广东省雷州市第一中学2013届高三10月实验班摸底测试数学（文）试题

2012-2013学年度第一学期
雷州市第一中学实验班摸底测试题
（文科数学）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．定义集合运算：．设集合，，则集合的所有元素之和为（ ）
A.0 B.6 C.12 D.18
2．的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知向量，，若向量，则（ ）
A．2 B． C． 8 D．
4.在等差数列中，，表示数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线、,平面，则下列命题中：
①．若，,则 ②．若，,则
③．若，,则 ④．若，, ,则
其中，真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．成等差数列是成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 设变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．给出计算 的值的一个
程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
10．已知都是定义在上的函数，且满足以下条件：
；②；
③．若，则等于 ( )
A. B. C. D. 2或
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，2题全答的，只计算前一题得分）．
11． 某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号应该是 ．
12．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为 ．
13. 已知定义域为的函数为奇函数，且满足，当时，，则=
14．（几何证明选讲选做题）如右图，四边形ABCD内接
于⊙，BC是直径，MN切⊙于A，，则 ．
15．(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为____________。
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l．，
求：（ 1 ）角C的大小； （ 2 ）△ABC最短边的长．
17．（本题满分12分）为预防病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
A组
B组
C组
疫苗有效
673
疫苗无效
77
90
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33.
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？
（3）已知y465,z25,求不能通过测试的概率.
18．（本小题满分14分）如图（1），是直径的圆上一点，为圆O的切线，为切点，为等边三角形，连接交于，以为折痕将翻折到图（2）所示的位置，点P为平面ABC外的点．
（1）求证：异面直线和互相垂直；
（2）若为上一点，且，，求三棱锥的体积．
19．（本小题满分14分）已知数列满足：．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)令,证明：．
20．（本小题满分14分）已知抛物线：和点，若抛物线上存在不同两点、满足．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21.（本题满分14分）已知函数.
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）设函数，求证：
参考答案
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
B
A
D
A
C
A
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11. 18 12. 13. 14. 15.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17、解：（1）在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率约为其频率 …… (1分)
即 ………………(4分)
（2）C组样本个数为y＋z＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， …………………(5分)
现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取个数为
个 ………(8分)
（3）设测试不能通过事件为A ，C组疫苗有效与无效的可能的情况记为（y，z）……(9分)
由（2）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：
（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个 ……………… (10分)
若测试不能通过，则77+90+z>200，即z>33
事件A包含的基本事件有：（（465，35）、（466，34）共2个
…………………(11分)
故不能通过测试的概率为 …………(12分)
18、（1）证明：等边三角形中，为的切线，为切点，
且为中点 （2分）
以为折痕将翻折到图（２）的位置时，
仍有，
平面 （4分）
（5分）
（2）解：，
图（1）中，为的直径，为的切线，为切点，
中，，

， （8分）
，
平面 （10分）
三棱锥的体积
（12分）
为上一点，且，
三棱锥的体积
（14分）
19.(1) 证明：, ===.………3分
数列为等差数列. ………………4分
(2). 由(1)得,为等差数列,公差为1, 首项为.………………6分
(.………………8分 .………9分
(3) , ………10分
. ………11分 .………12分
当时, …………13分
当时, 综上所述:. ………14分
20．（本小题满分14分）
解法1：（1）不妨设A，B，且，
∵，∴．
∴，．…………………4分
∵（），即，
∴，即的取值范围为．…………………6分
（2）当时，由（1）求得.的坐标分别为.．
假设抛物线上存在点（且），…………8分
使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．
设经过..三点的圆的方程为，
则
整理得 ． ①…………9分
∵函数的导数为，
∴抛物线在点处的切线的斜率为，
∴经过..三点的圆在点处的切线斜率为．………10分
∵，∴直线的斜率存在．
∵圆心的坐标为，
∴，
即． ②…………………12分
∵，由①.②消去，得．
即．
∵，∴．
故满足题设的点存在，其坐标为．…………………14分
解法2：（1）设，两点的坐标为，且。
∵，可得为的中点，
即．…………………2分
显然直线与轴不垂直，
设直线的方程为，
即，…………………3分
将代入中，
得． …………………4分
∴ ∴．
故的取值范围为． …………………6分
（2）当时，由（1）求得，的坐标分别为．
假设抛物线上存在点（且），
使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．
设圆的圆心坐标为，
∵ ∴即 …………………8分
解得 …………………10分
∵抛物线在点处切线的斜率为，
而，且该切线与垂直，∴．
即． …………………12分
将，代入上式，
得．
即．∵且，∴．
故满足题设的点存在，其坐标为 ． …………………14分
21.解：（1）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．……………4分
(2)由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得． ……………………………………6分
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意． ……………………………………8分
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．………………………10分
【（方法二）由对任意成立等价于恒成立
当，恒成立，则，又，所以此时………6分
当，恒成立，则，令，则，……7分
易知为上偶函数，考察，，，
当时，，当时，，
所以当时，，所以……………………………9分
综上 …………………………………………………………10分】
(3)，
，
…………………………………………………………11分
，
……………………………………12分
由此得， ………………………………………13分
故． …………………………14分