参考答案
1．D
【来源】浙江省台州市十校联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题
【分析】
由空间坐标系中点对称，结合中点坐标公式求对称的点的坐标即可.
【详解】
若关于原点对称的点的坐标为，
∴的中点为，由中点坐标公式可得：，
∴.
故选：D
2．D
【来源】吉林省白山市抚松县第一中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题
【分析】
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出异面直线与所成角的大小．
【详解】
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系；
设棱长为2，
则，0，，，2，，，1，，，0，，
，2，，，1，；
∴，
∴，
即，异面直线与所成的角的大小是．
故选：D．
3．A
【来源】人教B版（2019） 选修第一册 过关检测 第一章 综合把关练
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；
【详解】
解：以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x轴,y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，
平面ABCD的一个法向量为，
所以．
又因为，所以，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在的直线所成的角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°．
故选：A
4．C
【来源】浙江省台州市十校联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题
【分析】
由已知，通过的倾斜角确定直线l的倾斜角，并确定直线l的方程
【详解】
由已知直线的倾斜角，则直线的倾斜角为，且直线经过点，故直线方程为.
故选：C
5．B
【来源】浙江省台州市十校联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题
【分析】
利用圆心到直线的距离小于半径即可求解.
【详解】
解：因为直线与圆有两个不同的交点
所以圆心到直线的距离小于圆的半径
圆心为，半径
所以，整理得：
解得：
故选：B.
6．B
【来源】重庆市第十一中学校2021-2022学年高二上学期10月质量抽测数学试题
【分析】
根据题意，结合倾斜角与斜率的关系，即可求解.
【详解】
根据题意，易知直线的斜率，由，得.
故选：B.
7．D
【来源】重庆市第十一中学校2021-2022学年高二上学期10月质量抽测数学试题
【分析】
由直线垂直得间的关系，然后凑配出积的定值，求得最小值．
【详解】
因为，所以，即，
又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故选：D．
8．C
【来源】浙江省台州市十校联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题
【分析】
利用直线与直线平行时，斜率相等且截距不相等的性质分别讨论充分性和必要性即可.
【详解】
解：①充分性：当时，，，所以与斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；
②必要性：，，当时，
则，解得：或，
当时，两直线重合，所以舍去，
当时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要.
所以“”是“”的充要条件
故选：C.
9．D
【来源】黑龙江省大庆市大庆实验中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
【分析】
将原方程化为抛物线的标准方程，即可求解．
【详解】
抛物线的标准方程为，
，，
抛物线的焦点坐标为．
故选：D．
10．C
【来源】第三章 圆锥曲线与方程B卷（综合培优）-【双基双测】2021-2022学年高二数学同步单元AB卷（苏教版2019选择性必修第一册）
【分析】
双曲线离线，焦点在y轴上时，双曲线渐近线方程为．
【详解】
由题意，双曲线的离心率为，则，即，
∴双曲线的渐近线方程为，即．
故选：C．
11．B
【来源】宁夏六盘山高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学（文）试题
【分析】
根据数列递推关系式求解数列的周期，再利用数列的周期性求解数列的项.
【详解】
由已知得：，可求，
∴数列的周期为3，
，选项B正确.
故选：B．
12．D
【来源】江西南昌青山湖区南昌三中雷式学校2020-2021学年高一下学期期中数学试题
【分析】
由题设条件和等比数列的通项公式，可得出，，，结合等比数列的性质就有，，进而逐一判断每个选项即可.
【详解】
解：根据条件可得，
则，，
又因为，
则A选项：，所以，
若，则，，
所以与条件矛盾，
所以，故A错误；
B选项：由，，
可得等比数列单调递减，
又，
可得，，所以是的最大值，故B错误；
C选项：由，，可得等比数列单调递减，
可得，，
，，故C错误；
D选项：，
，
由上可知，
可得，
由此类推可得当时，，
，
由，
可得，
由此类推可得可得当时，，
所以使的的最大值是，故D正确．
故选：D．
13．
【来源】重庆市第十一中学校2021-2022学年高二上学期10月质量抽测数学试题
【分析】
参数前面的系数为零，即，进而得出值，即可得到答案.
【详解】
直线方程为，直线必经过定点只需保证前面的系数为零，即，进而得出，即点的坐标为.
故答案为：.
14．10
【来源】河北省保定市部分学校2022届高三上学期12月联考数学试题
【分析】
利用抛物线的定义即可求解.
【详解】
由题意可知，所以.
故答案为：10
15．
【来源】吉林省白山市抚松县第一中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题
【分析】
连结，由双曲线定义知，在中，，转化为方程，即可求解.
【详解】
连结，因为等腰三角形的底边的长等于的半焦距，为的中点．
所以，且.
由双曲线定义知，
在中，，即，
即，因为，解得，
即双曲线的离心率为.
故答案为：.
16．##
【来源】北京市北京大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
【分析】
根据即可求解.
【详解】
解：因为数列前n项和为，
所以，
又当时，也满足上式，
所以，
故答案为：.
17．(10分)
（1）证明见解析
（2）
【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题
【分析】
（1）先证明，，从而证明平面，进而，
（2）建立坐标系，由向量法求解即可
（1）
∵四边形是直角梯形，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，即，
∵平面，平面，
∴，
又，
∴平面，
又面，
∴.
（2）
过点作于E，以点为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立平面直角坐标系，
取平面DAC的法向量.
设，，，
设平面的法向量为，
由，，得，可取，
所以，得.
故.
18．（12分）
（1）
（2）5，或
【来源】黑龙江省大庆市大庆实验中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
【分析】
（1）根据题意，过点的直径所在直线方程为，进而与直线联立方程即可得圆心，进而求解方程；
（2）要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，再根据三角形面积公式计算，且所在直线方程为，再与圆的方程联立即可求得的坐标为或，再分别讨论求解方程即可.
（1）
解：由题意，过点的直径所在直线方程为，即．
联立，解得，
∴圆心坐标为，半径，
∴圆的方程为；
（2）
解：，要使最大，
则点满足所在直线与所在直线垂直，
此时的最大值为；
∵，
∴所在直线方程为，即，
联立，得或，
即的坐标为或，
当时，的方程为，即；
当时，的方程为，即．
综上所述，所在直线方程为或．
19．（12分）
（1）.
（2）.
【来源】广东省华南师大附中2021-2022学年高二上学期期中数学试题
【分析】
（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.
（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．
（1）
由题设，抛物线准线方程为，
∴抛物线定义知：，可得，
∴.
（2）
由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程，
有，整理得，则，又P是线段的中点，
∴，即，故.
20．（12分）
（1）；
（2）证明见解析，定点.
【来源】广东省广附六校2021-2022学年高二上学期11月月考数学试题
【分析】
(1)根据给定条件列出关于a，b的方程求解即得.
(2)按直线l的斜率存在与不存在设出方程，再与椭圆C的方程联立，借助韦达定理计算作答.
（1）
因椭圆过点，则，又点在椭圆C上，
于是得，解得，
所以椭圆C的方程是：.
（2）
当直线l的斜率不存在时，设其方程为，由椭圆对称性知，直线l与C的两交点A，B关于x对称，
不妨令，则，则有直线与直线的斜率分别为，，
而，从而有，解得，
此时，直线l：过椭圆C的右顶点，与椭圆C只有一个公共点，不满足题意，
当直线l的斜率存在时，设其方程为，，
由消去y并整理得：，
，即，
，直线与直线的斜率分别为，，
，
整理得，当时，而，则有，
因此，当且仅当，即时，直线l方程为： ，直线l过定点，
所以不过点的直线l与C交于两点时，直线l：过定点.
21．（12分）
（1）
（2）
【来源】北京市北京大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用等差数列前n项和公式求出；
（2）求得，利用裂项相消法即可求得.
（1）
设等差数列的公差为，由，解得，
所以，
故数列的通项公式，；
（2）
由（1）可得，
所以，
所以.
22（12分）．
（1）；
（2）见解析﹒
【来源】辽宁省名校2021-2022学年高三上学期第四次联合考试数学数学试题
【分析】
(1)利用公式法(与关系)即可求的的通项公式；
(2)分析的通项公式可知其前n项和可以用错位相减法求得﹒
（1）
∵
∴当n≥2时，
∴
∴
∴为从第二项开始的等比数列，公比为q＝3，
又，∴，∴(n≥2)，
n＝1时也满足上式，∴)；
（2）
∵，
∴ ①
∴ ②
①－②得，
∴
∵，∴，∴．
答案第2页，共2页大地中学校2021-2022学年高二上学期12月第四次月考
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A. B. C. D.
2. 正方体中，、分别是、的中点，则直线与所成角的大小是
A. B. C. D.
3. 在矩形中，，，平面，，则与平面所成的角为
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
4. 已知直线经过点，且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线方程为
A. B. C. D.
5. 直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是
A. B. C. 或 D. 或
6. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
7. 已知，两直线，，且，则的最小值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 直线，，则“”是“”的 条件
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
10. 离心率为2的双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
11. 设数列中，，（且） ，则
A. B. C. D.
12. 等比数列的公比为，前项积，若，，，则
A. B. 是的最大值
C. D. 使的的最大值是
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知直线方程为，则直线必经过定点的坐标为___________.
14. 已知抛物线上一点到其准线的距离为8，则=_______.
15. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过作直线与及其渐近线分别交于两点. 且为的中点. 若等腰三角形的底边的长等于的半焦距，则该双曲线的离心率为___.
16. 已知数列前项和为，则___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.
（1）求证：；
（2）点在线段上，二面角的余弦值为，求三棱锥体积.
18. （本小题满分12分）
已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为.
（1）求圆的标准方程；
（2）设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程.
19. （本小题满分12分）
已知抛物线: 上的点到焦点的距离为6.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆，两点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于两点. 若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点.
21. （本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式及；
（2）设，求数列的前项和.
22. （本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.
数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页）
数学试题 第1页（共2页） 数学试题 第2页（共2页）
