初中数学北师大版八年级上学期 第七章 7.1 为什么要证明
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，正确，不合题意；
B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，不合题意；
C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，正确，不合题意；
D、在同一平面内，不相交的两条线段是平行线，错误，符合题意．
故选：D．
【分析】分别利用平行公理以及平行线的判定与性质分别分析得出答案．
2．（2019八下·重庆期中）观察下列图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第6个图形共有（ ）个★.
A．16 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】观察发现，第1个图形★的个数是，1+3＝4，
第2个图形★的个数是，1+3×2＝7，
第3个图形★的个数是，1+3×3＝10，
第4个图形★的个数是，1+3×4＝13，
…
依此类推，第n个图形★的个数是，1+3×n＝3n+1，
故当n＝6时，3×6+1＝19.
故答案为：C.
【分析】观察各个图形可知，每个图形下面的五角星都是1个，左面、上面、右面的五角星的个数比它前面的都多一个，据此规律作出判断即可.
3．（2018七上·瑶海期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．19 B．21 C．32 D．41
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，左边的数为21，22，23，…，∴b＝25＝32．
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，∴a＝9+32＝41．
故答案为：D．
【分析】根据题意观察图形中数字之间的规律，根据规律得到答案即可。
二、填空题
4．同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a c．若a∥b，b∥c，则a c．若a∥b，b⊥c，则a c.
【答案】∥；∥；⊥
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵ a⊥b，b⊥c，
∴a∥c；
∵ a∥b，b∥c，
∴a∥c；
∵ a∥b，b⊥c，
∴a⊥c.
故答案为：∥；∥；⊥.
【分析】根据垂直同一条直线的两条直线平行可得a∥c；
根据平行于同一条直线的两条直线平行可得a∥c；
根据垂直同一条直线的两条直线平行逆推即可.
三、综合题
5．（2017七上·巫山期中）请观察下列算式，找出规律并填空。
， ， ， ···
根据以上规律解答以下三题：
（1）第10个等式是: =
第n个等式是: =
（2）计算： 的值。
（3）若有理数 满足 ,试求：
的值。
【答案】（1）；；；
（2）解：原式=1 + + +…+ =1 =
（3）解：由非负性质可知：a=l，b=3， 则原式= + + +…+ = ×（1- + - + - +…+ - ） = ×（1- ） =
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由规律得：第10个算式为 ；第n个算式为 ；
【分析】（1）通过观察每一个等式的左边和右边都是分数，且分子都是1，左边的分母是两个连续整数的乘积，第一个整数与等式的序号一致，第二个整数比第一个整数大1，右边是一个减法算式，被减数的分母就是左边分母的第一个因数，减数的分母就是左边分母的第二个因数，根据发现的规律即可得出第n个等式为，然后将n=10代入即可算出第10各次等式；
（2）根据（1）所给等式的变形方式，将各个加数分别变形为两个分数的差，再根据有理数的加法法则即可算出答案；
（3）根据绝对值的非负性及偶次幂的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个数都为0，从而算出a,b的值，将a,b的值代入算式，然后再利用乘法分配律的逆用及（1）种等式提供的规律将算式变形，再根据有理数的运算即可算出答案。
6．我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【答案】（1）解：
S阴影=4×ab，S阴影=c2﹣（a﹣b）2，
∴4×ab=c2﹣（a﹣b）2，即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2，
则a2+b2=c2；
（2）解：
如图所示，
大正方形的面积为x2+4y2+4xy，也可以为（x+2y）2，
则（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）阴影部分面积由大正方形面积减去小正方形面积，也可以由四个直角三角形面积之和求出，两者相等即可得证；
（2）拼成如图所示图形，根据大正方形边长为x+2y，表示出正方形面积，再由两个小正方形与两个矩形面积之和求出，即可验证．
7．（2019七下·南浔期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠A=30°，∠C=40°，求∠AEC的度数.
小明的思路是：
（1）初步尝试：按小明的思路，求得∠AEC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，问∠A、∠E、∠F和∠D之间有何数量关系 请说明理由；
（3）应用拓展：如图3，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，如果∠E+∠EFG=160°，请直接写出∠B与∠D之间的数量关系.
【答案】（1）解：如图，过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，
∴∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，
∴∠AEC=∠A+∠C=70°；
（2）解：∠A+∠EFD =∠AEF+∠D
理由如下：过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB
∵AB∥CD，∴AB∥ME∥FN∥CD，
∴∠A
=∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，
∴∠A+∠EFD =∠AEF+∠D；
（3）∠B+∠D=160°
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM∥EH，
∴∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，
∴∠B+∠EFM+∠MFD+∠D=180°+∠BEH+∠HEF，
∴∠B+∠D+∠EFD=180°+∠BEF，
∴∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD。
∵ ∠BEF+∠EFG=160° ，
∴∠BEF+180°-∠EFD=160°，
∴∠BEF-∠EFD=-20°，
∴∠B+∠D=180°-20°=160°。
【分析】（1）添加辅助线，转化基本图形。过E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，再证明∠AEC=∠A+∠C，继而可解答问题。
（2）添加辅助线，转化两直线平行的基本图形。过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB ，利用平行线的性质可证AB∥ME∥FN∥CD， 再根据两直线平行，内错角相等，可证得∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，然后将三式相加，可证得结论。
（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，结合已知可证得AB∥CD∥FM∥EH，利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，可证∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，再将三个等式相加，整理可得到∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD，然后由∠BEF+∠EFG=160° ，可推出∠BEF-∠EFD=-20°，整体代入求出∠B+∠D的值。
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第七章 7.1 为什么要证明
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
2．（2019八下·重庆期中）观察下列图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第6个图形共有（ ）个★.
A．16 B．18 C．19 D．20
3．（2018七上·瑶海期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．19 B．21 C．32 D．41
二、填空题
4．同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a c．若a∥b，b∥c，则a c．若a∥b，b⊥c，则a c.
三、综合题
5．（2017七上·巫山期中）请观察下列算式，找出规律并填空。
， ， ， ···
根据以上规律解答以下三题：
（1）第10个等式是: =
第n个等式是: =
（2）计算： 的值。
（3）若有理数 满足 ,试求：
的值。
6．我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
7．（2019七下·南浔期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠A=30°，∠C=40°，求∠AEC的度数.
小明的思路是：
（1）初步尝试：按小明的思路，求得∠AEC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，问∠A、∠E、∠F和∠D之间有何数量关系 请说明理由；
（3）应用拓展：如图3，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，如果∠E+∠EFG=160°，请直接写出∠B与∠D之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，正确，不合题意；
B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，不合题意；
C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，正确，不合题意；
D、在同一平面内，不相交的两条线段是平行线，错误，符合题意．
故选：D．
【分析】分别利用平行公理以及平行线的判定与性质分别分析得出答案．
2．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】观察发现，第1个图形★的个数是，1+3＝4，
第2个图形★的个数是，1+3×2＝7，
第3个图形★的个数是，1+3×3＝10，
第4个图形★的个数是，1+3×4＝13，
…
依此类推，第n个图形★的个数是，1+3×n＝3n+1，
故当n＝6时，3×6+1＝19.
故答案为：C.
【分析】观察各个图形可知，每个图形下面的五角星都是1个，左面、上面、右面的五角星的个数比它前面的都多一个，据此规律作出判断即可.
3．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，左边的数为21，22，23，…，∴b＝25＝32．
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，∴a＝9+32＝41．
故答案为：D．
【分析】根据题意观察图形中数字之间的规律，根据规律得到答案即可。
4．【答案】∥；∥；⊥
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵ a⊥b，b⊥c，
∴a∥c；
∵ a∥b，b∥c，
∴a∥c；
∵ a∥b，b⊥c，
∴a⊥c.
故答案为：∥；∥；⊥.
【分析】根据垂直同一条直线的两条直线平行可得a∥c；
根据平行于同一条直线的两条直线平行可得a∥c；
根据垂直同一条直线的两条直线平行逆推即可.
5．【答案】（1）；；；
（2）解：原式=1 + + +…+ =1 =
（3）解：由非负性质可知：a=l，b=3， 则原式= + + +…+ = ×（1- + - + - +…+ - ） = ×（1- ） =
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由规律得：第10个算式为 ；第n个算式为 ；
【分析】（1）通过观察每一个等式的左边和右边都是分数，且分子都是1，左边的分母是两个连续整数的乘积，第一个整数与等式的序号一致，第二个整数比第一个整数大1，右边是一个减法算式，被减数的分母就是左边分母的第一个因数，减数的分母就是左边分母的第二个因数，根据发现的规律即可得出第n个等式为，然后将n=10代入即可算出第10各次等式；
（2）根据（1）所给等式的变形方式，将各个加数分别变形为两个分数的差，再根据有理数的加法法则即可算出答案；
（3）根据绝对值的非负性及偶次幂的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个数都为0，从而算出a,b的值，将a,b的值代入算式，然后再利用乘法分配律的逆用及（1）种等式提供的规律将算式变形，再根据有理数的运算即可算出答案。
6．【答案】（1）解：
S阴影=4×ab，S阴影=c2﹣（a﹣b）2，
∴4×ab=c2﹣（a﹣b）2，即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2，
则a2+b2=c2；
（2）解：
如图所示，
大正方形的面积为x2+4y2+4xy，也可以为（x+2y）2，
则（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）阴影部分面积由大正方形面积减去小正方形面积，也可以由四个直角三角形面积之和求出，两者相等即可得证；
（2）拼成如图所示图形，根据大正方形边长为x+2y，表示出正方形面积，再由两个小正方形与两个矩形面积之和求出，即可验证．
7．【答案】（1）解：如图，过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，
∴∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，
∴∠AEC=∠A+∠C=70°；
（2）解：∠A+∠EFD =∠AEF+∠D
理由如下：过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB
∵AB∥CD，∴AB∥ME∥FN∥CD，
∴∠A
=∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，
∴∠A+∠EFD =∠AEF+∠D；
（3）∠B+∠D=160°
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM∥EH，
∴∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，
∴∠B+∠EFM+∠MFD+∠D=180°+∠BEH+∠HEF，
∴∠B+∠D+∠EFD=180°+∠BEF，
∴∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD。
∵ ∠BEF+∠EFG=160° ，
∴∠BEF+180°-∠EFD=160°，
∴∠BEF-∠EFD=-20°，
∴∠B+∠D=180°-20°=160°。
【分析】（1）添加辅助线，转化基本图形。过E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，再证明∠AEC=∠A+∠C，继而可解答问题。
（2）添加辅助线，转化两直线平行的基本图形。过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB ，利用平行线的性质可证AB∥ME∥FN∥CD， 再根据两直线平行，内错角相等，可证得∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，然后将三式相加，可证得结论。
（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，结合已知可证得AB∥CD∥FM∥EH，利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，可证∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，再将三个等式相加，整理可得到∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD，然后由∠BEF+∠EFG=160° ，可推出∠BEF-∠EFD=-20°，整体代入求出∠B+∠D的值。
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