黑龙江省绥化市安达市第七高级中学2022届高三上学期11月月考数学试题（Word版含答案）

安达市第七中学2021-2022学年高三年级11月份月考
数学
一、选择题
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数的模（ ）
A．1 B． C．2 D．
3.某商家统计了去年P,Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元.
根据图中信息，下面统计结论错误的是( )
A.P产品销售额的极差较大 B.P产品销售额的中位数较大
C.Q产品销售额的平均值较大 D.Q产品销售额的波动较小
4.的展开式中的系数为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
5.设 ，则 的大小关系是( )
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
6.若，则（ ）
A． B． C．1 D．
7.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A． B． C． D．
8.设是两个平面，是两条直线，下列命题错误的是（ ）
A．如果，，那么.
B．如果，，那么.
C．如果，，，那么.
D．如果内有两条相交直线与平行，那么.
9.甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
10.下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是（ ）
A． B．
C． D．
11.关于函数有下述四个结论：
①是偶函数
②在区间单调递减
③在有4个零点
④的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．① ② ④ B．② ④ C．① ③ ④ D．① ④
12.抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
二、填空题
13.已知函数在单调递减，且为奇函数，则满足的x的取值范围为___________.
14.的内角的对边分别为，若的面积为，则_______.
15.设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，若，则的渐近线方程为_______.
16.已知正三棱柱的六个顶点都在球O的表面上，，异面直线与所成角的余弦值为，则__________.球O的表面积为__________.
三、解答题
17.设是数列的前项和，且，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
18.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以x（单位：t，）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.
（1）将T表示为x的函数
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若,则取，且的概率等于需求量落入，求T的数学期望.
19.如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.
（1）证明：平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
20.已知圆，动圆过定点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）设斜率为1的直线l交C于两点，交y轴于D点，y轴交C于,两点，若，求实数的值.
21.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：在上存在唯一的，使得曲线在处的切线也是曲线的切线.
22.平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）写出直线l的参数方程（为常数）和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与C交于两点，且，求倾斜角的值．
23.已知，.
（1）证明：；
（2）若，求的最小值.
参考答案
1.答案：A
2.答案：D
3.答案：B
解析：本题考查统计图的分析.根据题图可以看出，P产品的销售额的波动较大，且大部分低于25万元;Q产品的销售额的波动较小，并且只有两个月的销售额略低于25万元，其余都在25万元至30万元之间，所以P产品的销售额的极差较大，中位数较小，Q产品的销售额的平均值较大，波动较小.故选B.
4.答案：A
5.答案：C
解析：函数为减函数；
故，
函数在上为增函数；
故，
故，
故选：C.
6.答案：C
7.答案：B
8.答案：C
9.答案：A
10.答案：D
11.答案：A
12.答案：C
13.答案：
14.答案：
15.答案：
16.答案：4；
解析：本题考查异面直线夹角的余弦值的求法及外接球的表面积.由题意，所以或其补角为异面直线与所成的角.设，在中，，则，所以.正三棱锥的外接球的球心为过底面外接圆的圆心作底面的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，底面外接圆的半径为r，则.因为底面为等边三角形，所以，即，所以，所以球O的表面积为.
17.答案：解：（1）因为，所以．
两边同除以得－＝－1．
因为，所以．
因此数列是首项为－1，公差为－1的等差数列．
（2）由（1）得．
当时，．
于是
解析：
18.答案：(1)当时，.
当时，.
所以
(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当.
由直方图知需求量的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以
.
解析：
19.答案：（1）证明：因为，O为AC的中点，所以，且.
连接OB.
因为，所以为等腰直角三角形，且，.
由知.
由，，知平面ABC.
（2）如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意得，，，，，.易得平面PAC的一个法向量为.
设，则.
设平面PAM的法向量为.
由，，
得
可取，
所以.
由已知可得，
所以，
解得（舍去）或，
所以.
又，所以.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
解析：
20.答案：（1）圆的圆心为，半径为，点在圆内，故圆与圆相内切.
设圆的半径为，则，，从而.
因为，所以曲线是以点，为焦点的椭圆.
由，，得，故的方程为.
（2）设，，，则，
，.
与联立得.
当时，即时，.
所以.
由（1）得，所以.
等式可化为.
当且时，.
当时，可以取任意实数.
综上，实数的值为.
21.答案：（1）定义域为，.
因此在单调递增，在单调递增.
（2）曲线在在处切线的方程为.
设与曲线相切于点，则，
消去得，即.
于是当且仅当是的零点时，是曲线的切线.
因为，，在单调递增，所以在上存在唯一零点.
所以在上存在唯一的，使得曲线在处的切线也是曲线的切线.
22.答案：（1）直线的参数方程为（为参数），
曲线 ，即，
将代入上式得曲线C的直角坐标方程为：；
（2）把直线的参数方程代入中，得
，
设对应的参数分别为，
由一元二次方程根与系数的关系得:，
根据直线的参数方程中参数的几何意义，得，得或.
又，所以.
23.答案：（1）.
因为，，所以，而，所以.
于是.
（2）因为，所以.
因为，当且仅当等号成立，所以.
故当时，取最小值2.