广东省雷州市第一中学2012—2013学年度高三第一学期第一次月考数学（文）试题

2012—2013学年度第一学期高三年级第一次月考试题
数学试卷（文）2012.9
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
参考公式：
锥体的体积公式：（是锥体的底面积，是锥体的高）
球体体积公式：(是半径)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）
1．设集合=（ ）
A． B．{3，4} C．{1，2，5，6} D．{1，2，3，4，5，6}
2．为虚数单位，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3.若向量，，则（ ）
A. B. C. D.
．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是（ ）

5．设满足约束条件,则的最大值是（ ）

6．已知为第四象限的角，且=（ ）
A． B． C． D．
7．阅读图1的程序框图. 若输入, 则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与圆相切,且与直线平行,则直线的方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
9.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
10．对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=．则在此定义下,集合※中的元素个数是 （ ）
A．10个 B．15个 C．16个 D．18个
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。）
（一）必选题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）
11．函数的定义域为 .
12．记等差数列的前项和为，若，，则_________.
13．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x，y∈N*)
分/组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
频 数
2
x
3
y
2
4
则样本在区间 [10，50 ) 上的频率 ．
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题，两道题都做的，只记第一题的分）
．（坐标系与参数方程选做题） 已知直线的参数方程为 (为参数)，圆 的参数方程为 (为参数),则圆心到直线的距离为 .
15．(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切线，
线点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=2，
∠PAB=120°，则圆O的面积为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知函数的图像经过点．
（1）求的最小正周期；
（2）求的解析式；
（3）已知，且求的值．
17．（本小题满分13分）
为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2．
表1:男生身高频数分布表
表2:女生身高频数分布表
（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；
（2）估计该校学生身高在的概率；
（3）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率。
18．（本小题满分13分）
圆锥如图5所示，图6是它的正(主)视图．已知圆的直径为， 是的中点，为的中点．
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）证明：；
（3）求点到平面的距离．

19．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，左焦点为，离心率为．设直线与椭圆有且只有一个公共点，记点在第一象限时直线与轴、轴的交点分别为，且向量.求：
（I）椭圆的方程；
（II）求的最小值及此时直线的方程.

20．(本小题满分分)
已知等差数列满足又数列中,且
(1)求数列,的通项公式;
(2)若数列,的前项和分别是,且求数列的前项和;
(3) 若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
21、（本小题满分14分）
已知函数 (R)．
(1) 若，求函数的极值；
（2）是否存在实数使得函数在区间上有两个零点，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
2012—2013学年度第一学期高三年级第一次月考试题
数学试卷参考答案（文）2012.9
一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
C
D
A
B
D
D
B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11. 12. 15 13. 0.7 14. 15.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解：（1）的最小正周期为．………………………………………2分
（2），
又， ∴．
∴． ………………………………6分
（3）∵， ∴．
又，
∴．
∵，
∴ ∴．
∴． …………12分
17.（本小题满分13分）
解：（1）样本中男生人数为40 ，
由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400．----2分
频率分布直方图如右图示：------------------------------------------------4分
（2）由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在的频率----------------6分
故由估计该校学生身高在的概率．---------------------8分
（3）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④ 样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：

--12分
故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率．---------------13分
18．（本小题满分13分）
（1）解：由正（主）视图可知圆锥的高，圆的直径为，故半径．
∴圆锥的母线长．
∴圆锥的侧面积．……………………………………3分
（2）证明：连接，
∵，为的中点， ∴．
∵，， ∴．
又， ∴．……………………8分
（3）解：∵是AB的中点， ∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴点到平面的距离．…………………13分
19．（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)由题意可知，，所以，于是，由于焦点在轴上，故C椭圆的方程为 ………………………………5分
（Ⅱ）设直线的方程为：，
消去得： …………………7分
直线与曲线有且只有一个公共点，
即① …………………… 9分
∵
② ……………………11分
将①式代入②得：

当且仅当时，等号成立，故，此时直线方程为：
. …………………14分
20.(本小题14分)
解: ( 1)设等差数列的公差为,则由题设得:
即, 解得 …………1分
…………2分
数列是以为首项,公比为的等比数列. …………3分
…………4分
(2)由(1)可得 …………5分
…………6分
…………7分
……8分
得:
……………………………………………………9分
…………10分(3)

当时, 取最小值,, ………11分
即
当时，恒成立； …………12分
当时，由 ，
得 ， …………13分
实数的取值范围是. …………14分
21、解：(1) ………2分
，
1
-
0
+
0
-
递减
极小值
递增
极大值
递减
………………4分
，………6分
（2），
， ……………8分
① 当时，在上为增函数，在上为减函数，，，，所以在区间，上各有一个零点，即在上有两个零点； ………………………10分
当时，在上为增函数，在上为减函数，上为增函数，，，，，所以只在区间上有一个零点，故在上只有一个零点； ……………………………………12分
③ 当时，在上为增函数，在上为减函数，上为增函数，，，，， 所以只在区间上有一个零点，故在上只有一个零点； …………………………13分
故存在实数，当时，函数在区间上有两个零点…………………14分