十堰市区县普通高中联合体
2021 学年高二年级期中联考
数 学 试 题
考试时长：150 分钟 试卷满分：150 分
★祝考试顺利★
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线 x 3y 3 0的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
2．直线 l : y x 1截圆O : x2 y 2 1所得的弦长是（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
3．素数指在一个大于 1 的自然数中，除了 1 和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数．我
国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大
于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如10 3 7．在不超过 20 的素数中，随机选取两
个不同的数，其和等于 18 的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
28 14 9 5
4．已知圆C1与圆C2 : x 2
2 y 1 2 4关于直线 y x对称，则圆C1的方程为（ ）
A． (x 1)2 (y 2)2 4 B． (x 1)2 (y 2)2 4
C． (x 1)2 (y 2)2 4 D． (x 1)2 (y 2)2 4
5．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝a,OB b,OC c，点M 在OA上，且OM 2MA，
N为 BC中点，则MN（ ）
高二数学试卷 第 1 页 共 6 页
1 2
A． a
1 2 1 1
b c B． a b c
2 3 2 3 2 2
1 1 1 2 2 1
C． a b c D． a b c
2 2 2 3 3 2
6．已知圆C : x2 y 2 2x 2my 4 4m 0(m R) ，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐
标原点的距离的最大值为（ ）
A． 2 B．6 C． 5 1 D． 5 1
7．射击运动中，一次射击最多能得 10 环，下图统计了某射击运动员 50 次射击命中环数不
少于 8 环的频数，用频率估计概率，则该运动员在 3 次独立的射击中，总环数不少于 28 环
的概率是（ ）
19 1 38 32
A． B． C． D．
32 2 125 125
8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指
底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱
锥如图，在堑堵 ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若 AB＝ 2 ，AA1＝2，当鳖臑 A1﹣ABC 体积
最大时，直线 B1C 与平面 ABB1A1所成角的余弦值为（ ）
高二数学试卷 第 2 页 共 6 页
A 3 10 B 10
1
． ． C 2 2． D．
10 10 3 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得
2分。
9．下列说法不合理的是（ ）
1
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为 6 的概率是 ，意即每掷 6 次就有一次掷得点数 6．
6
B．抛掷一枚硬币，试验 200 次出现正面的频率不一定比 100 次得到的频率更接近概率．
C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为 80%，是指明天本地有 80%的区域下雨．
D．随机事件 A，B中至少有一个发生的概率一定比 A，B中恰有一个发生的概率大．
10. 2 2 2 2已知两圆C1 : x y 2x 10y 24 0 ，C2 : x y 2x 2y 8 0 ，则下列结论
正确的是（ ）
A、两圆外离 B、两圆有 3 条公切线
C、两圆相交，且两圆的公共弦长为 2 5 D、两圆的公共弦方程为 x 2y 4 0 ，
8
11．设向量a (1, , 2)，b (2, 1,2) ，若 cos a,b ，则实数 的值为（ ）
9
2 2
A． 2 B．2 C． D．
55 55
π
12．如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， DAB ，AB 2AD 2PD，
3
PD 底面 ABCD，则（ ）
高二数学试卷 第 3 页 共 6 页
A． PA BD
π
B．B． PB与平面 ABCD所成角为
3
C．异面直线 AB PC 5与 所成角的余弦值为
5
D．平面 PAB与平面 PBC 2 7所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为
7
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分）
13．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝ 110，则 m 的值为________.
14．某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为 15 元，被随机分
配为 3.50 元，4.75 元，5.37 元，1.38 元共 4 份，甲 乙 丙 丁 4 人参与抢红包，每人只能抢
一次，则甲 乙二人抢到的金额之和不低于 8 元的概率为___________.
15 2．当直线 l： m 1 x 2m 1 y 7m 4 0（m R ）被圆C： x 2 y 1 2 25截得
的弦最短时，实数m的值为______．
PAD 2 16．在如图所示的四棱锥P ABCD中，AB / /CD， ，PA AB，PA AD 2，
3
AB 1 CD 2 ，且 BC BD，则直线 PD与平面 PBC所成角的正弦值为______．
2
高二数学试卷 第 4 页 共 6 页
四、解答题（本大题共 6小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤)
17．（10 分）已知圆C过点 A 6,0 ，B 1,5 ，且圆心在直线 l : 2x 7 y 8 0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）将圆C向上平移 1 个单位长度后得到圆C1，求圆C1的标准方程．
18．（12 分）乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励学生多
参加体育锻炼，会定期地举办乒乓球竞赛.已知该中学高一 高二 高三三个年级的人数分别为
690, 460, 460，现采取分层抽样的方法从三个年级共抽取 7 人参加校内终极赛.
（1）求该中学高一 高二 高三三个年级参加校内终极赛的人数；
（2）现从抽取的 7 人中再随机抽取 2 人拍照做海报宣传，求“抽取的 2 人来自同一年级”的
概率.
19．（12 分）某市正在积极创建文明城市，市交警支队为调查市民文明驾车的情况，在市区
某路口随机检测了 40辆车的车速.现将所得数据分成六段：[60，65) [65，70) [70，75)
[75，80) [80，85) [85，90)，并绘得如图所示的频率分布直方图.
（1）现有某汽车途径该路口，则其速度低于80 km/h 的概率是多少？
（2）根据直方图可知，抽取的 40辆汽车经过该路口的平均速度约是多少？
（3）在抽取的 40辆且速度在 60，70 km/h 内的汽车中任取 2 辆，求这两辆车车速都在
[65，70) km/h 内的概率.
高二数学试卷 第 5 页 共 6 页
20 2 2、（12 分）已知圆 C: x 1 y 2 25及直线 l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 . m R
（1）证明:不论m取什么实数,直线 l与圆 C 恒相交；
（2）求直线 l与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l的方程．
21．（12 分）如图，在四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面
1
SAD⊥平面 ABCD，P 为 AD 的中点，SA＝SD＝2，BC AD＝1，CD
2 3．
（1）求证：SP⊥AB；
（2）求直线 BS 与平面 SCD 所成角的正弦值；
（3）设 M 为 SC 的中点，求二面角 S﹣PB﹣M 的余弦值．
22．（12 分）已知 ABC的内切圆的圆心M 在 y轴正半轴上，半径为1，直线 x 2y 1 0截
4 5
圆M 所得的弦长为 .
5
（1）求圆M 方程；
（2）若点C的坐标为 2,4 ，求直线 AC和BC的斜率；
（3）若A ， B两点在 x轴上移动，且 AB 4，求 ABC面积的最小值.
高二数学试卷 第 6 页 共 6 页市区县普通高中联合体高二年级期中联考
数学参考答案
直线
倾斜角为
案】D
2.直线
截圆
所得的弦长是
3.素数指在一个大于1的自然数
了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数,我
国数学家陈录润
猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是
于2的偶数
为两个素数的和
20的素数
机选取两
不同的数,其和等于18的概率
案
已知圆
案】D
知圆x+y2+2x-my-4-4m-0(m∈)
当圆的面积
圆上的
坐
标原点的距离的最大值为
答案
解
根据题意,圆C:x
4-4m=0(m∈【)
变形可得(x+1)2+
其圆心为
半径
圆C的
圆心C到原点为距离d=√A=√5
则圆上的点到坐标原
的最大值为
射击运动
次射击最多能得10环,下图统计了某射击运动
次射击命中环数不
少于8环的频数,用频率估计概率,则该运动员在3次独立的射
数不少
的概率
射击成绩的频数
该运动员在3次独立的射击中,总环数不
环包含4种情况
次10环二次9环
能求出该运动
独立的射击
环数不少于
概率
详
解:用频率估计概率,则该运动员每次射击命中10环的概率为
命中9环的概率
该运动员在3次独立的
环数不少
次10环,概率为
次10环一次9环,概率为P
环一次8环,概率为P=C
概率为
该运动员在3次独立的射击中
数不少于28环的概率
P+P++
故选:C
解析】解:在堑堵ABC-ABC
鳖鹏A1-AB
体积最大时
C为原
角坐
义X
设直线B1C与平面ABBA1所成角为6
直线B1C与平面ABB1A
的余弦值为
c
知
2x+
24=0
2x+2
下列结
正确
A、两圆
B、两圆有3条公切线
C、两圆相交,且两圆的公共弦长
D、两圆的公共弦方程为
答案
设向量a-(1,A2)
实数A的值为(
案】AC
详解
因为
g·b-1×2
2×2-6-A
5+x
整理可得:55A2+108A-4-0,所以(55
解得
或
解析】对
B=,AB=2AD及余弦定理得BD=√3AD,从而BD3+AD2-AB
又 ADI PD
所成的
∠PBD
故B错
对于C,显然∠PCD是异面直线
听成的角,易得cos∠PCD
建立如图所示的
直角坐
D
所以
设
的一个法向量为
时
所以平面
平
所成二面角
角为锐
选
直角坐标
则m的值为
答案】-7或
4.某个微信群在某次进
动中,若某人所发红
金额
被随机
为
丁4人参与抢
每人只能
抢
额之和不低
概率为
案
分析
算出基本事件总数及满足条件的有利事件数,代入古典概型概率计算
题意可得
人抢到的金额的基本事件总数为{3.50
刂的金额
含
0.4.75
共
乙二人抢到的金额之和不低
概率P
故答案
当直线:(m+1)x+(2m+1)y7m4=0
被圆
截
短
数
答案
圆
的圆
故直线!经过定点
