面面垂直的判定与性质
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课件50张PPT。平面与平面垂直的判定定理和性质定理?二 面 角1问 题1、在平面几何中“角”是怎样定义的？答：从平面内一点出发的两条射
线所组成的图形叫做角。2、等角定理？o答：如果一个角的两边和另一个
角的两边分别平行，并且方向相
同，那么这两个角相等。AB 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。2??AB 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。3二面角: 从一条直线出发的两个半平面
所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做
二面角的棱。二面角?－AB－ ?二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D5二面角的记法:如何度量二面角的大小？能否转化为平面角来处理？你能在教室内找到二面角的例子吗？缓慢打开教室的门，门打开的角度可以用哪个角来表示？二面角的平面角 过二面角棱上任一点在两个
半平面内分别作垂直于棱的射线，
则这两条射线所成的角叫做二面角
的平面角。AB二面角的平面角二面角的平面角应注意什么？ 注意：二面角的平面角必须满足：
（1）、角的顶点在棱上。
（2）、角的两边分别在两个面内。
（3）、角的两边都要垂直于二面角的棱。 AB答：二面角的平面角与其顶点的位置无任何关系,只与二面角的张角大小有关。问:二面角平面角的大小与平面角的顶点的位置是否有关系？平面角是直角的二面角叫做直二面角平面角的范围是[0 °, 180 °] 当两个半平面重合时,平面角为0 °,
当两个半平面合成一个平面时,平面角为180 °二面角的平面角的作法：1、定义法：
根据定义作出来。2、作垂面：
作与棱垂直的平面与两半平面
的交线得到。3、应用三垂线：
应用三垂线定理或其逆定理作
出来。o创新37页
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.面面垂直的定义：除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢?αβaAb图形表示记作α⊥β 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？ 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
一个平面过另一个平面的垂线，
则这两个平面垂直。面面垂直的判定定理符号表示：??AB线面垂直面面垂直线线垂直简记：线面垂直，则面面垂直判断是非3.若平面 内有一条直线垂直于平面 内的两条
相交直线，则一定有 . ( ) 2.若平面 内有一条直线垂直于平面 内无数条直线，则一定有 . ( ) 4.若平面 与 不垂直,则平面 内所有直线与 都
不垂直. ( )1.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( )√√√探究一：如图，一本书垂直放在桌面上，书的页面所在平面 与桌面垂直吗？试说明理由.例3、如图，AB是 ⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是 圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. 证明:设已知⊙O平面为α例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC1.你还能发现哪些面互相垂直？2.三棱锥P-ABC的四个面的形状是怎样的？3.你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗？探究二：面PAC ⊥面ABC; 面PAB ⊥面ABC都是直角三角形∠PCA如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体S—EFG中必有( )
SG⊥△EFG所在平面 (B) SD⊥△EFG所在平面
(C) GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面SG1G2G3EFDA课本P69 创新36页活页规范训练5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为________．
解析 ∵AB⊥BC，AB⊥BC1，
∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，
大小为45°.
答案 45°7．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )．
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．关系无法确定解析 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定．
答案 D
8．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )．
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直A求证：平面COD⊥平面AOB.
证明 由题意：CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB，
∵CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB.11．如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO＝ ，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，D是AB的中点．
二、探索研究Ⅰ. 观察实验观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?Ⅱ.概括结论平面与平面垂直的性质定理b两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简述为：面面垂直线面垂直该命题正确吗？符号表示：例4解：设bαβal练习：课本73页1,2练习：课本73页A 1,2创新39页活页规范训练1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )．
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
答案 D2．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是( )．
A．n∥α B．n∥α或n?α
C．n?α或n与α不平行 D．n?α
答案 A3．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则( )．
A．ME⊥平面AC B．ME ?平面AC
C．ME∥平面AC D．以上都有可能
答案 A4．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．
①a⊥α，b∥α?a⊥b;
②a⊥α，a⊥b?b∥α；
③a∥α，a⊥b?b⊥α；
④a⊥α，b⊥α?a∥b.
答案 26．如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB，AG⊥SD.证明 因为SA⊥平面ABCD，
所以SA⊥BC.
又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，
又AE?平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.
又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC，
所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.8．(2012·镇海高一检测)如图，在正方形SG1G2G3中 ，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.
给出下列关系：
①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )．
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
答案 B9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.
其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．
答案 ①②④
解析 取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB ∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC.
可知DE⊥CE.
由已知可得DE＝ ，EC＝1，
在Rt△DEC中，CD＝ ＝2.
答案 210．如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ ，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD＝________.
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
证明 ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
又∵ ＝ ＝λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.
又EF?平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.12．(创新拓展)在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且 ＝ ＝λ(0＜λ＜1)．
线所组成的图形叫做角。2、等角定理？o答：如果一个角的两边和另一个
角的两边分别平行，并且方向相
同，那么这两个角相等。AB 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。2??AB 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。3二面角: 从一条直线出发的两个半平面
所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做
二面角的棱。二面角?－AB－ ?二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D5二面角的记法:如何度量二面角的大小？能否转化为平面角来处理？你能在教室内找到二面角的例子吗？缓慢打开教室的门，门打开的角度可以用哪个角来表示？二面角的平面角 过二面角棱上任一点在两个
半平面内分别作垂直于棱的射线，
则这两条射线所成的角叫做二面角
的平面角。AB二面角的平面角二面角的平面角应注意什么？ 注意：二面角的平面角必须满足：
（1）、角的顶点在棱上。
（2）、角的两边分别在两个面内。
（3）、角的两边都要垂直于二面角的棱。 AB答：二面角的平面角与其顶点的位置无任何关系,只与二面角的张角大小有关。问:二面角平面角的大小与平面角的顶点的位置是否有关系？平面角是直角的二面角叫做直二面角平面角的范围是[0 °, 180 °] 当两个半平面重合时,平面角为0 °,
当两个半平面合成一个平面时,平面角为180 °二面角的平面角的作法：1、定义法：
根据定义作出来。2、作垂面：
作与棱垂直的平面与两半平面
的交线得到。3、应用三垂线：
应用三垂线定理或其逆定理作
出来。o创新37页
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.面面垂直的定义：除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢?αβaAb图形表示记作α⊥β 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？ 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
一个平面过另一个平面的垂线，
则这两个平面垂直。面面垂直的判定定理符号表示：??AB线面垂直面面垂直线线垂直简记：线面垂直，则面面垂直判断是非3.若平面 内有一条直线垂直于平面 内的两条
相交直线，则一定有 . ( ) 2.若平面 内有一条直线垂直于平面 内无数条直线，则一定有 . ( ) 4.若平面 与 不垂直,则平面 内所有直线与 都
不垂直. ( )1.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( )√√√探究一：如图，一本书垂直放在桌面上，书的页面所在平面 与桌面垂直吗？试说明理由.例3、如图，AB是 ⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是 圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. 证明:设已知⊙O平面为α例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC1.你还能发现哪些面互相垂直？2.三棱锥P-ABC的四个面的形状是怎样的？3.你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗？探究二：面PAC ⊥面ABC; 面PAB ⊥面ABC都是直角三角形∠PCA如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体S—EFG中必有( )
SG⊥△EFG所在平面 (B) SD⊥△EFG所在平面
(C) GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面SG1G2G3EFDA课本P69 创新36页活页规范训练5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为________．
解析 ∵AB⊥BC，AB⊥BC1，
∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，
大小为45°.
答案 45°7．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )．
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．关系无法确定解析 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定．
答案 D
8．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )．
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直A求证：平面COD⊥平面AOB.
证明 由题意：CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB，
∵CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB.11．如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO＝ ，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，D是AB的中点．
二、探索研究Ⅰ. 观察实验观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?Ⅱ.概括结论平面与平面垂直的性质定理b两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简述为：面面垂直线面垂直该命题正确吗？符号表示：例4解：设bαβal练习：课本73页1,2练习：课本73页A 1,2创新39页活页规范训练1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )．
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
答案 D2．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是( )．
A．n∥α B．n∥α或n?α
C．n?α或n与α不平行 D．n?α
答案 A3．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则( )．
A．ME⊥平面AC B．ME ?平面AC
C．ME∥平面AC D．以上都有可能
答案 A4．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．
①a⊥α，b∥α?a⊥b;
②a⊥α，a⊥b?b∥α；
③a∥α，a⊥b?b⊥α；
④a⊥α，b⊥α?a∥b.
答案 26．如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB，AG⊥SD.证明 因为SA⊥平面ABCD，
所以SA⊥BC.
又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，
又AE?平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.
又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC，
所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.8．(2012·镇海高一检测)如图，在正方形SG1G2G3中 ，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.
给出下列关系：
①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )．
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
答案 B9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.
其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．
答案 ①②④
解析 取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB ∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC.
可知DE⊥CE.
由已知可得DE＝ ，EC＝1，
在Rt△DEC中，CD＝ ＝2.
答案 210．如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ ，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD＝________.
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
证明 ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
又∵ ＝ ＝λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.
又EF?平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.12．(创新拓展)在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且 ＝ ＝λ(0＜λ＜1)．