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2021-2022学年上海市八年级上学期数学期末仿真模拟卷（3）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）二次根式、、、、中，最简二次根式有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
3．（3分）在下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝ D．y＝
4．（3分）函数y＝k1x和y＝（k1＞0，且k1k2＜0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列命题是真命题的个数为（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180°．
③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）由下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．（b+c）（b﹣c）＝a2 B．∠A+2∠B＝∠C
C．a＝2，b＝3，c＝4 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）＝ ．
8．（2分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
9．（2分）在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝ ．
10．（2分）已知函数y＝，当x＝时，y＝ ．
11．（2分）若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无解，则c的取值范围为 ．
12．（2分）若点P（a，3）在第二象限，且到原点的距离是5，则a＝ ．
13．（2分）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 ．
14．（2分）平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是 ．
15．（2分）若直角三角形斜边上的中线为10cm，则它的斜边长是 cm．
16．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝15cm，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若BC＝8cm，则△EBC的周长为 cm．
17．（2分）在Rt△ABC中，锐角∠A＝37°，则另一个锐角∠B＝ ．
18．（2分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝2cm，AC+BC＝cm，则△ABC的面积为 cm2．
三．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）
19．（6分）计算：﹣4+（﹣）÷．
20．（6分）解方程：
（1）解方程：4x2﹣4x﹣2＝0；
（2）解方程：x（2x﹣5）＝6x﹣15．
21．（6分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CE⊥AB于点E，AF平分∠CAB，交CE于点F，过点F作GD∥BC，交AC于点G．交AB于点D．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若GC＝4，GD＝8，求△CFG的周长．
四．解答题（共4小题，满分34分）
23．（8分）某网店销售一款羽绒服，每件售价900元，每天可卖2件．为迎接“双11”抢购活动，该网店决定降价销售，市场调查反映：售价每降低50元，每天可多卖1件．已知该款羽绒服每件进价400元，设该款羽绒服每件售价x元，每天的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求网店每天盈利1600元，且销售量最大时，该款羽绒服的售价．
24．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA＝AD＝DC，点M在边CB的延长线上，点N在边BC上．
（1）如果MB＝AD，求证：AM＝AC；
（2）如果∠ANB＝2∠ACB，求证：四边形ADCN是菱形．
25．（8分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 ；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 ．
26．（10分）如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（Ⅰ）求BD的长度；
（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
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2021-2022学年上海市八年级上学期数学期末仿真模拟卷（3）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）二次根式、、、、中，最简二次根式有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】最简二次根式有，，共2个，
故选：B．
2．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
【答案】C
【解析】A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）在下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝ D．y＝
【答案】C
【解析】根据正比例函数的定义可得，形如y＝kx（k≠0），y是x的正比例函数，
由于y＝＝x，因此y＝是正比例函数，
故选：C．
4．（3分）函数y＝k1x和y＝（k1＞0，且k1k2＜0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵k1＞0且k1k2＜0，
∴k2＜0，
∴y＝k1x的图象在第一三象限，
y＝的图象在第二四象限，
故选：C．
5．（3分）下列命题是真命题的个数为（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180°．
③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题．
②三角形的内角和是180°，是真命题．
③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题．
④相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题．
⑤两点之间，线段最短，是真命题；
故选：B．
6．（3分）由下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．（b+c）（b﹣c）＝a2 B．∠A+2∠B＝∠C
C．a＝2，b＝3，c＝4 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】A
【解析】A、∵（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2＝a2，即b2＝a2+c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+2∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°+∠B，
∴∠C＝90°+∠B＞90°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠A＝180°×＝45°，∠B＝180°×＝60°，∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）＝________．
【答案】3
【解析】原式＝3．
8．（2分）函数y＝的自变量x的取值范围是________．
【答案】x≥2且x≠3．
【解析】由题意得：，
解得：x≥2且x≠3，
9．（2分）在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝________．
【答案】ab（b+）（b﹣）．
【解析】原式＝ab（b2﹣5）＝ab（b+）（b﹣），
10．（2分）已知函数y＝，当x＝时，y＝ 2+ ．
【答案】2+．
【解析】当x＝时，
函数y＝＝＝＝2+，
11．（2分）若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无解，则c的取值范围为________．
【答案】c＞．
【解析】∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无解，
△＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，
解得c＞，
∴c的取值范围是c＞．
12．（2分）若点P（a，3）在第二象限，且到原点的距离是5，则a＝________．
【答案】﹣4．
【解析】∵点P到原点的距离是5，
∴a2+32＝52．
∴a＝±4．
∵点P（a，3）在第二象限，
∴a＝﹣4．
13．（2分）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式________．
【答案】y＝﹣2x．
【解析】∵函数y＝kx经过二、四象限，
∴k＜0．
若函数y＝kx经过（﹣1，1），则1＝﹣k，即k＝﹣1，
故函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1）时，k＜0且k≠﹣1，
∴函数解析式为y＝﹣2x，
14．（2分）平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是________．
【答案】线段AB的垂直平分线．
【解析】根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．
15．（2分）若直角三角形斜边上的中线为10cm，则它的斜边长是________cm．
【答案】20
【解析】直角三角形斜边上的中线等于10cm，则这个直角三角形的斜边长为20cm，
16．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝15cm，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若BC＝8cm，则△EBC的周长为________cm．
【答案】23．
【解析】∵AB的垂直平分线DE，
∴AE＝BE，
∵AB＝AC＝15cm，BC＝8cm，
∴△EBC的周长是BC+BE+EC＝BC+AE+CE＝BC+AC＝8+15＝23cm．
17．（2分）在Rt△ABC中，锐角∠A＝37°，则另一个锐角∠B＝________．
【答案】53°
【解析】在Rt△ABC中，锐角∠A＝37°，则另一个锐角∠B＝53°，
18．（2分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝2cm，AC+BC＝cm，则△ABC的面积为________cm2．
【答案】．
【解析】∵△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
即4＝AC2+BC2，
∵AC+BC＝（cm），
∴（AC+BC）2＝AC2+2AC BC+BC2＝4+2AC BC＝6，
∴AC BC＝1，
∴，
三．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）
19．（6分）计算：﹣4+（﹣）÷．
【答案】见解析
【解析】原式＝2+﹣2+÷﹣÷
＝2+﹣2+2﹣2
＝．
20．（6分）解方程：
（1）解方程：4x2﹣4x﹣2＝0；
（2）解方程：x（2x﹣5）＝6x﹣15．
【答案】见解析
【解析】（1）这里a＝4，b＝﹣4，c＝﹣2，
∵b2﹣4ac＝16+32＝48＞0，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程移项得：x（2x﹣5）﹣6x+15＝0，
方程整理得：x（2x﹣5）﹣3（2x﹣5）＝0，
分解因式得：（2x﹣5）（x﹣3）＝0，
可得2x﹣5＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝．
21．（6分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是________km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？
【答案】见解析
【解析】（1）由图可知，
A市和B市之间的路程是360km，
故答案为：360；
（2）根据题意可知快车速度是慢车速度的2倍，
设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h，
2（x+2x）＝360，
解得，x＝60
2×60＝120，
则a＝120，
点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120 km处相遇；
（3）快车速度为120 km/h，到达B市的时间为360÷120＝3（h），
方法一：
当0≤x≤3时，y1＝﹣120x+360，
当3＜x≤6时，y1＝120x﹣360，
y2＝60x，
当0≤x≤3时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（﹣120x+360）＝20，
解得，x＝，﹣2＝，
当3＜x≤6时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（120x﹣360）＝20，
解得，x＝，﹣2＝，
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或 h两车相距20 km．
方法二：
设快车与慢车迎面相遇以后，再经过t h两车相距20 km，
当0≤t≤3时，60t+120t＝20，
解得，t＝；
当3＜t≤6时，60（t+2）﹣20＝120（t+2）﹣360，
解得，t＝．
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或 h两车相距20 km．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CE⊥AB于点E，AF平分∠CAB，交CE于点F，过点F作GD∥BC，交AC于点G．交AB于点D．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若GC＝4，GD＝8，求△CFG的周长．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵CE⊥AB，
∴∠CED＝90°，
∵GD∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠GFC＝∠EFD，
∴∠ACE＝∠ADG
在△ACF和△ADF中，
∴△ACF≌△ADF （SAS），
∴AC＝AD；
（2）∵△ACF≌△ADF，
∴CF＝DF，
∴△CFG的周长为：CG+GF+CF＝CG+FD+GF＝CG+DG＝4+8＝12
四．解答题（共4小题，满分34分）
23．（8分）某网店销售一款羽绒服，每件售价900元，每天可卖2件．为迎接“双11”抢购活动，该网店决定降价销售，市场调查反映：售价每降低50元，每天可多卖1件．已知该款羽绒服每件进价400元，设该款羽绒服每件售价x元，每天的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求网店每天盈利1600元，且销售量最大时，该款羽绒服的售价．
【答案】见解析
【解析】（1）依题意，得：y＝2+＝20﹣．
（2）依题意，得：（x﹣400）（20﹣）＝1600，
解得：x1＝600，x2＝800，
∵销售量最大，
∴x＝600．
答：当每件售价定为600元时，该网店每天盈利1600元．
24．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA＝AD＝DC，点M在边CB的延长线上，点N在边BC上．
（1）如果MB＝AD，求证：AM＝AC；
（2）如果∠ANB＝2∠ACB，求证：四边形ADCN是菱形．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵AD∥BC，BA＝AD＝DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCM，
∵∠ABM+∠ABC＝180°，∠DCM+∠D＝180°，
∴∠ABM＝∠D，
在△ABM和△CDA中，
∴△ABM≌△CDA（SAS），
∴AM＝AC；
（2）∵∠ANB＝∠CAN+∠ACB，∠ANB＝2∠ACB，
∴∠CAN+∠ACB＝2∠ACB，
∴∠CAN＝∠ACB，
∴AN＝CN，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠CAN＝∠ACB＝∠DAC＝∠DCA，
在△ACN和△ACD中，
∴△ACN≌△ACD（ASA），
∴AN＝AD，
∴AN＝CN＝AD＝DC，
∴四边形四边形ADCN是菱形．
25．（8分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为________；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为________．
【答案】见解析
【解析】（1）将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+10，
将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；
（3）由题意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，
∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2××yA＝24，即2×OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．
26．（10分）如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（Ⅰ）求BD的长度；
（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，
∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴DH＝＝＝3，
∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；
（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，
∴CE＝D'E，
又∵EF⊥CD'，
∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，
∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；
②如图2﹣1，
∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝105°，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，
∴CB＝CA'，
又∵A′D＝BD′，
∴△A'CD≌△BCD'（SSS），
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴105°﹣α＝15°+α，
∴α＝45°；
如图2﹣2，
同理可证：△A'CD≌△BCD'，
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，
∴α＝225°，
综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；
（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，
∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，
∴∠A'＝∠NCA'＝45°，
∴CN＝A'N＝3，
∵点M为AC的中点，
∴CM＝AC＝3，
∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；
如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，
此时MN＝CM+CN＝6+3，
∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3．
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