2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似期末综合复习训练（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似期末综合复习训练（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 441.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-26 15:18:05 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》期末综合复习训练1（附答案）
1．下列各组图形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD
4．如图，在平面直角坐标系中，有点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
5．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．下列说法：
①有一个角等于30°的两个等腰三角形相似；
②有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；
③相似三角形一定不是全等三角形；
④相似三角形对应角平分线的长度比等于面积比．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是线段AB上一点．过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC：S△CDA＝4：1，若双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED BC＝BO BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ）
A．24m B．25m C．28m D．30m
11．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
12．如图，点A是△ABC的边BC上一点，∠B＝∠ACD，如果AC＝6，AD＝4，则AB的长为 ．
13．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是 米．
14．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠CAO＝∠ABO，则点C的坐标是 ．
15．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC＝2：3，AC与DE相交于点F，若S△AFD＝9，则S△EFC＝ ．
17．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为 ．
18．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：
①△ABE∽△ECG；
②AE＝EF；
③∠DAF＝∠CFE；
④△CEF的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）
19．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC＝5cm，DF＝4cm，求EF和AC的长．
20．如图，小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的周长比与面积比．
21．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
22．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）＝．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
24．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
25．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
参考答案
1．解：A、形状不同，大小不同，不符合相似定义，故错误；
B、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；
C、形状不同，不符合相似定义，故错误；
D、形状不同，不符合相似定义，故错误．
故选：B．
2．解：（A）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A错误；
（B）∵DE∥BC，
∴，故B错误；
（C）∵DE∥BC，
，故C正确；
（D）∵DE∥BC，
∴△AGE∽△AFC，
∴＝，故D错误；
故选：C．
3．解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：C．
4．解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴＝，
又∵OB＝6，AB＝3，
∴OD＝2，CD＝1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
5．解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
6．解：顶角为30°的等腰三角形与底角为30°的等腰三角形不相似，故①错误；
有一个角等于120°的两个等腰三角形相似，故②正确；
当相似比为1时，相似三角形是全等三角形，故③错误；
相似三角形的面积比等于对应角平分线的长度比的平方，故④错误；
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DFE：S△BFA＝9：16．
故选：B．
8．解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（2，0），B（0，3），即：OA＝2，OB＝3；
∵S△BEC：S△CDA＝4：1，又△BEC∽△CDA，
∴＝＝，
设EC＝a＝OD，CD＝b＝OE，则AD＝a，BE＝2b，
有，OA＝2＝a+a，解得，a＝，
OB＝3＝3b，解得，b＝1，
∴k＝ab＝，
故选：A．
9．解：连接DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，
∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，
∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED BC＝BO BE，故④正确；
故选：A．
10．解：由题意得出：EP∥BD，
∴△AEP∽△ADB，
∴＝，
∵EP＝1.5，BD＝9，
∴＝
解得：AP＝5（m）
∵AP＝BQ，PQ＝20m．
∴AB＝AP+BQ+PQ＝5+5+20＝30（m）．
故选：D．
11．解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）．
12．解：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
又∵AC＝6，AD＝4，
∴，
∴AB＝9，
故答案为：9．
13．解：由题意可得：∠APE＝∠CPE，
∴∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，
∴＝，
CD＝8米，
故答案为：8．
14．解：∵∠CAO＝∠ABO，∠AOC＝∠BOA，
∴△AOB∽△COA，
∴，
∵A（2，0），B（0，4），
即OA＝2，OB＝4，
∴，
解得：OC＝1，
∴点C的坐标为：（0，1）．
故答案为：（0，1）．
15．解：在△ABC和△AED中，
∵∠ABC＝∠AED，∠BAC＝∠EAD，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
又∵DE＝4，AE＝5，BC＝8，
∴AB＝10．
故答案为：10．
16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD、BC＝AD，
而CE：BC＝2：3，
∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为3：2，
∴S△AFD：S△EFC＝（）2，
而S△AFD＝9，
∴S△EFC＝4．
故答案为：4．
17．解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．
故答案为（﹣5，﹣1）．
18．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ECG＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠CEG，
∴△ABE∽△ECG，
故①正确；
②在BA上截取BM＝BE，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，BA＝BC，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵BA﹣BM＝BC﹣BE，
∴AM＝CE，
∵CF为正方形外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AME和△ECF中
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
故②正确；
③∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∵∠BAE+∠CFE＝∠CEF+∠CFE＝45°，
∴∠DAF＝∠CFE，
故③正确；
④设BE＝x，则BM＝x，AM＝AB﹣BM＝2﹣x，
S△ECF＝S△AME＝ x （2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，
当x＝1时，S△ECF有最大值，
故④错误．
故答案为：①②③．
19．解：∵△ABC∽△DEF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AC＝cm，EF＝cm．
20．解：（1）连接B′B，A'A并延长相交于一点，此点即为位似中心点O，
（2）由图形得AB＝＝，A′B′＝＝2，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：2，面积比为1：4．
21．解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即＝＝，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴＝，解得：y＝3，经检验y＝3是原方程的根．
∵＝，即＝，
解得x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
22．证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠AEC，
在△GCD和△FCE中，
，
∴△GCD≌△FCE（ASA），
∴CG＝CF，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CGF＝∠ACB＝60°，
∴GF∥CE，
∴＝．
23．解：（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；
（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，
∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴．
故圆的半径为．
24．解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，
当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB＝BQ：BC，
即（10﹣2t）：10＝4t：20，
解得t＝2.5（s）（6分）
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB＝BP：BC，即4t：10＝（10﹣2t）：20，
解得t＝1．
所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t
分两种情况：
（1）当BP与AB对应时，有＝，即＝，解得t＝2.5s
（2）当BP与BC对应时，有＝，即＝，解得t＝1s
所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．
25．（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC2＝PB PA，即＝，
∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图2所示：
∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB PA，
∴PA＝＝＝40，
∴AB＝PA﹣PB＝30，
∵△PBC∽△PCA，
∴＝＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，
解得：x＝6，即BC＝6，
∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴＝＝，
∴OF＝OD＝，即AF＝，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∴EF＝BC＝．
1．下列各组图形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD
4．如图，在平面直角坐标系中，有点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
5．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．下列说法：
①有一个角等于30°的两个等腰三角形相似；
②有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；
③相似三角形一定不是全等三角形；
④相似三角形对应角平分线的长度比等于面积比．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是线段AB上一点．过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC：S△CDA＝4：1，若双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED BC＝BO BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ）
A．24m B．25m C．28m D．30m
11．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
12．如图，点A是△ABC的边BC上一点，∠B＝∠ACD，如果AC＝6，AD＝4，则AB的长为 ．
13．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是 米．
14．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠CAO＝∠ABO，则点C的坐标是 ．
15．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC＝2：3，AC与DE相交于点F，若S△AFD＝9，则S△EFC＝ ．
17．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为 ．
18．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：
①△ABE∽△ECG；
②AE＝EF；
③∠DAF＝∠CFE；
④△CEF的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）
19．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC＝5cm，DF＝4cm，求EF和AC的长．
20．如图，小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的周长比与面积比．
21．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
22．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）＝．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
24．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
25．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
参考答案
1．解：A、形状不同，大小不同，不符合相似定义，故错误；
B、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；
C、形状不同，不符合相似定义，故错误；
D、形状不同，不符合相似定义，故错误．
故选：B．
2．解：（A）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A错误；
（B）∵DE∥BC，
∴，故B错误；
（C）∵DE∥BC，
，故C正确；
（D）∵DE∥BC，
∴△AGE∽△AFC，
∴＝，故D错误；
故选：C．
3．解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：C．
4．解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴＝，
又∵OB＝6，AB＝3，
∴OD＝2，CD＝1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
5．解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
6．解：顶角为30°的等腰三角形与底角为30°的等腰三角形不相似，故①错误；
有一个角等于120°的两个等腰三角形相似，故②正确；
当相似比为1时，相似三角形是全等三角形，故③错误；
相似三角形的面积比等于对应角平分线的长度比的平方，故④错误；
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DFE：S△BFA＝9：16．
故选：B．
8．解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（2，0），B（0，3），即：OA＝2，OB＝3；
∵S△BEC：S△CDA＝4：1，又△BEC∽△CDA，
∴＝＝，
设EC＝a＝OD，CD＝b＝OE，则AD＝a，BE＝2b，
有，OA＝2＝a+a，解得，a＝，
OB＝3＝3b，解得，b＝1，
∴k＝ab＝，
故选：A．
9．解：连接DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，
∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，
∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED BC＝BO BE，故④正确；
故选：A．
10．解：由题意得出：EP∥BD，
∴△AEP∽△ADB，
∴＝，
∵EP＝1.5，BD＝9，
∴＝
解得：AP＝5（m）
∵AP＝BQ，PQ＝20m．
∴AB＝AP+BQ+PQ＝5+5+20＝30（m）．
故选：D．
11．解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）．
12．解：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
又∵AC＝6，AD＝4，
∴，
∴AB＝9，
故答案为：9．
13．解：由题意可得：∠APE＝∠CPE，
∴∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，
∴＝，
CD＝8米，
故答案为：8．
14．解：∵∠CAO＝∠ABO，∠AOC＝∠BOA，
∴△AOB∽△COA，
∴，
∵A（2，0），B（0，4），
即OA＝2，OB＝4，
∴，
解得：OC＝1，
∴点C的坐标为：（0，1）．
故答案为：（0，1）．
15．解：在△ABC和△AED中，
∵∠ABC＝∠AED，∠BAC＝∠EAD，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
又∵DE＝4，AE＝5，BC＝8，
∴AB＝10．
故答案为：10．
16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD、BC＝AD，
而CE：BC＝2：3，
∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为3：2，
∴S△AFD：S△EFC＝（）2，
而S△AFD＝9，
∴S△EFC＝4．
故答案为：4．
17．解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．
故答案为（﹣5，﹣1）．
18．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ECG＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠CEG，
∴△ABE∽△ECG，
故①正确；
②在BA上截取BM＝BE，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，BA＝BC，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵BA﹣BM＝BC﹣BE，
∴AM＝CE，
∵CF为正方形外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AME和△ECF中
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
故②正确；
③∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∵∠BAE+∠CFE＝∠CEF+∠CFE＝45°，
∴∠DAF＝∠CFE，
故③正确；
④设BE＝x，则BM＝x，AM＝AB﹣BM＝2﹣x，
S△ECF＝S△AME＝ x （2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，
当x＝1时，S△ECF有最大值，
故④错误．
故答案为：①②③．
19．解：∵△ABC∽△DEF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AC＝cm，EF＝cm．
20．解：（1）连接B′B，A'A并延长相交于一点，此点即为位似中心点O，
（2）由图形得AB＝＝，A′B′＝＝2，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：2，面积比为1：4．
21．解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即＝＝，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴＝，解得：y＝3，经检验y＝3是原方程的根．
∵＝，即＝，
解得x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
22．证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠AEC，
在△GCD和△FCE中，
，
∴△GCD≌△FCE（ASA），
∴CG＝CF，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CGF＝∠ACB＝60°，
∴GF∥CE，
∴＝．
23．解：（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；
（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，
∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴．
故圆的半径为．
24．解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，
当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB＝BQ：BC，
即（10﹣2t）：10＝4t：20，
解得t＝2.5（s）（6分）
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB＝BP：BC，即4t：10＝（10﹣2t）：20，
解得t＝1．
所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t
分两种情况：
（1）当BP与AB对应时，有＝，即＝，解得t＝2.5s
（2）当BP与BC对应时，有＝，即＝，解得t＝1s
所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．
25．（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC2＝PB PA，即＝，
∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图2所示：
∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB PA，
∴PA＝＝＝40，
∴AB＝PA﹣PB＝30，
∵△PBC∽△PCA，
∴＝＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，
解得：x＝6，即BC＝6，
∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴＝＝，
∴OF＝OD＝，即AF＝，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∴EF＝BC＝．