2022届四校联考高三年级十二月份数学学科测试卷
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝
A．(－∞，3] B．[1，2) C．[1，2] D．(－∞，1]
2．若复数z满足|1＋i|＝1－i，则z＝
A．＋i B．－i C．－i D．i
3．下列函数中，在区间上单调递增的函数是
A．y＝cos(x－) B．y＝sinx－cosx C．y＝sin(x＋) D．y＝|sin2x|
4．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的表面积为10π，则它的体积为
A． B． C． D．
5．已知的展开式中第二项与第三项的系数之比为1：8，则的展开式中常数项为
A．－24 B．24 C．－48 D．48
6．若，则
A．2 B． C． D．1
7．设点M，N均在双曲线上运动，AB为圆C：的任意一条直径，则的最小值为
A．2 B． C．2 D．
8．已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对平面向量a，b，有
A．若a和b为单位向量，则a＝b
B．若|a·b|＝|a||b|，则a//b
C．若|b|＝2，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为2
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
10．北京冬奥会临近开幕，大众对冰雪运动关注不断上升，各地陆续建成众多冰雪设施，广大市民有条件体验冰雪活动的乐趣，为研究市民性别和喜欢冰雪活动是否有关，某校社团学生在部分市民中进行了一次调查，得到下表：
冰雪运动的喜好 性别 合计
男性 女性
喜欢 140 b 140＋b
不喜欢 c 80 80＋c
合计 140＋c 80＋b 220＋b＋c
已知男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，则
参考：χ2＝，P(χ2＞3.841)＝0.05，P(χ2＞6.635)＝0.01．
A．列联表中c的值为60，b的值为120
B．有95%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系
C．随机对一路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动
D．没有99%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系
11．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体(六面体)、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体(如图所示)，它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长均为1，则
A．它有24条棱、12个顶点、14个面
B．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直
C．它的体积为
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
12．已知抛物线y2＝4x，焦点为F，l1，l2是过F的两条直线，斜率分别为k1，k2，且分别交抛物线于A，B两点和C，D两点，以A，B为切点的切线相交于点P，以C，D为切点的切线相交于点Q，则
A．若AB中点的纵坐标为4，则
B．若k1k2＝－1，则AB＋CD的最小值为16
C．P点在以AB为直径的圆上
D．若k1k2＝1，则为定值8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f(x)＝sinx(ex－ae)＋b是奇函数，则a＋b＝ ．
14．已知曲线C：，则曲线C围成的图形面积为 ．
15．对于数列{an}，使数列{an}的前k项和为正整数的k的值叫做“幸福数”．已知，则在区间[1，2021]内的所有“幸福数”的个数为 ．
16．若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为 ．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知数列{an}满足*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
18．(本小题满分12分)
宜兴紫砂壶是艺术品，它形制优美，颜色古雅该地某紫砂壶厂家为进一步提升产品质量和经济效益，决定对紫砂壶的质量实行专家鉴定制度；若一件紫砂壶被3位专家都鉴定通过，则该紫砂壶为一等品；若一件紫砂壶被3位专家中的2位鉴定通过，则该紫砂壶为二等品；若一件紫砂壶仅被3位专家中的1位鉴定通过，则该紫砂壶为三等品；若－件紫砂壶没有得到3位专家的鉴定通过，则需第4位专家进行鉴定，如果鉴定通过，则该紫砂壶为三等品，否则为四等品．已知每件紫砂壶被每位专家鉴定通过的概率均为，且专家之间鉴定是否通过相互独立．
(1)求一件紫砂壶被专家鉴定为三等品的概率；
(2)一件紫砂壶若被鉴定为一等品、二等品、三等品方可出厂销售，且利润分别为2700元、1800元和820元；被鉴定为四等品则不能出厂销售，且亏损200元．记一件紫砂壶的利润为X元，求X的概率分布及数学期望．
19．(本小题满分12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝，b＝4，点D是AC边上一点，且满足AD＝BD，∠DBC＝．
(1)求sinC；
(2)求△BCD的面积．
20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△PAB为正三角形，PD＝，E为线段AB的中点，M为线段PD(不含端点)上的一个动点，且PM＝λPD．
(1)证明：PE⊥平面ABCD；
(2)若二面角M－EC－D的大小为60°，求实数λ的值．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆C：0)的离心率为，右顶点为A，过点B(a，1)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，其中点M在第一象限当点M，N关于原点对称时，点M的横坐标为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点N作x轴的垂线，与直线AM交于点P，Q为线段NP的中点，求直线AQ的斜率，并求线段AQ长度的最大值．
22．(本小题满分12分)
已知函数．
(1)若函数，求函数g(x)的单调区间；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线，直线l与曲线y＝f(x)相交于点(s，f(s))，且s＜t，求实数t的取值范围．2022届四校联考高三年级十二月份数学学科测试卷
数 学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．集合 A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|y＝ 2－x}，则 A∩B＝
A．(－∞，3] B．[1，2) C．[1，2] D．(－∞，1]
2 -．若复数 z满足z|1＋i|＝1－i，则 z＝
A 2 2i B 2 2． ＋ ． － i C．－i D．i
2 2 2 2
3．下列函数中，在区间上单调递增的函数是
A．y＝cos(x π－ ) B．y＝ 3sinx－cosx C π．y＝sin(x＋ ) D．y＝|sin2x|
3 4
4．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为 1的半球．已知该
胶囊的表面积为 10π，则它的体积为
1
A 35π B 10π C 13 16． ． ． π D． π
6 3 3 3
5 (x 2)2n＋1 2 n．已知 ＋ 的展开式中第二项与第三项的系数之比为 1：8，则(x－ ) 的展开式中常数
x
项为
A．－24 B．24 C．－48 D．48
sin(α 4π－ ) tanα
6．若 5 ＝－3，则 π＝
sin(α π－ ) tan
5 5
A 3 3．2 B． C． D．1
4 2
2
2
7．设点 M N x 2， 均在双曲线 －y ＝1上运动，AB为圆 C：(x－2)2 2＋y ＝4的任意一条直径，
3
则|
→MA →＋MB－2M→N|的最小值为
A 2．2 B． C．2 3 D．4－2 3
3
8．已知 a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
3
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．对平面向量 a，b，有
A．若 a 和 b 为单位向量，则 a＝b
B．若|a·b|＝|a| |b|，则 a//b
C．若|b|＝2 1，a 在 b 上的投影向量为 b，则 a·b 的值为 2
2
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则 a 与 b 共线
4
10．北京冬奥会临近开幕，大众对冰雪运动关注不断上升，各地陆续建成众多冰雪设施，广
大市民有条件体验冰雪活动的乐趣，为研究市民性别和喜欢冰雪活动是否有关，某校社团学
生在部分市民中进行了一次调查，得到下表：
性别 合计
冰雪运动的喜好
男性 女性
喜欢 140 b 140＋b
不喜欢 c 80 80＋c
合计 140＋c 80＋b 220＋b＋c
7 3
已知男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的 ，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的 ，
10 5
则
χ2 n(ad－bc)
2
参考： ＝ ，P(χ2＞3.841)＝0.05，P(χ2＞6.635)＝0.01．
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
A．列联表中 c的值为 60，b的值为 120
B．有 95%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系
C．随机对一路人进行调查，有 95%的可能性对方喜欢冰雪运动
D．没有 99%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系
11．20世纪 50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金
属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体(六面体)、八面体和立方
八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体(如图所示)，它是将立方体“切”去 8个“角”
后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长均为 1，则
5
A．它有 24条棱、12个顶点、14个面
B．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直
C 5 2．它的体积为
3
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
C 正确；
12．已知抛物线 y2＝4x，焦点为 F，l1，l2是过 F的两条直线，斜率分别为 k1，k2，且分别
交抛物线于 A，B两点和 C，D两点，以 A，B为切点的切线相交于点 P，以 C，D为切点
的切线相交于点 Q，则
A．若 AB中点的纵坐标为 4，则k1＝2
B．若 k1k2＝－1，则 AB＋CD的最小值为 16
C．P点在以 AB为直径的圆上
→ →
D．若 k1k2＝1，则FP·FQ为定值 8
6
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
7
13 －x．已知函数 f(x)＝sinx(ex－ae )＋b是奇函数，则 a＋b＝ ．
14 2．已知曲线 C：x ＋y2＝2|x|＋2y，则曲线 C围成的图形面积为 ．
15．对于数列{an}，使数列{an}的前 k 项和为正整数的 k 的值叫做“幸福数”．已知
an＝log
n＋1
4 ，则在区间[1，2021]内的所有“幸福数”的个数为 ．n
16．若存在实数 t，对任意的 x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0 成立，则整数 s
8
的最大值为 ．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)
四、解答题：本题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
1 1 1
已知数列{an}满足a1＝ ，a3 n＋1
＝ a
3 n
＋ n 1，n∈N*．3 ＋
9
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前 n项和 Sn．
【解析】
18．(本小题满分 12分)
宜兴紫砂壶是艺术品，它形制优美，颜色古雅该地某紫砂壶厂家为进一步提升产品质量和经
济效益，决定对紫砂壶的质量实行专家鉴定制度；若一件紫砂壶被 3位专家都鉴定通过，则
该紫砂壶为一等品；若一件紫砂壶被 3位专家中的 2位鉴定通过，则该紫砂壶为二等品；若
一件紫砂壶仅被 3位专家中的 1位鉴定通过，则该紫砂壶为三等品；若－件紫砂壶没有得到
3位专家的鉴定通过，则需第 4位专家进行鉴定，如果鉴定通过，则该紫砂壶为三等品，否
2
则为四等品．已知每件紫砂壶被每位专家鉴定通过的概率均为 ，且专家之间鉴定是否通过
3
相互独立．
(1)求一件紫砂壶被专家鉴定为三等品的概率；
(2)一件紫砂壶若被鉴定为一等品、二等品、三等品方可出厂销售，且利润分别为 2700元、
1800元和 820元；被鉴定为四等品则不能出厂销售，且亏损 200元．记一件紫砂壶的利润
为 X元，求 X的概率分布及数学期望．
【解析】
10
19．(本小题满分 12分)
记△ABC 2 5的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sinA＝ ，b＝4，点 D是 AC边上
5
π A
一点，且满足 AD＝BD，∠DBC＝ ．
4 D
(1)求 sinC；
(2)求△BCD的面积． B C
【解析】
11
20．(本小题满分 12分)
如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的菱形，∠ABC＝60°，△PAB为正三
角形，PD＝ 10，E为线段 AB的中点，M为线段 PD(不含端点)上的一个动点，且 PM＝λPD．
(1)证明：PE⊥平面 ABCD；
(2)若二面角 M－EC－D的大小为 60°，求实数λ的值．
P
M
D
E A
B C
【解析】
12
21．(本小题满分 12分)
x2 y2 3
已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，右顶点为 A，过点 B(a，1)的直线 l与椭圆a b 2
C交于不同的两点 M，N，其中点 M在第一象限当点 M，N关于原点对称时，点 M的横坐
标为 2．
13
(1)求椭圆 C的方程；
(2)过点 N作 x轴的垂线，与直线 AM交于点 P，Q为线段 NP的中点，求直线 AQ的斜率，
并求线段 AQ长度的最大值．
【解析】
14
22．(本小题满分 12分)
x
已知函数f(x)＝ ．
ex
(1) 2若函数g(x)＝f(x)＋x －2x，求函数 g(x)的单调区间；
(2)若直线 l为曲线 y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线，直线 l与曲线 y＝f(x)相交于点(s，f(s))，且
s＜t，求实数 t的取值范围．
【解析】
15
16
