河北省石家庄市元氏县第四高级中学2021-2022学年高二上学期11月第二次月考数学试题（Word版含答案解析）

元氏县第四中学2021-2022学年高二上学期第二次月考
数学试题
一．选择题（共8小题）
1．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A．++ B．﹣+ C．﹣++ D．+﹣
2．已知点A（﹣2，0），B（2，0），如果直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，那么实数m等于（　　）
A．±4 B．±5 C．±8 D．±10
3．空间点A（x，y，z），O（0，0，0），，若|AO|＝1，则|AB|的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若直线l1：x﹣3y+2＝0与直线l2：mx﹣y+b＝0关于x轴对称，则m+b＝（　　）
A． B．﹣1 C． D．1
5．已知向量＝（1﹣t，1﹣t，t），＝（2，t，t），则|﹣|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知圆（x﹣1）2+y2＝4内一点P（2，1），则过P点最短弦所在的直线方程是（　　）
A．x﹣y+1＝0 B．x+y﹣3＝0 C．x+y+3＝0 D．x＝2
7．过三点A（3，1），B（﹣7，1），C（2，4）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　）
A．8 B．10 C． D．
8．已知实数x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，那么的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
9．已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝r2，则（　　）
A．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
B．直线l恒过定点（2，0）
C．若r＞4，则直线l与圆O相交
D．若r＝4，则直线l被圆O截得的弦长的取值范围为
10．在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　）
A．＝（﹣3，﹣2，1）
B．异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为
C．平面A′C′D的一个法向量为（﹣2，﹣3，6）
D．二面角C′﹣A′D﹣D′的余弦值为
11．若三条不同直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（　　）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝﹣2 D．a＝2
12．已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝（﹣2，1，4），＝（1，﹣2，1），＝（4，2，0），则（　　）
A．AP⊥AB B．AP⊥BP C．BC＝ D．AP∥BC
三．填空题（共4小题）
13．经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是　 　．
14．若向量＝（1，1，x），＝（1，2，1），＝（1，1，1），满足条件（﹣） （2）＝﹣2，则x＝　 　．
15．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝　 　．
16．已知点A（a，0）、B（0，b），椭圆经过点D（﹣2，﹣），点F为椭圆的右焦点，若△FAB的一个内角为120°，则椭圆C的方程是　 　．
四．解答题（共6小题）
17．求经过直线l1：3x+4y﹣5＝0与直线l2：2x﹣3y+8＝0的交点M，且满足下列条件的直线方程：
（1）与直线2x+y+5＝0平行；
（2）与直线2x+y+5＝0垂直．
18．在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
（1）证明：EF∥平面AA1D1D；
（2）证明：EF⊥平面A1CD．
19．已知直线l：y＝2x+1求：
（1）直线关于点M（3，2）的对称的直线方程．
（2）直线x﹣y﹣2＝0关于l的对称的直线方程．
20．已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点 M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得弦长为8，求直线l的方程．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，且AC＝BC＝CC1＝2，M是AB1，A1B的交点，N是B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求平面AA1B与平面A1BC夹角的大小．
22．已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
参考答案
1.
【解答】解：由题意，＝
＝＝＝；
故选：C．
2．
【解答】解：直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2＝4相切．
∴＝2，解得m＝±10．
故选：D．
3．
【解答】解：∵空间点A（x，y，z），O（0，0，0），，|AO|＝1，
∴A是以O为球心，1为半径的球上的点，
∵，∴|OB|＝＝3．
∴|AB|的最小值为：|OB|﹣||OA|＝3﹣1＝2．
故选：B．
4．
【解答】解：直线l1：x﹣3y+2＝0与直线l2：mx﹣y+b＝0关于x轴对称，
可得：m＝﹣，
y＝0时，x＝﹣2，代入mx﹣y+b＝0，所以b＝﹣，
则m+b＝﹣1．
故选：B．
5．
【解答】解：＝（1﹣t﹣2，1﹣t﹣t，t﹣t）＝（﹣t﹣1，1﹣2t，0）
＝＝（﹣t﹣1）2+（1﹣2t）2＝5t2﹣2t+2
∴当t＝时，有最小值
∴的最小值是
故选：C．
6．
【解答】解：圆心坐标D（1，0），
要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥BC时，满足条件，
此时DP的斜率k＝，
则弦BC的斜率k＝﹣1，
则此时对应的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣2），
即x+y﹣3＝0，
故选：B．
7．
【解答】解：设过三点A（3，1），B（﹣7，1），C（2，4）的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则有，解得 ，故圆的方程为x2+y2+4x﹣2y﹣20＝0．
令x＝0，可得 y2﹣2y﹣20＝0，∴y1+y2＝2，y1 y2＝﹣20，|MN|＝＝2，
故选：D．
8．
【解答】解：由圆（x﹣2）2+y2＝1，得到圆心（2，0），半径为1，
令＝k，即kx﹣y＝0，
∵＝1，
∴解得：k＝±，
∴k的取值范围为[﹣，]，即k的最大值为，
则的最大值为．
故选：C．
9．
【解答】解：对于A，直线l0：x﹣2y+2＝0的斜率为，则当k＝﹣2时，满足直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直，故A正确；
对于B，由l：kx﹣y+2k＝0，得k（x+2）﹣y＝0，令，解得，
∴直线l恒过定点（﹣2，0），故B错误；
对于C，若r＞4，则直线l所过定点（﹣2，0）在圆O内部，则直线l与圆O相交，故C正确；
对于D，若r＝4，则直线l被圆O截得的弦长的最大值为8，最小值为，
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围为[，8]，故D错误．
故选：AC．
10．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，
以D为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
对于A，∵B（3，2，0），D′（0，0，1），∴＝（﹣3，﹣2，1），故A正确；
对于B，A′（3，0，1），D（0，0，0），＝（﹣3，0，﹣1），＝（﹣3，﹣2，1），
设异面直线A′D与BD′所成角为α，
则异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为：
cosα＝＝＝，故B错误；
对于C，C′（0，2，1），＝（3，0，1），＝（0，2，1），
设平面A′C′D的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取z＝6，得平面A′C′D的一个法向量为（﹣2，﹣3，6），故C正确；
对于D，平面A′C′D的一个法向量为＝（﹣2，﹣3，6），
平面A′D′D的一个法向量为＝（0，1，0），
∴二面角C′﹣A′D﹣D′的余弦值为：
|cos＜＞|＝＝，故D正确．
故选：ACD．
11．
【解答】解：因为当三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0能围成三角形，
所以三条直线满足两两相交，不过同一点，
因为l3：x+y+a＝0的斜率是﹣1，所以﹣a≠﹣1，﹣≠﹣1，且﹣a≠﹣，解得a≠±1，
由解得（1，﹣1﹣a）不在直线l2：x+ay+1＝0上，
所以1+a（﹣1﹣a）+1≠0，解得a≠﹣2．
综上a≠±1，a≠﹣2．
故当三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值是﹣1，1（舍），﹣2．
故选：BC．
12．
【解答】解；A. ＝﹣2﹣2+4＝0，∴⊥．因此正确．
B.＝+＝（2，﹣1，﹣4）+（1，﹣2，1）＝（3，﹣3，﹣3）， ＝3+6﹣3＝6≠0，∴AP与BP不垂直，因此不正确．
C．＝﹣＝（4，2，0）﹣（﹣2，1，4）＝（6，1，﹣4），∴||＝＝，因此正确．
D．假设＝k，则，无解，因此假设不正确，因此AP与BC不可能平行，因此不正确．
故选：AC．
13．
【解答】解：易知点C为（﹣1，0），而直线与x+y＝0垂直，我们设待求的直线的方程为y＝x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b＝1，故待求的直线的方程为x﹣y+1＝0．
故答案为：x﹣y+1＝0．
14．
【解答】解：由题意向量＝（1，1，x），＝（1，2，1），＝（1，1，1），满足条件（﹣） （2）＝﹣2
所以（﹣） （2）＝（0，0，1﹣x） （2，4，2）＝2（1﹣x）＝﹣2，
可得x＝2，
故答案为：2．
15
【解答】解：由题意A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，
若由向量确定的点P与A，B，C共面，
∴
解得λ＝
故答案为：
16．
【解答】解：如图，
由题意，，①
AB2＝FA2+FB2﹣2FA FB cos120°，
即a2+b2＝（a﹣c）2+a2+a（a﹣c），②
又a2＝b2+c2，③
联立①②③，解得a2＝8，b2＝6．
∴椭圆C的方程是．
故答案为：．
17.
【解答】解：由，解得，故点M（﹣1，2）
（1）若直线平行于直线l3：2x+y+5＝0．则斜率为﹣2
故可得方程为y﹣2＝﹣2（x+1），即2x+y＝0
（2）若直线垂直于直线l3：2x+y+5＝0．则斜率为
故可得方程为y﹣2＝（x+1），即x﹣2y+5＝0
18．
【解答】解：（1）∵＝（﹣2，0，2）＝2，∴EF∥AD1，
又AD1 平面AA1D1D，EF 平面AA1D1D，
∴EF∥平面AA1D1D．
（2）＝（0，﹣2，0），＝（﹣2，0，﹣2），
∵＝0，＝0，∴EF⊥CD，EF⊥A1D，又CD∩A1D＝D，
∴EF⊥平面A1CD．
19．
【解答】解：直线y＝2x+1上一点（0，1），它关于（3，2）的对称点为（6，3），代入直线y＝2x+b得，b＝﹣9，
所以，所求直线为y＝2x﹣9
（2）直线y＝2x+1与直线x﹣y﹣2＝0的交点为（﹣3，﹣5），
设直线x﹣y﹣2＝0上一点p（2，0）关于y＝2x+1的对称点为P'（x0，y0）
则有解得P'（﹣2，2）
所以所求直线为7x﹣y+16＝0
20．
【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，
得＝5，
即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．
即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．
∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，
所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，
此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2＝8，
∴l：x＝﹣2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，
圆心到l的距离d＝，
由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．
∴直线l的方程为x﹣y+＝0．即5x﹣12y+46＝0．
综上，直线l的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．
21．
【解答】（Ⅰ）证明：以C为原点，分别以CB、CC1、CA为x、y、z轴建立坐标系，则由AC＝BC＝CC1＝2，知A1（0，2，2），B1（2，2，0），B（2，0，0），C1（0，2，0），∴M（1，1，1），N（1，2，0），
∴＝（2．﹣2，﹣2），＝（2，0，0），＝（0，1，﹣1），…（3分）
∴，，
∴MN⊥A1B，MN⊥CB，∴MN⊥平面A1BC； …（6分）
（Ⅱ）作CH⊥AB于H点，∵平面ABC⊥平面ABB1A1，∴CH⊥平面A1BA，
故平面A1BA的一个法向量为，
而平面A1BC的一个法向量为，…（9分）
∴cos＝||＝
∵，
∴平面AA1B与平面A1BC夹角的大小为．…（12分）
22．
【解答】解：（1）∵双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，
∴双曲线焦点（±c，0）到渐近线的距离为＝b＝
又∵双曲线离心率e＝＝2
∴c＝2a，平方得c2＝a2+b2＝a2+3＝4a2，解得a＝1
因此，双曲线的方程为
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由右焦点F2（2，0）设直线l方程：y＝k（x﹣2）
由消去y，得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3＝0
根据题意知k≠±，由根与系数的关系得：x1+x2＝，x1x2＝，y1﹣y2＝k（x1﹣x2）
∴△F1AB的面积S＝c|y1﹣y2|＝2|k||x1﹣x2|＝2|k| ＝2|k| 6 ＝6
两边去分母并且平方整理，得k4+8k2﹣9＝0，解之得k2＝1（舍负）
∴k＝±1，得直线l的方程为y＝±（x﹣2）