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2021-2022学年上海市八年级上学期数学期末仿真模拟卷（4）
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）下面给出的几个函数关系中，成正比例函数关系的是（ ）
A．正方体的体积与棱长
B．正方形的周长与边长
C．菱形的面积一定，它的两条对角线长
D．圆的面积与它的半径
2．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
3．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
5．（2分）下列命题是真命题的个数为（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180°．
③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
B．在直角△ABC中，一边长为3，另一边长为4，则第三边长一定为5
C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形
D．三边长分别为1，，的三角形不是直角三角形
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．（3分）计算×的结果是 ．
9．（3分）一元二次方程x2+3x＝0的解是 ．
10．（3分）当a＝ 时，函数y＝（a﹣1）x|a|是关于x的正比例函数．
11．（3分）已知反比例函数y＝ 图象经过第四象限的点（1，a）和（2，b），则a与b的大小关系是 ．
12．（3分）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有 人．
13．（3分）如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为 ．
14．（3分）如图，在小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是 ．
15．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．
（1）若点P的坐标为（1，2），点Q的坐标为（4，2），则在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是点 ；
（2）若P（0，0），PQ＝2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，点Q的坐标是 ．
16．（3分）如图，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为 ．
17．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，点D在AC上连接BD，BD＝CD，BE为△DBC的角平分线，过AD的中点F作BE的垂线，点G为垂足，若∠BDC＝100°，EG＝2，则BC的长为 ．
18．（3分）如图，已知点（1，3）在函数的图象上．正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（5分）计算：（﹣）÷+．
20．（5分）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣16＝0．
21．（6分）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
22．（6分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D，点E在AB的延长线上，∠E＝45°，若AB＝8，求BE的长．
23．（8分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．
（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝24，BD＝26时，求EF的长．
24．（10分）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图象上．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，D为AB中点，E，F分别是AC，BC上的动点，且满足∠EDF＝90°．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求四边形CFDE的面积；
（3）求△CEF周长的最小值（结果保留根号）．
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2021-2022学年上海市八年级上学期数学期末仿真模拟卷（4）
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）下面给出的几个函数关系中，成正比例函数关系的是（ ）
A．正方体的体积与棱长
B．正方形的周长与边长
C．菱形的面积一定，它的两条对角线长
D．圆的面积与它的半径
【答案】B
【解析】正方体的体积是棱长的立方，即：V＝a3，因此A选项不符合题意；
正方形的周长等于边长的4倍，即：C＝4a，因此B选项符合题意；
菱形的面积等于对角线积的一半，即：S＝ab，当S一定时，a、b成反比例函数关系，因此C选项不符合题意；
圆的面积S＝πr2，S是r的二次函数，因此选项D不符合题意；
故选：B．
2．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
【答案】B
【解析】根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
3．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、＝2与被开方数不同，不是同类二次根式；
C、＝2与被开方数不同，不是同类二次根式；
D、＝2与被开方数相同，是同类二次根式．
故选：D．
4．（2分）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【答案】D
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选：D．
5．（2分）下列命题是真命题的个数为（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180°．
③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题．
②三角形的内角和是180°，是真命题．
③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题．
④相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题．
⑤两点之间，线段最短，是真命题；
故选：B．
6．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
B．在直角△ABC中，一边长为3，另一边长为4，则第三边长一定为5
C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形
D．三边长分别为1，，的三角形不是直角三角形
【答案】C
【解析】A、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠A＝×180°＝45°，∠B＝×180°＝60°，∠C＝×180°＝75°，则△ABC不是直角三角形，所以A选项的说法错误；
B、在Rt△ABC中，若两边长分别为3和4，则第三边长为5或，所以B选项的说法错误；
C、在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B＝180°＝90°，那么这个三角形是直角三角形，所以C选项的说法正确；
D、三边长分别为1，，，则12+（）2＝（）2，∴三边长分别为1，，的三角形是直角三角形，所以D选项的说法错误．
故选：C．
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
【答案】x≤5．
【解析】由题意得：5﹣x≥0，
解得：x≤5，
8．（3分）计算×的结果是 2 ．
【答案】2．
【解析】原式＝＝＝2．
9．（3分）一元二次方程x2+3x＝0的解是________．
【答案】x1＝0，x2＝﹣3．
【解析】提公因式得，x（x+3）＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣3．
10．（3分）当a＝________时，函数y＝（a﹣1）x|a|是关于x的正比例函数．
【答案】﹣1．
【解析】∵y＝（a﹣1）x|a|是关于x的正比例函数，
∴|a|＝1且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，
当a＝﹣1时，函数y＝（a﹣1）x|a|是关于x的正比例函数．
11．（3分）已知反比例函数y＝ 图象经过第四象限的点（1，a）和（2，b），则a与b的大小关系是________．
【答案】a＜b．
【解析】∵反比例函数y＝ 图象经过第四象限的点（1，a）和（2，b），
在四象限，y随x的增大而增大，
∴a＜b．
12．（3分）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有________人．
【答案】10．
【解析】设这个微信群共有x人，则每人需发（x﹣1）个红包，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
13．（3分）如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为________．
【答案】2．
【解析】如图，
设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，
∵E为MN的中点，S为KH的中点，
∴ME＝MN，KS＝KH，
∵，∠AME＝∠AKS＝90°，
∴△AEM∽△ASK，
∴∠AEM＝∠ASK，
∴A，E，S共线，
同理可得：B、F、S共线，
由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB，
∴ES∥PF，
△PNE∽△BRF，得∠EPA＝∠FBP，
∴PE∥FS，
则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点，
∴G的轨迹为△CSD的中位线，
∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝6﹣1﹣1＝4，
∴点G移动的路径长．
14．（3分）如图，在小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是________．
【答案】．
【解析】∵AC＝＝，BC＝＝2，AB＝＝5，
∴AC2+BC2＝25＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝，
15．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．
（1）若点P的坐标为（1，2），点Q的坐标为（4，2），则在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是点________；
（2）若P（0，0），PQ＝2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，点Q的坐标是________．
【答案】Q（，）或Q（﹣，）．
【解析】（1）①∵P（1，2），Q（4，2），
∴在点A（1，0），B（ ，4）到PQ的距离为2．
∴PQ的“等高点”是A或B，
故答案为：A或B；
（2）如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，
∴PQ＝2，MN＝2．
设PN＝x，则NQ＝2﹣x，
在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MP2＝22+x2＝4+x2，MQ2＝22+（2﹣x）2＝x2﹣4x+8，
∴MP2+MQ2＝2x2﹣4x+12＝2（x﹣1）2+10，
∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，
∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x＝1，
即PN＝NQ，
∴△MPQ为等腰三角形，
∴MP＝MQ＝＝，
如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，
则在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：
QE2＝QP2﹣OE2＝22﹣y2＝4﹣y2，QE2＝QM2﹣ME2＝（）2﹣（﹣y）2＝2y﹣y2，
∴4﹣y2＝2y﹣y2，
解得y＝，
QE2＝4﹣y2＝4﹣（）2＝，
当点Q在第一象限时x＝，当点Q在第二象限时x＝﹣，
∴Q（，）或Q（﹣，），
16．（3分）如图，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为________．
【答案】11．
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+EA+EC＝BC+AC＝11，
17．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，点D在AC上连接BD，BD＝CD，BE为△DBC的角平分线，过AD的中点F作BE的垂线，点G为垂足，若∠BDC＝100°，EG＝2，则BC的长为________．
【答案】8．
【解析】∵BD＝CD，∠BDC＝100°，
∴∠C＝∠DBC＝40°，
∴∠ABC＝2∠C＝80°，
∴∠A＝60°，
∵BE为△DBC的角平分线，
∴∠DBE＝∠CBE＝∠DBC＝20°，
∴∠DEB＝∠EBC+∠C＝60°，
∴∠A＝∠DEB＝∠ABE＝60°
∴△ABE为等边三角形，
∴AE＝BE，
在BC上截取BQ＝BD，BH＝BE，连接EQ、EH，
在△BDE和△BQE中，
，
∴△BDE≌△BQE（SAS），
∴DE＝QE，∠EQB＝∠BDE＝100°，
∴∠EQH＝80°，
∵BE＝BH，
∴∠BEH＝∠BHE＝80°＝∠EQH，
∵EQ＝EH＝ED，∠BHE＝∠C+∠HEC，
∴∠C＝∠HEC＝40°，
∴HE＝HC＝ED，
∴BC＝BH+CH＝BE+ED，
∵FG⊥BE，
∴∠FGE＝90°，
在Rt△EGF中，∠FEG＝60°，
∴∠EFG＝30°，
又∵EG＝2，
∴EF＝2EG＝4．
∴BE+ED＝AE+ED
＝AD+ED+ED
＝AD+2ED，
∵F为AD中点，
∴AD＝2FD，
∴BE+ED＝2FD+2ED
＝2EF
＝8，
∴BC＝8．
18．（3分）如图，已知点（1，3）在函数的图象上．正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为________．
【答案】．
【解析】把（1，3）代入到y＝得：k＝3，
故函数解析式为y＝，
设A（a，）（a＞0），根据图象和题意可知，点E（a+，），
因为y＝的图象经过E，
所以将E代入到函数解析式中得：（a+）＝3，
即a2＝，
求得：a＝或a＝﹣（不合题意，舍去），
∴a＝，
∴a+＝，
则点E的横坐标为．
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（5分）计算：（﹣）÷+．
【答案】见解析
【解析】原式＝﹣+
＝2﹣+
＝．
20．（5分）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣16＝0．
【答案】见解析
【解析】x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝8+1，即（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
21．（6分）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
【答案】见解析
【解析】（1）∵点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，
∴当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）；
（2）将点A（2，0）向上平移2个单位后得点B（2，2）．
设过点B的反比例函数解析式为y＝，
则2＝，解得k＝4，
∴该反比例函数的表达式为y＝．
22．（6分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D，点E在AB的延长线上，∠E＝45°，若AB＝8，求BE的长．
【答案】见解析
【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝AB＝×8＝4，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
又∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BD＝BC＝×4＝2，
在Rt△BCD中，CD＝＝＝2，
∵∠E＝45°，
∴∠DCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DCE＝∠E，
∴DE＝CD＝2，
∴BE＝DE﹣BD＝2﹣2．
23．（8分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．
（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝24，BD＝26时，求EF的长．
【答案】见解析
【解析】（1）EF⊥AC，证明过程如下：
连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AE＝DB，
∵∠DCB＝90°，
∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）∵AC＝24，BD＝26，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝13，CF＝12，
∵EF⊥AC．
∴EF＝＝5．
24．（10分）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图象上．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．
【答案】见解析
【解析】（1）设反比例函数为y＝，
∵点A（2，m）和点B（6，2）在y＝的图象上
∴k＝2m＝6×2
解得m＝6，，
∴点A的坐标为（2，6），
设直线AB的表达式为y＝ax+b，
把A（2，6）和B（6，2）代入得，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8；
（2）设直线AB与x轴的交点为C，
在直线AB为y＝﹣x+8中，令y＝0，则x＝8，
∴C（8，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝16，
∵B（6，2），
∴OB＝＝2，
∵S△AOB＝OB AH＝16，
∴AH＝＝．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，D为AB中点，E，F分别是AC，BC上的动点，且满足∠EDF＝90°．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求四边形CFDE的面积；
（3）求△CEF周长的最小值（结果保留根号）．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接CD．
∵∠ACB＝90°，BC＝AC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，∠A＝∠B＝∠BCD＝45°，
∵∠EDF＝∠CDB＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△DEC≌△DFB（ASA），
∴ED＝FD．
（2）解：∵△DEC≌△DFB，
∴S△EDC＝S△FDB，
∴S四边形CFDE＝S△CDB＝S△ABC＝××2×2＝1．
（3）∵△DEC≌△DFB，
∴CE＝BF，
∴EC+CF＝CF+BF＝BC＝2，
∴当EF的长最小时，△ECF的周长最小，
∵△DEF是等腰三角形，
∴当DF最小时，EF的长最小，
∵DF⊥BC时，DF的值最小，此时DF＝AC＝1，
∴EF＝，
∴△DEF的周长的最小值为2+．
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