，
则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．
故选A．
7．A
解：Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝米．
故答案选：A．
8．C
解：如图，由题意可知∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=50°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，AP=10海里，
∴AB=AP cos∠A=10cos50°海里．
故选C．
9．B
∵AB＝6，AC＝5，∴BC＝＝，∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A，则tan∠BCD＝tan∠A＝，故答案选B.
10．B
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，
∴sinA=，
∴.
故选B.
11．D
∵点A表示-1，O是AB的中点，
∴OA=OB=1，
∴AB=2，
在Rt△ABC中，AC=，
∴AD=AC=，
∴OD=-1.
故选：D．
12．C
原式
故选:C.
13．C
（）﹣1+tan30° sin60°
=2+
=2+
=，
故选C．
14．
解：∵CD是AB边上的中线，
∴CD=AD
∴AB=2CD=2×5=10
∴BC=
∵sin A=
15．2
过点作交于点,
∵甲货船从港沿北偏东的方向以海里/小时的速度出发，
∵乙货船从港沿西北方向出发，
∴乙货船每小时航行
故答案为.
16．6
解：Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，可知cosB=得到AB= ，又知BC=4，代入得到AB=
故填6.
17．BE=5； tan∠CDE=
（1）由题意得△BFE≌△DFE，
∴DE=BE.
又∵在△BDE中，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，
∴∠BED=90°，即DE⊥BC.
∵在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，
过A作AG⊥BC于G，
∵四边形AGED是矩形．
∴AD=GE=2，AG=DE．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，
∵∠AGB=∠DEC=90°
Rt△ABG和Rt△DCE中，
∴Rt△ABG≌Rt△DCE（HL），
∴BG=EC=3．
∴BE=5
(2)由(1)得DE=BE=5，
在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3，
∴tan∠CDE==
故答案为(1) BE=5； (2) tan∠CDE=
18．.
原式=.
19．∠A＝60°，，c＝40
由∠C＝90°知，∠A+∠B＝90°，而∠B＝30°，
∴∠A＝90°-30°＝60°，
，
∴，
∴c＝40，
由勾股定理知，
∴，
解得：．
20．教学楼BC高约13米．
解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．
则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan∠DAE=tan37°=≈0.75．
∴AE=40．
∵AB=57，
∴BE=17．
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=17．
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°．
∴DF=CF=17．
∴BC=EF=30－17=13．
答：教学楼BC高约13米．
21．（1）；（2）；（3）．
解：（1）如图，，，
；
（2），
；
（3）在中，，
，
．
22．（1）70.7海里；（2）有触礁的危险，理由见解析
（1）过点P作PD⊥AB于点D．
依题意可知，PA＝100，∠APD＝60°，∠BPD＝45°．
∴∠A＝30°．
∴PD＝50．
在△PBD中，BD＝PD＝50，
∴PB＝50≈70.7．
答：B处距离灯塔P约70.7海里．
（2）依题意知：OP＝150，OB＝150﹣50．
∴海轮到达B处没有触礁的危险．
过点O作OE⊥AB，交AB延长线于点E，
∵∠OBE＝∠PBD＝45°，
∴OE＝OBsin∠OBE＝（150﹣50）×＝75﹣50≈56.07＜60，
∴海轮从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．
23．（1）补全图形见解析；（2）BF＝(＋2)cm或BF＝(－2)cm．
（1）补全图形如图：
情况Ⅰ：
情况Ⅱ：
（2）情况Ⅰ：
解：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°
∴AF＝AC＝2cm．
∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，
∴BC＝4，AB＝．
∴BF＝(＋2)cm．
情况Ⅱ：
解：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°
∴AF＝AC＝2cm．
∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，
∴BC＝4，AB＝．
∴BF＝(－2)cm．