(共17张PPT)第二课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用(习题课)
简单的分式不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
(1)＜0；(2)≥0；(3)＞1.
[解] (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，
∴－1＜x＜，
故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
∴
∴即－＜x≤1.
故原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为－1＞0，
∴＞0，
∴＞0，则x＜－2.
故原不等式的解集为{x|x＜－2}．
简单分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零；
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[跟踪训练]
解下列不等式：
(1)≥0；(2)＞1.
解：(1)原不等式可化为
解得
∴x＜－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为＞0，
化简得＞0，
即＜0，
∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－.
∴原不等式的解集为.
不等式恒成立问题
[例2] 已知函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，不等式y＜0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于一切实数x，不等式y≥－2恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0恒成立．若m≠0，则解得－4＜m＜0.综上可知，m的取值范围是－4＜m≤0.
(2)不等式y≥－2，即为mx2－mx＋1≥0.若m＝0，则不等式即为1≥0，显然恒成立；若m≠0，则应有解得0＜m≤4.综上，实数m的取值范围是0≤m≤4.
不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)的解集为R(恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c＜0
a＝0 b＝0，c＞0 b＝0，c＜0
a≠0
[跟踪训练]
已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|a≤－2或a≥5}
C．{a|a≤－1或a≥4} D．{a|－2≤a≤5}
解析：选A 法一：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.
法二：不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立等价于不等式x2－2x＋5－a2＋3a≥0对任意实数x恒成立，所以关于x的方程x2－2x＋5－a2＋3a＝0的判别式Δ＝(－2)2－4×(5－a2＋3a)≤0，解得－1≤a≤4，故选A.
一元二次不等式的实际应用
[例3] (链接教科书第53页例4)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解] (1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.
解不等式应用题的步骤
[跟踪训练]
如图所示，某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 m，AD＝2 m．要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？
解：设DN的长为x(x>0)m，则AN的长为(x＋2)m.
因为＝，
所以AM＝，
所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.
由S矩形AMPN>32，得>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得06.
即DN的长的取值范围是.
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x≤2}
C．{x|x＜0或x≥2} D．{x|x＜0或x＞2}
解析：选B 由原式得x(x－2)≤0且x≠0，解得0＜x≤2，故选B.
2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－4≤a≤4} B．{a|－4＜a＜4}
C．{a|a≤－4或a≥4} D．{a|a＜－4或a＞4}
解析：选A 欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，
∴－4≤a≤4.
3.某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围．
解：设花坛的宽度为x m，
则草坪的长为(800－2x)m，
宽为(600－2x)m，
根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600，
整理得x2－700x＋60 000≥0，
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，
由题意知x＞0，所以0＜x≤100.
当x在{x|0PAGE
4(共25张PPT)二次函数与一元二次方程、不等式
新课程标准解读 核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义 数学抽象
2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集 数学抽象、数学运算
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 直观想象
4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决 数学抽象、数学建模、数学运算
第一课时 二次函数与一元二次方程、不等式
城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力．城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标志．为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位：m)的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(单位：m)，当车速为60(单位：km/h)时，车距为1.44个车身长．
[问题] 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？
知识点一 一元二次不等式
1．把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a，b，c均为常数，a≠0)．
对一元二次不等式的再理解
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；
(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
答案：②④
知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x11．函数y＝x2－3x＋2的零点是________．
解析：由x2－3x＋2＝0得x1＝1，x2＝2，故函数y＝x2－3x＋2的零点为1和2.
答案：1和2
2．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________．
答案：{x|x<0或x>2} {x|03．不等式3x2－2x＋1>0的解集是________．
解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
答案：R
不含参数的一元二次不等式的解法
[例1] (链接教科书第52页例1)解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1>0；
(4)－x2＋6x－10>0.
[解] (1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，
作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．
由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示．
由图可得原不等式的解集为
.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为 .
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正；
(2)判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式；
(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根；
(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
(5)写解集：根据图象写出不等式的解集．
[跟踪训练]
解下列不等式：
(1)4x2－20x＜－25；
(2)(x－3)(x－7)＜0；
(3)－3x2＋5x－4＜0；
(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1.
解：(1)不等式可化为4x2－20x＋25＜0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是 .
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3＜x＜7}．
(3)不等式－3x2＋5x－4＜0可化为3x2－5x＋4＞0，由于判别式Δ＝25－48＝－23＜0，函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以不等式的解集是R.
(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0.因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是
含参数的一元二次不等式的解法
[例2] (2021·济南一中月考)解关于x的不等式：x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)＜0(a∈R)．
[解] 关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)＜0，
即(x－2a)(x－a－1)＜0，对应方程两根为2a，a＋1，以下分类讨论：
①当2a＝a＋1，即a＝1时，原不等式即为(x－2)2＜0，解集为 ；
②当2a＞a＋1，即a＞1时，原不等式解集为{x|a＋1＜x＜2a}；
③当2a＜a＋1，即a＜1时，原不等式解集为{x|2a＜x＜a＋1}．
综上所述，当a＝1时，原不等式解集为 ；
当a＞1时，原不等式解集为{x|a＋1＜x＜2a}；
当a＜1时，原不等式解集为{x|2a＜x＜a＋1}．
含参数的一元二次不等式的解法
[跟踪训练]
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a＜1)．
解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.
③若0＜a＜1，原不等式化为(x－1)＜0.解得1＜x＜.
综上可知，当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当0三个“二次”之间的关系
[例3] 已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2) 解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
[解] (1)由题意知不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
且a＜0，由根与系数的关系，得解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤
第一步：审结论——明确解题方向：如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值；
第二步：审条件——挖掘题目信息：利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c；
第三步：建联系——找解题突破口：由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集．
[跟踪训练]
关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|1＜x＜3}
C．{x|x＜1或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞3}
解析：选D 因为不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，所以a＞0，＝1，所以(ax＋b)(x－3)＞0等价于a(x＋1)(x－3)＞0，其解集应为{x|x＞3或x＜－1}，故选D.
1．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是( )
A．x2＋x＜－1 B．x2＋＋1＜0
C．x2＋＋1＜0 D．x2＋1＜0
解析：选AD 由于x2＋＋1＜0，x2＋＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，只有x2＋x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式，故选A、D.
2．使式子有意义的实数x的取值范围是( )
A．{x|x＞0或x＜－1} B．{x|x≥0或x≤－1}
C．{x|－1＜x＜0} D．{x|－1≤x≤0}
解析：选C 分析知应使－x2－x＞0，即x2＋x＜0，
所以－1＜x＜0.
3．不等式(x－1)2＜x＋5的解集为( )
A．{x|1＜x＜4} B．{x|－1＜x＜4}
C．{x|－4＜x＜1} D．{x|－1＜x＜3}
解析：选B 原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)(x－4)＜0，故其解集为{x|－1＜x＜4}．故选B.
4．已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
解：因为x2＋px＋q＜0的解集为，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
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