一元二次函数、方程和不等式
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式x2≥2x的解集是( )
A．{x|x≥2} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|x≤0或x≥2}
解析：选D 由x2≥2x得x(x－2)≥0，解得x≤0或x≥2，故选D.
2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A
B D．A>B
解析：选B ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋b2≥0，∴A≥B.
3．不等式组的解集为( )
A．{x|－1C．{x|0解析：选C 由得所以04．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是( )
A．{x|x<5a或x>－a} B．{x|x>5a或x<－a}
C．{x|－a解析：选A 方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}，故选A.
5．已知a，b，c∈R，则下列说法中错误的是( )
A．a>b ac2≥bc2 B.>，c<0 aC．a3>b3，ab>0 < D．a2>b2，ab>0 <
解析：选D 对于A，c2≥0，则由a>b可得ac2≥bc2，故A中说法正确；
对于B，由>，得－＝>0，当c<0时，有a－b<0，则a对于C，∵a3>b3，ab>0，∴a3>b3两边同乘，得到>，∴<，故C中说法正确；
对于D，∵a2>b2，ab>0，∴a2>b2两边同乘，
得到>，不一定有<，故D中说法错误．故选D.
6．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－2或m≥2 B．－2≤m≤2
C．m<－2或m>2 D．－2解析：选B 因为不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.
7．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为( )
A．300吨 B．400吨
C．500吨 D．600吨
解析：选B 由题意，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数关系为y＝x2－300x＋80 000，所以平均处理成本为s＝＝＝＋－300，其中300≤x≤600，又＋－300≥2－300＝400－300＝100，当且仅当＝时等号成立，所以x＝400时，平均处理成本最低．故选B.
8．设正数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是( )
A．0 B．1
C. D．3
解析：选B 由题意得＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时，等号成立，此时z＝2y2.故＋－＝－＋＝－＋1≤1，当且仅当y＝1时，等号成立，故所求的最大值为1.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
解析：选BCD 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝2×＝－1<0，－＝2＋＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；因为＝－1，所以a＋c＝0，又b>0，所以a＋b＋c>0，故D正确．故选B、C、D.
10．下列结论中正确的有( )
A．若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2
B．若a，b，m为正实数，aC．若>，则a>b
D．当x>0时，x＋的最小值为2
解析：选ACD 对于A，∵a，b为正实数，a≠b，∴a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0，∴a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；
对于B，若a，b，m为正实数，a0，则>，故B错误；
对于C，若>，则a>b，故C正确；
对于D，当x>0时，x＋的最小值为2，当且仅当x＝时取等号，故D正确．故选A、C、D.
11．下列各式中，最大值是的是( )
A．y＝x2＋ B．y＝x(0≤x≤1)
C．y＝ D．y＝x＋(x>－2)
解析：选BC A中，y＝x2＋≥2＝，因此式子无最大值；
B中，y2＝x2(1－x2)≤＝，y≥0，
∴0≤y≤，
当且仅当x＝时y取到最大值；
C中，当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y＝≤＝，当且仅当x＝±1时y取到最大值；
D中，y＝x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2(x>－2)(当且仅当x＝0时取等号)，无最大值，故选B、C.
12．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入，则这批台灯的售价x(元)的取值可以是( )
A．10 B．15
C．16 D．20
解析：选BC 设这批台灯的售价定为x元，x≥15，则[30－(x－15)×2]·x>400，即x2－30x＋200<0，因为方程 x2－30x＋200＝0的两根分别为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200<0的解集为{x|10三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知a>b，a－>b－同时成立，则ab应满足的条件是________．
解析：因为a－>b－，所以－＝>0.
又a>b，即a－b>0，所以>0，从而ab(ab＋1)>0，所以ab<－1或ab>0.
答案：ab<－1或ab>0
14．一个大于50小于60的两位数，其个位数字b比十位数字a大2.则这个两位数为________．
解析：由题意知
解得4又a∈N*，∴a＝5.
∴b＝7，∴所求的两位数为57.
答案：57
15．一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为{x|x<－3或x>1}，则a＋b＝________，一元一次不等式ax＋b<0的解集为________．
解析：由题意知，－3和1是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
所以解得
故a＋b＝－1.
不等式ax＋b<0即为2x－3<0，
所以x<.
答案：－1
16．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．
解析：因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以＋y＝1，所以＝·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9.
答案：9
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，所以(2x＋1)(x－2)<0，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0.
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
18．(本小题满分12分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．
解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.
因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p，
所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.
因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0，
因此(px＋qy)2≤px2＋qy2，当且仅当x＝y时等号成立．
19．(本小题满分12分)已知关于x的方程x2－2x＋a＝0.当a为何值时，
(1)方程的一个根大于1，另一个根小于1
(2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3
解：(1)已知方程的一个根大于1，另一个根小于1，结合二次函数y＝x2－2x＋a的图象(如图所示)知，当x＝1时，函数值小于0，即12－2＋a<0，所以a<1.
因此a的取值范围是{a|a<1}．
(2)由方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3，结合二次函数y＝x2－2x＋a的图象(如图所示)知，x取－1，3时函数值为正，x取1，2时函数值为负，
即解得－320．(本小题满分12分)已知a>0，b>0且＋＝1.
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值．
解：(1)因为a>0，b>0且＋＝1，
所以＋≥2 ＝2，则2≤1，
即ab≥8，当且仅当
即时取等号，所以ab的最小值是8.
(2)因为a>0，b>0且＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)
＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当即时取等号，
所以a＋b的最小值是3＋2.
21．(本小题满分12分)设y＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1)若不等式y≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式ax2＋(1－a)x＋a－2解：(1)ax2＋(1－a)x＋a－2≥－2对于一切实数x恒成立等价于ax2＋(1－a)x＋a≥0对于一切实数x恒成立．
当a＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；
当a≠0时，由题意得
解得a≥.
所以实数a的取值范围是.
(2)不等式ax2＋(1－a)x＋a－2当a＝0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{x|x<1}；
当a>0时，不等式可化为(ax＋1)(x－1)<0，此时－<1，
所以不等式的解集为；
当a<0时，不等式可化为(ax＋1)(x－1)<0，
①当a＝－1时，－＝1，不等式的解集为{x|x≠1}；
②当－11，不等式的解集为；
③当a<－1时，－<1，不等式的解集为.
综上所述，当a<－1时，不等式的解集为；当a＝－1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当－10时，不等式的解集为.
22．(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？
解：(1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为万元，
∴年销售收入为·Q＝(32Q＋3)＋x，
∴W＝(32Q＋3)＋x－(32Q＋3)－x
＝(32Q＋3)－x＝(32Q＋3－x)
＝(x≥0)．
(2)由(1)得，W＝＝
＝－－＋50.
∵x＋1≥1，∴＋≥2＝8，
∴W≤42，当且仅当＝，即x＝7时，W有最大值42，即当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元．
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8一元二次函数、方程和不等式
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式x2≥2x的解集是( )
A．{x|x≥2} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|x≤0或x≥2}
2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
3．不等式组的解集为( )
A．{x|－1C．{x|04．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是( )
A．{x|x<5a或x>－a} B．{x|x>5a或x<－a}
C．{x|－a5．已知a，b，c∈R，则下列说法中错误的是( )
A．a>b ac2≥bc2 B.>，c<0 aC．a3>b3，ab>0 < D．a2>b2，ab>0 <
6．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－2或m≥2 B．－2≤m≤2
C．m<－2或m>2 D．－27．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为( )
A．300吨 B．400吨
C．500吨 D．600吨
8．设正数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是( )
A．0 B．1
C. D．3
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
10．下列结论中正确的有( )
A．若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2
B．若a，b，m为正实数，aC．若>，则a>b
D．当x>0时，x＋的最小值为2
11．下列各式中，最大值是的是( )
A．y＝x2＋ B．y＝x(0≤x≤1)
C．y＝ D．y＝x＋(x>－2)
12．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入，则这批台灯的售价x(元)的取值可以是( )
A．10 B．15
C．16 D．20
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知a>b，a－>b－同时成立，则ab应满足的条件是________．
14．一个大于50小于60的两位数，其个位数字b比十位数字a大2.则这个两位数为________．
15．一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为{x|x<－3或x>1}，则a＋b＝________，一元一次不等式ax＋b<0的解集为________．
16．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
18．(本小题满分12分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．
19．(本小题满分12分)已知关于x的方程x2－2x＋a＝0.当a为何值时，
(1)方程的一个根大于1，另一个根小于1
(2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3
20．(本小题满分12分)已知a>0，b>0且＋＝1.
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值．
21．(本小题满分12分)设y＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1)若不等式y≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式ax2＋(1－a)x＋a－2解：(1)ax2＋(1－a)x＋a－2≥－2对于一切实数x恒成立等价于ax2＋(1－a)x＋a≥0对于一切实数x恒成立．
当a＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；
当a≠0时，由题意得
22．(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？
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