(共19张PPT)第二课时 基本不等式的应用(习题课)
应用基本不等式证明不等式
[例1] (链接教科书第46页练习2题)(1)已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3；
(2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：≥9.
[证明] (1)因为x，y都是正数，所以x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2＞0，
x3＋y3≥2＞0.
所以(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立．
(2)因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋.
同理1＋＝2＋.
故＝＝5＋2≥5＋4＝9.
所以≥9，当且仅当a＝b＝时取等号．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用．
[跟踪训练]
1．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
证明：＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2 ＝6，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时取等号．
2．已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：·≥8.
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
基本不等式的实际应用
[例2] (链接教科书第46页例3、第47页例4)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
[解] 设隔墙的长度为x m，总造价的函数为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，
池底造价为200×80＝16 000元，
四周围墙造价为×400＝800×元．
因此，总造价为
y＝496x＋800＋16 000(x>0)＝1 296x＋＋16 000≥2 ＋16 000
＝28 800＋16 000＝44 800.当1 296x＝，
即x＝时，等号成立．这时，污水池的长为18 m.
故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元．
应用基本不等式解决实际问题的方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值，正确写出答案．
[跟踪训练]
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5 8
2．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
解：(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，
则y＝0.5x2·＋800·＝150(0(2)由(1)得y＝150≥300＝12 000，
当且仅当x＝，即x＝40时取等号．
故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少.
基本不等式的拓广应用
阅读下列材料：
二元基本不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立．
证明：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以(a＋b)2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立．
三元基本不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．
证明：设d为正数，由二元基本不等式，
得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立．
令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，
由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．
[问题探究]
1．当满足什么条件时，可以利用三元基本不等式求的最小值？
提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元基本不等式求的最小值．
2．利用上述结论证明：已知a，b，c均为正实数，求证：(a＋b＋c)·≥9.
提示：∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3>0，＋＋≥3>0，
∴(a＋b＋c)·≥3·3 ＝9.
[迁移应用]
1．利用上述结论求解：设a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)(1－c)的最大值．
解：因为a＞0，b＞0，c＞0，≥，
所以abc≤，
又因为a＋b＋c＝1，
0＜1－a＜1，0＜1－b＜1，0＜1－c＜1，
所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为，
2．利用上述结论的推广求解：已知a，b，c均为正实数，求·的最小值．
解：∵
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋6＝9.
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
∴的最小值为9.
1．用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积．
解：设矩形菜园的长和宽分别为x m，y m，x＞0，y＞0，面积为S m2，
由题意得2(x＋y)＝36，∴x＋y＝18.
∵x＞0，y＞0，∴S＝xy≤＝＝81，
当且仅当x＝y＝9时取“＝”，
∴当长和宽都为9 m时，菜园面积最大，最大面积为81 m2.
2．若a＞0，b＞0，证明：(1)≤；(2)≥.
证明：(1)∵a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2
∴≥，
∴≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．
(2)若a＞0，b＞0，则a＋b≥2(当且仅当a＝b时等号成立)．
∴(a＋b)≥2ab，∴≥，
∴≥(当且仅当a＝b时等号成立).
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5(共31张PPT)基本不等式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立) 逻辑推理
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 数学建模
第一课时 基本不等式
如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．
[问题] 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
知识点一 重要不等式与基本不等式
1．重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
如果a>0，b>0，有≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
1．不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a≥0，b≥0；
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．
2．基本不等式的常见变形
(1)a＋b≥2；
(2)ab≤≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( )
(2)若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2.( )
(3)若a＞0，b＞0，则ab≤恒成立．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________．
解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，
所以x－2y>0，即x>2y.
答案：x>2y
知识点二 基本不等式与最值
已知x，y都是正数，则
(1)如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等：
(1)一正：各项必须为正；
(2)二定：各项之和或各项之积为定值；
(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．
1．若x＞0，则y＝＋x的最小值为________．
解析：∵x＞0，＞0，∴y＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，故ymin＝4.
答案：4
2．已知0解析：因为00，所以x(1－x)≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
答案：
对基本不等式的理解
[例1] 判断下列两个推导过程是否正确：
(1)∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4；
(2)∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2 ＝－2.
[解] (1)由于a∈R，a≠0，不符合基本不等式的使用条件，故(1)的推导是错误的．
(2)由xy＜0，知，均为负数，在推导过程中，将其转变为正数－，－后，符合基本不等式的使用条件，故(2)的推导正确．
应用基本不等式时，注意下列两个常见变形中等号成立的条件：
(1)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号；＋≤－2(a，b异号)，当且仅当a＝－b时取等号；
(2)a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时取等号；a＋≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时取等号．
[跟踪训练]
1．不等式a＋1≥2(a＞0)中等号成立的条件是( )
A．a＝0 B．a＝
C．a＝1 D．a＝2
答案：C
2．下列结论正确的是( )
A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4
B．当x＞0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0＜x≤2时，x－无最大值
解析：选B 对于选项A，当x＜0时，＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，有最大值2－＝.
直接应用基本不等式求最值
[例2] (链接教科书第45页例1)求下列式子的最值：
(1)y＝3x2＋；
(2)y＝x(3－x)(0＜x＜3)．
[解] (1)y＝3x2＋≥2＝，当且仅当3x2＝，即x＝±时取等号，
所以y＝3x2＋有最小值.
(2)因为0＜x＜3，
所以x＞0，3－x＞0，
所以y＝x(3－x)≤＝，当且仅当x＝3－x，即x＝时取等号．
所以y＝x(3－x)(0＜x＜3)有最大值.
利用基本不等式求最值的策略
[跟踪训练]
1．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
解析：选C ∵x＞0，y＞0，x＋y＝18，
∴x＋y≥2，
∴xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，
∴xy有最大值81.
2．若x＞0，y＞0，则2x＋＋y＋的最小值是( )
A．3 B．4
C．4 D．2
解析：选A 2x＋＋y＋≥2＋2＝2＋＝3，当且仅当2x＝，y＝，即x＝，y＝时等号成立．
间接应用基本不等式求最值
[例3] (1)已知x＞3，求y＝2x＋的最小值；
(2)若0＜x＜4，求y＝x(8－2x)的最大值．
[解] (1)因为x＞3，所以2x－6＞0，
所以y＝2x＋＝(2x－6)＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10，
当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号．
所以y＝2x＋的最小值是10.
(2)因为0＜x＜4，
所以8－2x＞0，
所以y＝x(8－2x)＝·2x(8－2x)≤·＝8，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号．
所以y＝x(8－2x)的最大值为8.
基本不等式求最值的两种常用方法
(1)拼凑法：拼凑法求最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件；
(2)常数代换法：常数代换法求最值的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
[跟踪训练]
1．当x＞0时，y＝的最小值为________．
解析：当x＞0时，＝＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝2时等号成立，
所以当x＞0时，y＝的最小值为.
答案：
2．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为________．
解析：∵x＞0，y＞0，且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝2时等号成立．
答案：8
3．函数y＝x(0＜x＜1)的最大值为________．
解析：由0＜x＜1，可得y＝x＝≤＝，当且仅当x2＝1－x2，即x＝时，等号成立，此时ymax＝.
答案：
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0
B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R
C．a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0
D．a＋b≥2成立的条件是ab＞0
解析：选BC 根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C.
2．若a＞0，b＞0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25 B.
C. D.
解析：选D a＞0，b＞0，a＋2b＝5，
则ab＝a·2b≤×＝，
当且仅当a＝，b＝时取等号，故选D.
3．已知x<0，则x＋－2有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：选C ∵x＜0，
∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，
当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
4．已知x＞0，y＞0，xy＝4，求＋的最小值．
解：∵xy＝4，且x＞0，y＞0，
∴＋≥2 ＝2＝，
当且仅当x＝2，y＝时取等号，
即＋的最小值为.
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