华东师大版数学八年级上册 13.5.3角平分线课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
角平分线
请你帮帮它
如图，两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，小猪看中了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？
房子该建在哪儿呢？
情境导航
学习目标：
1.经历角平分线的性质的证明过程，掌握角平分线的性质定理及其逆定理.
2.能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关问题.
3.通过观察、类比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，提高解决问题的能力。
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
情境问题
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
∴ ∠PDO= ∠PEO=900
在△PDO和△PEO中,
∵∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
P
A
O
B
C
E
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
(3)验证猜想
几何语言表示为:
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知）∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
P
A
O
B
C
E
D
1
2
(4)得到角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
1、请你写出角平分线性质定理的逆命题：
2、这个命题是否正确？你能用逻辑推理的方法加以验证吗？试一试。
交流总结
角的内部 到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
证明: 过点O、Q作射线OQ.
∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
　 ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90° (垂直的定义)
在Rt△QDO和Rt△QEO中
　 ∵ QO＝QO（公共边）
QD=QE
∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
　 ∴ ∠ QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用几何语言表示为：
总结归纳：
角平分线性质定理的逆定理
角平分线的判定定理
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P也在∠BAC的平分线上.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, PD⊥AB， PE⊥BC
A
B
C
P
M
N
D
E
F
∴PD=PE
(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD=PF.
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∴点P在∠BAC的平分线上.
试一试
通过本题的证明，你能得到一个关于三角形角平分线的什么结论？
三角形的三条角平分线交于一点，并且交点到三角形三边的距离相等。
想一想
判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴BD = DC
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等。)
×
1、如图，点P是菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F,已知PF=5，则PE=
2、如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=
学以致用
O
P
A
B
5
60°
B
D
A
C
F
E
P
通过本节课的学习，你有哪些收获？
与你的同伴交流一下。
课堂小结
布置作业：
1、必做题：课本P98练习1、2；
2、选做题：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且BC=8 cm，求△DEC的周长。
B
A
D
E
C
谢 谢