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2021-2022学年上海市八年级上学期数学期末仿真模拟卷（5）
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、原式＝，故A不是最简二次根式．
B、原式＝，故B不是最简二次根式．
C、是最简二次根式，故C是最简二次根式．
D、原式＝3，故D不是最简二次根式．
故选：C．
2．（2分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【答案】A
【解析】A、在方程x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根；
B、在方程x2+x﹣1＝0中，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴该方程有两个不相同的实数根；
C、在方程x2﹣2x﹣1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相同的实数根；
D、在方程x2﹣2x+1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：A．
3．（2分）在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【解析】∵﹣a2﹣1＜0，
∴函数y＝（a为常数）的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点（﹣3，y1），（﹣1，y2）在第二象限，
∴y2＞y1＞0，
∵2＞0，
∴点（2，y3）在第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
4．（2分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形三个对应角相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．直角三角形的两个锐角互余
【答案】A
【解析】A、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，不成立，为假命题；
B、逆命题为：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，成立，为真命题；
C、逆命题为：两边的平方和的等于第三边的平方的三角形是直角三角形，成立是真命题；
D、逆命题为：两个锐角互余的三角形为直角三角形，成立，是真命题，
故选：A．
5．（2分）已知直角三角形ABC的三条角平分线交于点I，且此三角形的三边长分别为6、8、10，则点I到AB的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】如图，
∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵点I为△ABC的三条角平分线的交点，
∴IE＝IF＝ID，
设IE＝x，
∵S△ABC＝S△IAB+S△IAC+S△ICB，
∴×8×6＝IF×10+IE×6+ID×8，
∴10x+6x+8x＝48，
∴x＝2，
∴点I到AB的距离等于2．
故选：A．
6．（2分）下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①a2＝c2﹣b2；
②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；
③a：b：c＝1：：2；
④∠C＝∠A﹣∠B．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①a2＝c2﹣b2，即a2+b2＝c2，是直角三角形；
②由∠A：∠B：∠C＝1：1：2可得∠C＝180°×＝90°，是直角三角形；
③∵a：b：c＝1：：2，12+（）2＝22，∴是直角三角形；
④∠C＝∠A﹣∠B可变为∠A＝∠C+∠B，根据∠A+∠B+∠C＝180°可得∠A+∠A＝180°，解得∠A＝90°，因此是直角三角形；
故选：D．
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）计算﹣5的结果是________．
【答案】．
【解析】原式＝2﹣5×
＝2﹣
＝，
8．（3分）使函数y＝有意义的x的取值范围是________．
【答案】x≥﹣1.5．
【解析】由题意得2x+3≥0，
解得x≥﹣1.5．
9．（3分）已知函数f（x）＝，若f（x）＝2，则x＝________．
【答案】﹣1．
【解析】根据题意，得：＝2，
整理，得：x﹣1＝2x，
解得：x＝﹣1，
经检验：x＝﹣1是原分式方程的解，
10．（3分）在实数内分解因式：x4﹣2x2＝________．
【答案】
【解析】x4﹣2x2＝x2（x2﹣2），
＝x2（x2﹣2），
＝．
11．（3分）如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为________．
【答案】2．
【解析】如图，
设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，
∵E为MN的中点，S为KH的中点，
∴ME＝MN，KS＝KH，
∵，∠AME＝∠AKS＝90°，
∴△AEM∽△ASK，
∴∠AEM＝∠ASK，
∴A，E，S共线，
同理可得：B、F、S共线，
由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB，
∴ES∥PF，
△PNE∽△BRF，得∠EPA＝∠FBP，
∴PE∥FS，
则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点，
∴G的轨迹为△CSD的中位线，
∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝6﹣1﹣1＝4，
∴点G移动的路径长．
12．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：________．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【解析】题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】4．
【解析】根据题意得△＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4．
14．（3分）直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（2，6），那么AB＝________．
【答案】5．
【解析】根据题意得AB＝．
15．（3分）如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝________cm．
【答案】3．
【解析】∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD＝AC＝3cm．
16．（3分）若直角三角形的周长为，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为________．
【答案】
【解析】∵直角三角形斜边上的中线长为1，
∴斜边的长为2，
设两直角边分别为x、y，
∵周长为，
∴x+y＝﹣2＝，
平方得，x2+2xy+y2＝7，
根据勾股定理，x2+y2＝22＝4，
∴2xy＝3，
∴xy＝，
即直角三角形的面积为．
17．（3分）如图：∠C＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为________．
【答案】20．
【解析】由勾股定理得，AB2＝AC2+AC2，
则阴影部分的面积＝π×（）2+π×（）2+S△ABC﹣π×（）2＝π×（BC2+AC2﹣AB2）+20＝20．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BD，∠BDA＝45°，BC＝2，若BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为________
【答案】+1．
【解析】以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角三角形CBE（点E在BC下方），则BC＝BE，∠CBE＝90°，连接DE，如图：
∵AB＝BD，∠BDA＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD+∠CBD＝∠CBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝DE，
∴DE的最大值即为对角线AC的最大值．
∵BC＝2，BD⊥CD，即∠ADC＝90°，
∴点D在以BC为直径的圆上运动，如上图所示，
当点D在BC上方，DE经过BC的中点O时，DE有最大值，
∴OD＝OB＝BC＝1，
在Rt△BOE中，OB＝1，BE＝BC＝2，
∴OE＝＝＝，
∴DE＝OE+OD＝+1，
∴对角线AC的最大值为+1．
三．解答题（共5小题，满分28分）
19．（5分）计算：
（1）．
（2）．
【答案】见解析
【解析】（1）原式＝3﹣5+
＝﹣；
（2）原式＝3﹣5+3﹣﹣2
＝﹣2．
20．（5分）解下列方程
（1）x2﹣3x﹣2＝0；
（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．
【答案】见解析
【解析】（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，
∵（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2．
21．（6分）已知y＝y1﹣y2，y1与x+3成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝1时，y＝﹣2，当x＝﹣3时，y＝2．先求出y与x之间的函数表达式，再求x＝﹣1时y的值．
【答案】见解析
【解析】∵y1与x+3成正比例，y2与x2成反比例，
∴y1＝k1（x+3），y2＝，
∵y＝y1﹣y2，
∴y＝k1（x+3）﹣，
∵当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣3时，y＝2，
∴，
解得，
∴y＝﹣5（x+3）+，
∴当x＝﹣1时y＝﹣5×（﹣1+3）+18＝8．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，用尺规在BC上求作一点P，使P到边AC，AB的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】如图，点P即为所求作．
23．（6分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD＝DC．
【答案】见解析
【解析】如图，连接DB．
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∴∠A＝∠ABD，
∵BA＝BC，∠B＝120°，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠ABD＝30°，
又∵∠ABC＝120°，
∴∠DBC＝120°﹣30°＝90°，
∴BD＝DC，
∴AD＝DC．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
24．（8分）如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
【答案】见解析
【解析】（1）过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝，
∴BD＝＝，
Rt△ADF中，DF＝AD sin∠BAC＝，
Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：
∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴，
∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，
∴，解得AH＝，HD＝，
∵∠AEB＝∠BAC＝30°，
∴HE＝＝，
∴BE＝BD+DH+HE＝，
∵EG∥AC，
∴∠BDC＝∠BEG，
而∠CBD＝∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴，即，
∴EG＝．
方法二：过E作EG⊥BC于G，
∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABD∽△ABE，
∴＝，
即，
∴BE＝，
∵DC⊥BC，EG⊥BG，
∴DC∥BG，
∴，即＝，
∴EG＝，
∴点E到直线BC的距离为．
25．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以OA为边作平行四边形OABC，点C（2，y）和边AB的中点D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，已知△OCD的面积为．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点P（a，0）是x轴上一个动点，求|PC﹣PD|最大时a的值；
（3）过点D作x轴的平行线l（如图2），在直线l上是否存在点Q，使△COQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）当x＝2时，，
∴，
∵平行四边形OABC中，BC∥OA，
∴，
∵D是边AB的中点，
∴yD＝yB＝，
∴点D（4，），
作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，
则，
∴k＝6．
∴反比例函数解析式为；
（2）在△PCD中，|PC﹣PD|＜CD；
当P，C，D在一条直线上时，|PC﹣PD|＝CD，
由（1）知，C（2，3），D（4，），
∴设直线CD为y＝k1x+b，
则，
解得：，
∴直线CD解析式为，
由，
∴x＝6，
∴|PC﹣PD|最大时a的值为6；
（3）存在．
∵QD∥x轴，
∴设点Q坐标为（a，），
∵C（2，3），O（0，0），
∴CO2＝4+9＝13，OQ2＝a2+，CQ2＝（a﹣2）2+（3﹣）2＝a2+﹣4a，
当∠CQO＝90°时，则CO2＝OQ2+CQ2，
∴13＝a2++a2+﹣4a，
∴a＝，
∴点Q的坐标为（，）或（，）；
当∠COQ＝90°时，则CQ2＝OQ2+CO2，
∴13+a2+＝a2+﹣4a，
∴a＝﹣，
∴点Q的坐标为；
当∠OCQ＝90°时，则OQ2＝CQ2+CO2，
∴a2+＝a2+﹣4a+13，
∴a＝，
∴点Q的坐标为；
综上所述：点Q的坐标为或或（，）或（，）．
26．（8分）阅读理解：有一组对角互余的四边形称为对余四边形．
（1）若四边形ABCD是对余四边形，∠A＝60°，∠B＝130°，求∠D的度数．
问题探究：
（2）在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
①如图1，点E为BC边上一点，AE＝AD，若四边形ABED为对余四边形，求证：BE＝CD；
②如图2，若BC＝，CD＝，AD＝，试判断四边形ABCD是否为对余四边形，并说明理由；
③如图2，若四边形ABCD是对余四边形，当BD＝6，AD＝4时，求CD的长．
【答案】见解析
【解析】（1）∵四边形ABCD是对余四边形且∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝30°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝140°；
（2）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADE＝45°，
又∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°，∠EAD＝90°，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
②作CH⊥AD，垂足为H，则∠AHC＝∠DHC＝90°，
∵∠ABC＝45°，BC＝2，
∴AC＝BC sin∠B＝＝2，
设DH＝x，则AH＝+1﹣x，
在Rt△AHC与Rt△DHC中，AC2﹣AH2＝CD2﹣DH2，
即，
解得：x＝1，即DH＝1，
∵cos∠ADC＝，
∴∠ADC＝45°，
∴∠ABC+∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
③过点A作AD的垂线交DC的延长线于点F，连接BF．
∵AF⊥AD，
∴∠DAF＝90°＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAD，
∵四边形ABCD是对余四边形且∠ABC＝45°，
∴∠ADF＝45°，∠AFD＝45°，
∴AF＝AD，DF＝，
∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，
∴△BAF≌△CAD（SAS），
∴BF＝CD，∠AFB＝∠ADF＝45°，
∴∠BFD＝∠AFB+∠AFD＝90°，
Rt△BFD中，BF＝，
∴CD＝2．
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一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
3．（2分）在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
4．（2分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形三个对应角相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．直角三角形的两个锐角互余
5．（2分）已知直角三角形ABC的三条角平分线交于点I，且此三角形的三边长分别为6、8、10，则点I到AB的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2分）下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①a2＝c2﹣b2；
②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；
③a：b：c＝1：：2；
④∠C＝∠A﹣∠B．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）计算﹣5的结果是 ．
8．（3分）使函数y＝有意义的x的取值范围是 ．
9．（3分）已知函数f（x）＝，若f（x）＝2，则x＝ ．
10．（3分）在实数内分解因式：x4﹣2x2＝ ．
11．（3分）如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为 ．
12．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
14．（3分）直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（2，6），那么AB＝ ．
15．（3分）如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝ cm．
16．（3分）若直角三角形的周长为，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为 ．
17．（3分）如图：∠C＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为 ．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BD，∠BDA＝45°，BC＝2，若BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为
三．解答题（共5小题，满分28分）
19．（5分）计算：
（1）．
（2）．
20．（5分）解下列方程
（1）x2﹣3x﹣2＝0；
（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．
21．（6分）已知y＝y1﹣y2，y1与x+3成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝1时，y＝﹣2，当x＝﹣3时，y＝2．先求出y与x之间的函数表达式，再求x＝﹣1时y的值．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，用尺规在BC上求作一点P，使P到边AC，AB的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（6分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD＝DC．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
24．（8分）如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
25．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以OA为边作平行四边形OABC，点C（2，y）和边AB的中点D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，已知△OCD的面积为．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点P（a，0）是x轴上一个动点，求|PC﹣PD|最大时a的值；
（3）过点D作x轴的平行线l（如图2），在直线l上是否存在点Q，使△COQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（8分）阅读理解：有一组对角互余的四边形称为对余四边形．
（1）若四边形ABCD是对余四边形，∠A＝60°，∠B＝130°，求∠D的度数．
问题探究：
（2）在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
①如图1，点E为BC边上一点，AE＝AD，若四边形ABED为对余四边形，求证：BE＝CD；
②如图2，若BC＝，CD＝，AD＝，试判断四边形ABCD是否为对余四边形，并说明理由；
③如图2，若四边形ABCD是对余四边形，当BD＝6，AD＝4时，求CD的长．
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