人教版八年级数学上册乘法公式 期末复习训练 （word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册乘法公式 期末复习训练 （word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 178.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-27 07:36:11 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学上册《乘法公式》期末综合知识点分类训练（附答案）
一．完全平方公式
1．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2的值是 ．
2．若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝ ．
3．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝ ．
4．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；系数和为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…，
则（a+b）n的展开式共有 项，系数和为 ．
5．已知（2028﹣a）2+（2027﹣a）2＝1，则（2028﹣a） （2027﹣a）＝ ．
6．已知a+b＝5，ab＝3，则a﹣b＝ ．
7．若（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝14，则代数式a2+b2的值为 ．
8．定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝6，x＝ ．
9．如果x2﹣4x+1＝0，那么＝ ．
10．已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．
（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；
（2）求m2+n2的值．
11．已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．
12．已知：x+y＝6，xy＝4，求下列各式的值
（1）x2+y2
（2）（x﹣y）2．
13．已知：（x+y）2＝6，（x﹣y）2＝2，试求：
（1）x2+y2的值；
（2）xy的值．
14．已知a+b＝3，ab＝﹣4，求a2﹣ab+b2的值．
15．已知x+＝4，求x﹣的值．
16．下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如：
（a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中所缺的系数．
（a+b）＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+ a3b+ a2b2+ ab3+b4．
17．我国宋代数学家杨辉写了一本书《详解九章算术》．书中记载了一个用数字排成的三角形我们叫作杨辉三角形
（a+b）0＝1…1
（a+b）1＝a+b…1 1
（a+b）2＝a2+2ab+b2…1 2 1
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3…1 3 3 1
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4… 1 4 6 4 1
（1）请写出第五行的数字 ；
（2）第n行杨辉三角形数字与（a+b）n的展开结果关系如上图所示，请写出（a+b）5的展开结果；
（3）已知（a﹣b）1＝a﹣b，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，（a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．请写出（a﹣b）5的展开结果．
二．完全平方公式的几何背景
18．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为 ．
19．用4块完全相同的长方形拼成正方形（如图），用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于a，b的等式为 ．
20．利用一个a×a的正方形，4个b×b的正方形，4个a×b的长方形，可拼成一个无缝隙且不重叠的大正方形，则这个大正方形的边长是 ．
21．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；并由此得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，
求：①a+b的值； ②a﹣b的值．
22．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．
（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
23．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
三．完全平方式
24．如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（ ）
A．a2+4ab+4b2 B．4a2+8ab+4b2
C．4a2+4ab+b2 D．a2+2ab+b2
25．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是 ．
26．已知x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，则m＝ ．
27．若x2+（m﹣3）x+16是完全平方式，则m＝ ．
28．已知x2+mx+9是完全平方式，则常数m等于 ．
四．平方差公式
29．计算并观察、探究下列式子
①（x﹣1）（x+1）＝
②（x﹣1）（x2+x+1）＝
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
⑤（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1
…
由以上规律
（1）填空：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ ．
（2）求：22022+22021+22020+…+22+2+1 的值．
五．平方差公式的几何背景
30．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
31．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
参考答案
一．完全平方公式
1．解：∵a+b＝5，
∴a2+2ab+b2＝25，
将ab＝3，代入得：a2+b2+6＝25，
∴a2+b2＝19．
2．解：因为x﹣y＝3，xy＝1，
则x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9+2＝11，
故答案为：11
3．解：把知a+b＝5两边平方，
可得：a2+2ab+b2＝25，
把ab＝3代入得：a2+b2＝25﹣6＝19，
故答案为：19．
4．解：展开式共有n+1项，系数和为2n．
故答案为：n+1，2n．
5．解：∵（2028﹣a）2+（2027﹣a）2＝1，
∴（2028﹣a）2﹣2（2028﹣a）（2027﹣a）+（2027﹣a）2＝1﹣2（2028﹣a）（2027﹣a），
即（2028﹣a﹣2027+a）2＝1﹣2（2028﹣a）（2027﹣a），
整理得﹣2（2028﹣a）（2027﹣a）＝0，
∴（2028﹣a）（2027﹣a）＝0．
6．解：∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴（a﹣b）2＝25﹣4×3＝13．
∴a﹣b＝±．
故答案为：±．
7．解：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝14②，
①+②得：2（a2+b2）＝30，
则a2+b2＝15．
故答案为：15
8．解：根据题意得：（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝6，
去括号得：x2+2x+1+x2﹣2x+1＝6，
整理得：2x2＝4，
解得：x＝±．
故答案为：±
9．解：把x2﹣4x+1＝0方程两边都除以x得，x+＝4，
两边平方得，x2++2＝16，
所以，x2+＝14，
＝＝＝．
故答案为：．
10．解：（1）因为m+n＝6，mn＝﹣3，
所以（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣2×6+4＝﹣11．
（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42．
11．解：∵a+b＝3，
∴a2+2ab+b2＝9，
∵ab＝2，
∴a2+b2＝9﹣2×2＝5；
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．
12．解：（1）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴当x+y＝6，xy＝4，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×4＝28；
（2）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴当x+y＝6，xy＝4，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝62﹣4×4＝20．
13．解：（1）∵（x+y）2+（x﹣y）2＝x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝2（x2+y2），
则x2+y2＝[（x+y）2+（x﹣y）2]＝×（6+2）＝4；
（2）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝4xy，
∴xy＝[（x+y）2﹣（x﹣y）2]＝×（6﹣2）＝1．
14．解：a2﹣ab+b2
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣2ab﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
当a+b＝3，ab＝﹣4时，
原式＝32﹣3×（﹣4）
＝9+12
＝21．
15．解：∵，
∴，
∴x2+＝14，
∵（x﹣）2＝x2+﹣2＝12，
∴x﹣＝．
16．解：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：4，6，4．
17．解：（1）根据题意可推出第五行的数字为：1、5、10、10、5、1，
（2）（a+b）5＝（a+b）3（a+b）2
＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
（3）（a﹣b）5＝（a﹣b）3（a﹣b）2
＝（a3﹣3a2b+3ab2﹣b3）（a2﹣2ab+b2）
＝a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5．
故答案为1、5、10、10、5、1．
二．完全平方公式的几何背景（共6小题）
18．解：S阴影＝a2﹣（a﹣b）b＝a2﹣ab+b2＝（a2﹣ab+b2）＝[（a+b）2﹣3ab]，
又∵a+b＝10，ab＝18，
∴S阴影＝[（a+b）2﹣3ab]＝[（10）2﹣3×18]＝23，
故答案为23．
19．解：S阴影＝4S长方形＝4ab①，
S阴影＝S大正方形﹣S空白小正方形＝（a+b）2﹣（b﹣a）2②，
由①②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
20．解：一个边长为a的正方形的面积是a2，
4个边长为b的正方形的面积是4b2，
4个边长为a×b的长方形的面积是4ab，
∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），
故答案为：a+2b．
21．解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：
a2+b2或 （a+b）2﹣2ab；
由此得到怎样的等量关系：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）∵a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，
∴①（a+b）2＝a2+b2+2ab
＝53+2×14＝81
∴a+b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9．
②（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab
＝53﹣2×14
＝25，
∴a﹣b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a﹣b＝5．
22．解：（1）由题意，可得：（a+a+b）（b+a+b）＝ab+a2+b2+a2+ab+ab+b2+ab+ab，
整理，得：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）由（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2可知，图形的两个边长为a+b和a+3b；里边的小图形有八个，一个面积为a2，4个面积为ab，3个面积为b2．
23．解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，
又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，
∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25
（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．
三．完全平方式
24．解：由题意，得a2+4ab+4b2
故选：A．
25．解：中间一项为加上或减去3x和2y积的2倍．
故k＝±12．
26．解：∵x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，
∴m+3＝±3，
解得：m＝﹣6或m＝0，
故答案为：﹣6或0
27．解：∵x2+（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴m﹣3＝±8，
解得：m＝11或m＝﹣5，
故答案为：11或﹣5
28．解：x2+mx+9＝x2+mx+32，
∵x2+mx+9是完全平方式，
∴mx＝±2 x 3，
解得：m＝±6，
故答案为：±6．
四．平方差公式
29．解：①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
⑤（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；
…
由以上规律
（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
（2）原式＝（2﹣1）×（22022+22021+22020+…+22+2+1）＝22023﹣1，
则22022+22021+22020+…+22+2+1＝22023﹣1．
故答案为：①x2﹣1；②x3﹣1；（1）xn+1﹣1
五．平方差公式的几何背景
30．解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）] [2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
31．解：（1），S2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝（216﹣1）+1
＝216．
一．完全平方公式
1．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2的值是 ．
2．若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝ ．
3．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝ ．
4．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；系数和为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…，
则（a+b）n的展开式共有 项，系数和为 ．
5．已知（2028﹣a）2+（2027﹣a）2＝1，则（2028﹣a） （2027﹣a）＝ ．
6．已知a+b＝5，ab＝3，则a﹣b＝ ．
7．若（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝14，则代数式a2+b2的值为 ．
8．定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝6，x＝ ．
9．如果x2﹣4x+1＝0，那么＝ ．
10．已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．
（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；
（2）求m2+n2的值．
11．已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．
12．已知：x+y＝6，xy＝4，求下列各式的值
（1）x2+y2
（2）（x﹣y）2．
13．已知：（x+y）2＝6，（x﹣y）2＝2，试求：
（1）x2+y2的值；
（2）xy的值．
14．已知a+b＝3，ab＝﹣4，求a2﹣ab+b2的值．
15．已知x+＝4，求x﹣的值．
16．下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如：
（a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中所缺的系数．
（a+b）＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+ a3b+ a2b2+ ab3+b4．
17．我国宋代数学家杨辉写了一本书《详解九章算术》．书中记载了一个用数字排成的三角形我们叫作杨辉三角形
（a+b）0＝1…1
（a+b）1＝a+b…1 1
（a+b）2＝a2+2ab+b2…1 2 1
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3…1 3 3 1
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4… 1 4 6 4 1
（1）请写出第五行的数字 ；
（2）第n行杨辉三角形数字与（a+b）n的展开结果关系如上图所示，请写出（a+b）5的展开结果；
（3）已知（a﹣b）1＝a﹣b，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，（a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．请写出（a﹣b）5的展开结果．
二．完全平方公式的几何背景
18．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为 ．
19．用4块完全相同的长方形拼成正方形（如图），用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于a，b的等式为 ．
20．利用一个a×a的正方形，4个b×b的正方形，4个a×b的长方形，可拼成一个无缝隙且不重叠的大正方形，则这个大正方形的边长是 ．
21．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；并由此得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，
求：①a+b的值； ②a﹣b的值．
22．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．
（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
23．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
三．完全平方式
24．如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（ ）
A．a2+4ab+4b2 B．4a2+8ab+4b2
C．4a2+4ab+b2 D．a2+2ab+b2
25．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是 ．
26．已知x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，则m＝ ．
27．若x2+（m﹣3）x+16是完全平方式，则m＝ ．
28．已知x2+mx+9是完全平方式，则常数m等于 ．
四．平方差公式
29．计算并观察、探究下列式子
①（x﹣1）（x+1）＝
②（x﹣1）（x2+x+1）＝
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
⑤（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1
…
由以上规律
（1）填空：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ ．
（2）求：22022+22021+22020+…+22+2+1 的值．
五．平方差公式的几何背景
30．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
31．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
参考答案
一．完全平方公式
1．解：∵a+b＝5，
∴a2+2ab+b2＝25，
将ab＝3，代入得：a2+b2+6＝25，
∴a2+b2＝19．
2．解：因为x﹣y＝3，xy＝1，
则x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9+2＝11，
故答案为：11
3．解：把知a+b＝5两边平方，
可得：a2+2ab+b2＝25，
把ab＝3代入得：a2+b2＝25﹣6＝19，
故答案为：19．
4．解：展开式共有n+1项，系数和为2n．
故答案为：n+1，2n．
5．解：∵（2028﹣a）2+（2027﹣a）2＝1，
∴（2028﹣a）2﹣2（2028﹣a）（2027﹣a）+（2027﹣a）2＝1﹣2（2028﹣a）（2027﹣a），
即（2028﹣a﹣2027+a）2＝1﹣2（2028﹣a）（2027﹣a），
整理得﹣2（2028﹣a）（2027﹣a）＝0，
∴（2028﹣a）（2027﹣a）＝0．
6．解：∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴（a﹣b）2＝25﹣4×3＝13．
∴a﹣b＝±．
故答案为：±．
7．解：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝14②，
①+②得：2（a2+b2）＝30，
则a2+b2＝15．
故答案为：15
8．解：根据题意得：（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝6，
去括号得：x2+2x+1+x2﹣2x+1＝6，
整理得：2x2＝4，
解得：x＝±．
故答案为：±
9．解：把x2﹣4x+1＝0方程两边都除以x得，x+＝4，
两边平方得，x2++2＝16，
所以，x2+＝14，
＝＝＝．
故答案为：．
10．解：（1）因为m+n＝6，mn＝﹣3，
所以（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣2×6+4＝﹣11．
（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42．
11．解：∵a+b＝3，
∴a2+2ab+b2＝9，
∵ab＝2，
∴a2+b2＝9﹣2×2＝5；
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．
12．解：（1）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴当x+y＝6，xy＝4，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×4＝28；
（2）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴当x+y＝6，xy＝4，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝62﹣4×4＝20．
13．解：（1）∵（x+y）2+（x﹣y）2＝x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝2（x2+y2），
则x2+y2＝[（x+y）2+（x﹣y）2]＝×（6+2）＝4；
（2）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝4xy，
∴xy＝[（x+y）2﹣（x﹣y）2]＝×（6﹣2）＝1．
14．解：a2﹣ab+b2
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣2ab﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
当a+b＝3，ab＝﹣4时，
原式＝32﹣3×（﹣4）
＝9+12
＝21．
15．解：∵，
∴，
∴x2+＝14，
∵（x﹣）2＝x2+﹣2＝12，
∴x﹣＝．
16．解：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：4，6，4．
17．解：（1）根据题意可推出第五行的数字为：1、5、10、10、5、1，
（2）（a+b）5＝（a+b）3（a+b）2
＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
（3）（a﹣b）5＝（a﹣b）3（a﹣b）2
＝（a3﹣3a2b+3ab2﹣b3）（a2﹣2ab+b2）
＝a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5．
故答案为1、5、10、10、5、1．
二．完全平方公式的几何背景（共6小题）
18．解：S阴影＝a2﹣（a﹣b）b＝a2﹣ab+b2＝（a2﹣ab+b2）＝[（a+b）2﹣3ab]，
又∵a+b＝10，ab＝18，
∴S阴影＝[（a+b）2﹣3ab]＝[（10）2﹣3×18]＝23，
故答案为23．
19．解：S阴影＝4S长方形＝4ab①，
S阴影＝S大正方形﹣S空白小正方形＝（a+b）2﹣（b﹣a）2②，
由①②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
20．解：一个边长为a的正方形的面积是a2，
4个边长为b的正方形的面积是4b2，
4个边长为a×b的长方形的面积是4ab，
∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），
故答案为：a+2b．
21．解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：
a2+b2或 （a+b）2﹣2ab；
由此得到怎样的等量关系：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）∵a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，
∴①（a+b）2＝a2+b2+2ab
＝53+2×14＝81
∴a+b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9．
②（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab
＝53﹣2×14
＝25，
∴a﹣b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a﹣b＝5．
22．解：（1）由题意，可得：（a+a+b）（b+a+b）＝ab+a2+b2+a2+ab+ab+b2+ab+ab，
整理，得：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）由（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2可知，图形的两个边长为a+b和a+3b；里边的小图形有八个，一个面积为a2，4个面积为ab，3个面积为b2．
23．解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，
又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，
∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25
（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．
三．完全平方式
24．解：由题意，得a2+4ab+4b2
故选：A．
25．解：中间一项为加上或减去3x和2y积的2倍．
故k＝±12．
26．解：∵x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，
∴m+3＝±3，
解得：m＝﹣6或m＝0，
故答案为：﹣6或0
27．解：∵x2+（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴m﹣3＝±8，
解得：m＝11或m＝﹣5，
故答案为：11或﹣5
28．解：x2+mx+9＝x2+mx+32，
∵x2+mx+9是完全平方式，
∴mx＝±2 x 3，
解得：m＝±6，
故答案为：±6．
四．平方差公式
29．解：①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
⑤（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；
…
由以上规律
（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
（2）原式＝（2﹣1）×（22022+22021+22020+…+22+2+1）＝22023﹣1，
则22022+22021+22020+…+22+2+1＝22023﹣1．
故答案为：①x2﹣1；②x3﹣1；（1）xn+1﹣1
五．平方差公式的几何背景
30．解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）] [2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
31．解：（1），S2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝（216﹣1）+1
＝216．