4.3.1等比数列的概念第一课时2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选修二 课件（28张PPT）

第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念（第一课时）
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
9，92，93，……，910；
100，1002，1003，……，10010；
5，52，53，……，510.
情境引入
③
你发现上述数列有什么规律？
①
②
2.《庄子?天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
用数学眼光来看，如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是？
情境引入
你发现上述数列有什么规律？
?
14,
?
18,
?
12,
?
116,
?
132,
?
??.
?
④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20分钟就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是？
情境引入
你发现上述数列有什么规律？
第2项起,每一项是前一项的2倍
2,4,8,16,32,64,…
5
4.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：
6
你发现上述数列有什么规律？
?
情境引入
观察，并说出它们的共同特点.
它们的共同特点是：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
14,
?
18,
?
12,
?
116,
?
132,
?
??.
?
2,4,8,16,32,64,…
6
④
5
探究1：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}等差数列
等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
等差数列
等比数列
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
符号表示
?
?
一般地，如果一个数列从第2项起，
那么这个数列就叫做等比数列。
每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，
这个常数列就叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示
?
q的取值范围是什么？
以下数列是等比数列吗？如果是，请写出它的公比.
（1）3, 6, 12, 24, 48, 96,……
（2）0, 2, 0, 2, 0, 2，……
（3）2，-4，8，-16, 32，-64，……
（4）5, 5, 5, 5 ,5, 5，……
(1)解：设数列为{an}，因为 ，
所以是等比数列，q=2
以下数列是等比数列吗？如果是，请写出它的公比.
（1）3, 6, 12, 24, 48, 96,……
（2）0, 2, 0, 2, 0, 2，……
（3）2，-4，8，-16, 32，-64，……
（4）5, 5, 5, 5 ,5, 5，……
等比数列首项不能为0
q可以是0吗？
q不可以是0
(2)解：设数列为{bn}，因为 无意义，
所以不是等比数列。
以下数列是等比数列吗？如果是，请写出它的公比.
（1）3, 6, 12, 24, 48, 96,……
（2）0, 2, 0, 2, 0, 2，……
（3）2，-4，8，-16, 32，-64，……
（4）5, 5, 5, 5 ,5, 5，……
q可以为负
(3)解：设数列为{cn}，因为 ，
所以是等比数列，q=-2.
以下数列是等比数列吗？如果是，请写出它的公比.
（1）3, 6, 12, 24, 48, 96,……
（2）0, 2, 0, 2, 0, 2，……
（3）2，-4，8，-16, 32，-64，……
（4）5, 5, 5, 5 ,5, 5，……
(4)解：设数列为{dn}，因为 ，
所以是等比数列，q=1.
非零常数列既是公差为0的等差数列也是公比为1的等比数列
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
等差数列
等比数列
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
符号表示
一般地，如果一个数列从第2项起，
那么这个数列就叫做等比数列。
每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，
这个常数列就叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示
?
?
?
公比q可正、可负、不可为零
?
比
等比数列
公比
?
1.等比数列：
内容新授
?
?
符号表示：
1. 判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．
课堂练习
(1) 3，9，15，21，27，33；
(4) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
(3) ， ， ， ， ， ；
(2) 4，-8，16，-32，64,-128.
?
?
?
?
探究2：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}等差中项
等比中项
由三个数a，A，b组成等差数列，A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知 .
由三个数 ????,????,?????组成等比数列，????叫做????与????的等比中项.
?
根据等比数列的定义可知????2=????????
?
2.等比中项：
如果三个数 组成等比数列，那么 叫做a和b的 。
?
?
等比中项
即：
?
?
内容新授
探究3 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设等比数列的{an}的公比为q.根据等比数列的定义可得：an+1=an ? q.
所以
……
由此可得
又 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
不完全归纳法
?
所以，首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式
3.等比数列的通项公式
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?
所以 , , , , ,
?
?
?
累乘法
?
?
?
?
?
由此可得 ，即
?
?
3.等比数列的通项公式
首项为a1，公比为q的等比数列的{an}的通项公式为：
内容新授
等比数列{an}的通项公式中含有四个量：首项a1，公比q（q≠0）,序号n及第n项an，如果知道其中的任意三个量，那么就可以由通项公式求出第四个量，称之为“知三求一”.
?
解法一：
?
?
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
?
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
例题精讲
两个q，需对其分类讨论
?
解法二：
?
?
?
?
所以
例题精讲
?
解：
?
由题意，得
?
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
?
所以
?
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示
例题精讲
?
比
等比数列
公比
?
2.等比中项：
如果三个数a,G,b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项。
1.等比数列：
3.等比数列的通项公式
?
即：
?
?
课堂小结
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推论
练习巩固
课堂检测
课堂检测
作业布置
探究： 类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立相似的关系？