北师大版 四年级数学下册2.3　探索与发现：三角形内角和 教案

第3课时　探索与发现：三角形内角和
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一、教学内容
三角形内角和。(教材第24～25页)
二、教学目标
1．通过测量、撕拼、折叠等方法，探索发现并验证“三角形内角和等于180°”，并能应用这一知识解决一些简单的问题。
2．通过把三角形的内角和转化为平角进行探究实验，渗透转化的数学思想。
3．通过数学活动获得成功的体验，增强自信心，培养创新意识、探索精神和实践能力。
三、重点难点
重点：掌握三角形的内角和是180°。
难点：根据三角形的内角和解决实际问题。
教学准备
教师准备：课件PPT、剪刀、各种三角形、三角板、量角器。
学生准备：剪刀、各种三角形、三角板、量角器。
教学过程
一、情境引入
(课件出示故事)
在一个钝角三角形里住着三个角，平时，三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说，“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷。
师：同学们，你们知道为什么吗？(学生摇头表示不知道)今天我们就一起来探究原因。
(板书课题：探索与发现：三角形内角和)
二、学习新课
1.认识内角。
师：同学们，我们已经认识了三角形，也学过角的知识，那你们知道三角形的内角指的是什么吗？(学生独立思考，小组交流)
教师引导学生明确：三角形每两条边所形成的角叫三角形的内角。
2.探索三角形的内角和。
(课件出示教材第24页主题图)
(1)提出问题。
师：我们已经知道了什么是三角形的内角，那么什么是三角形的内角和也就不难推测了，谁来说一说？(同桌交流，指名学生回答)
学生：三角形的内角和是三角形三个内角的总和。
师：那同学们认为钝角三角形说得对吗？(全班交流、讨论)
学生可能会回答：
学生1：钝角三角形说得对，因为钝角三角形有一个角是钝角，其他的角是锐角，而锐角三角形的三个角都是锐角。
学生2：虽然钝角三角形有一个钝角，但是其他两个角都比较小，而锐角三角形的三个角都不是很小，所以锐角三角形的内角和比较大。
学生3：锐角三角形和钝角三角形的内角和一样大。
(2)探索活动。
组织学生5人一组开展活动，每人准备一个三角形，此处以主题图中的2个三角形和下面的3个三角形为例，用量角器量一量。
　　
用量角器测量每个内角的度数，将测量的结果填入表中。
举例如下(仅做参考)：
三角形的形状 每个内角的度数 三个内角的和
大三角形 94° 46° 40° 94°＋46°＋40°＝180°
小三角形 58° 62° 60° 58°＋62°＋60°＝180°
直角三角形 90° 38° 52° 90°＋38°＋52°＝180°
锐角三角形 64° 40° 75° 64°＋40°＋75°＝179°
钝角三角形 116° 39° 25° 116°＋39°＋25°＝180°
师：通过操作发现了什么？(小组交流，并派代表发言)
学生1：三角形的内角和是180°。
学生2：三角形的内角和接近180°。
教师引导学生明确：测量会有误差，三角形的内角和是180°。
(3)验证三角形的内角和是180°。
师：我们上面用量角器量出三角形的内角和是180°，但测量总有误差，还有其他方法来验证我们的想法吗？(学生动手操作，小组交流，组织学生板演)
以下面两种方法为例：
(方法一)把三角形的三个内角撕下来，拼在一起，发现∠1，∠2和∠3正好组成一个平角，是180°，因此三角形的内角和是180°。
(方法二)把∠1向下折叠，折痕与底边平行，使∠1的顶点落在底边上，再折叠∠2和∠3，使∠2和∠3的顶点与∠1的顶点重合，发现∠1，∠2和∠3正好组成一个平角，是180°，因此三角形的内角和是180°。
得出结论：三角形的内角和等于180°。(板书)
3.三角形内角和的应用。
(课件出示教材第25页“试一试”)
(1)师：我们看着一个完整的三角形可以判断它属于哪一类三角形，但如果我们将它的一个角遮住了呢？我们还能说出这是什么三角形吗？(能)
师：已知一个三角形其中的两个角是60°和40°，这是个什么三角形？(小组交流、讨论，并派代表回答)
学生：这是一个锐角三角形。
师追问：为什么呢？
学生1：已知三角形的两个角分别是60°和40°，根据“三角形的内角和是180°”，可知另外一个角就是80°。
学生2：通过计算得出三角形的三个角的度数分别是80°，60°和40°，因此这是一个锐角三角形。
师生共同总结：已知三角形其中两个角的度数，根据“三角形的内角和是180°”可以算出第三个角的度数，进而判断这个三角形的类型。
(2)师：如果只知道三角形的一个角是60°，那么遮住的三角形是等边三角形吗？(学生思考，小组交流，指名学生回答)
教师小结：根据“三角形的内角和是180°”，得剩下两个角的度数和应该是180°－60°＝120°。这两个角如果一个是钝角，一个是锐角，那么这个三角形就是钝角三角形；如果这两个角都是锐角，那么这个三角形就是锐角三角形；这两个角如果一个是直角，一个是锐角，那么这个三角形就是直角三角形。
师生共同总结：在三角形中，已知其中一个内角的度数，这个三角形的类型不能确定。
三、巩固反馈
1．完成教材第25页“练一练”第1题。
答案：三角形的内角和等于180°。
2．完成教材第25页“练一练”第2题。(学生动手算一算，量一量，填一填，教师指导纠正)
答案：(1)四边形的内角和为360°，三角形的内角和为180°。　(2)略
3．完成教材第25页“练一练”第3题。(学生动手操作，再填一填。)
答案：长方　360　三角　180　三角　180
三角　180
4．完成教材第26页“练一练”第4题。(学生独立完成，同桌互相检查订正)
答案：左边被遮住的三角形是钝角三角形；中间被遮住的三角形有可能是锐角三角形，也有可能是直角三角形或钝角三角形；右边被遮住的角为180°－45°－45°＝90°，故被遮住的三角形是直角三角形。
5．完成教材第26页“练一练”第5，6题。
第5题：钝角三角形说得不对，直角三角形说得对。
第6题：77°　55°　115°
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
板书设计
探索与发现：三角形内角和
三角形的内角和等于180°。
教学反思
1．本节课中首先创设问题情境，引起思考，并放手让学生通过量、撕、拼等多种活动，探索并验证三角形内角和，培养他们的推理和动手能力，让他们能清晰地、有条理地阐述自己的观点，激发学生的求知欲和学习热情，课堂氛围良好。
2．本节课知识点对于学生来说比较抽象，所以上课时应着重领悟探索的过程，让学生在探索中发现规律，加深印象。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】王爷爷家有一块菜地是一个三角形，有大、中、小三个不等的角，又知大角是小角的3倍，中角是小角的2倍。王爷爷家的这块菜地是一个什么形状的三角形？
分析：因为三角形的大角是小角的3倍，中角是小角的2倍，所以三个角的和是最小角的(3＋2＋1)倍。又因为三角形三个内角的和是180°，所以用180°÷(3＋2＋1)可求出最小角的度数，进而求出最大角的度数，再判断三角形的类型。
解答：180°÷(3＋2＋1)＝30°
最大的角：30°×3＝90°
所以这个三角形是直角三角形。
答：王爷爷家的这块菜地是一个直角三角形。
解法归纳：解决此类题时，可以根据倍数与内角和的关系求出小角，然后再求出大角，最后确定三角形形状。
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三角形的内角和不等于180°？
首先需要声明的是，内角和绝对等于180°，在我们小学和中学所学的平面三角形，也就是欧几里得几何三角形当中是完全成立的。之所以还会有不同的结果出现，是因为欧几里得几何三角形只是众多状态下的三角形当中的一种。
第一个发现非欧几里得三角形的人是俄罗斯的数学家罗巴切夫斯基，他在1826年喀山大学数学系的一次学术会议兴奋地向在场的人宣布他发现了一种新的几何三角形，这种三角形的内角和是小于180°的。不过在当时，罗巴切夫斯基的发现并没有引起学术界的关注，很多人对他的理论嗤之以鼻。直到罗巴切夫斯基去世，他的这一理论都没有被学术界接受。
在罗巴切夫斯基宣布他发现一种非欧几里得几何三角形的42年之后，1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇论文《非欧几何解释的尝试》，证明了这种几何三角形是存在的。罗巴切夫斯基的发现终于获得认可，他也因此获得了几何学的哥白尼的美誉。
除了罗巴切夫斯基几何三角形之外，还有黎曼几何里的平面三角形，他发现的这种三角形的内角和大于180°。
此外，美籍华裔几何大师陈省身创立的整体微分几何三角形，其内角之和也不等于180°。除了以上列举的三维空间内的非欧几里得几何三角形的内角和不等于180°之外，在四维空间或四维以上的空间内的三角形，其内角和也不等于180°。