2021-2022学年人教版（五四制）九年级数学上册期末复习试题（word版含解析）

2021-2022学年人教五四新版九年级上册数学期末复习试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则m的值是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
2．如下左图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列语句中不正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；
③弧长相等的弧是等弧； ④半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如上右图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值是（　　）
A．5.8 B．3.8 C．1.3 D．2.5
5．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
7．抛物线y＝x2﹣4x+4与x轴的公共点的坐标是（　　）
A．（2，0），（，0） B．（2，0）
C．（0，2） D．（﹣2，0）
8．如下左图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如上中图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（　　）
A．36π B．60π C．96π D．100π
10．如上右图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得、恰好都经过圆心O，折痕为AB、BC，则阴影部分的面积为（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为　 　．
12．将抛物线y＝2x2向左平移2个单位，所得抛物线的对称轴是直线　 　．
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解是　 　，　 　．
14．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是　 　．
15．如下左图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　 　．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，则其解析式为　 　．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则sinA的值为　 　．
18．用一块等边三角形的硬纸片（如上右图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如上右图2），在△ABC的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为　 　．
19．等腰△ABC中，AB＝AC＝8cm，BC＝6cm，则内切圆的半径为　 　．
20．如下左图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是　 　．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（4分）计算：tan60°﹣2cos30°+sin45°．
22．（6分）如上右图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上．
（1）直接写出圆心P的坐标，并直接写出cos∠CAP的值．
（2）求的长度．
23．（7分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PO的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
24．（7分）某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 …
y1＝x2﹣4x+3 … 15 8 　 　 0 0 3 　 　 15 …
y＝|x2﹣4x+3| … 15 8 　 　 0 0 3 　 　 15 …
（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3的图象如何变化得到？
答：　 　．
（2）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E，F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是　 　．
（3）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线BC的解析式；
②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
25．（9分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
26．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
27．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝90°．D是⊙O上一点，连接CD，与AB交于点F，过点A作⊙O的切线交DC延长线于点E，已知AC＝EC．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AE＝2，EF＝2，求⊙O的直径．
28．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（点B在点A的右边），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝3，函数图象开口向上，当x＝3时取得最小值﹣1，
∵当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，当x＝0时，y＝8，当x＝6时，y＝8，
∴m＝6，
故选：C．
2．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故本选项正确；
②由对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故本选项正确；
③由对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故本选项正确；
故选：D．
3．解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
③在同圆或等圆中弧长相等的弧是等弧，故错误；
④半圆是弧，故正确；
故选：C．
4．解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，则AH＝BH＝AB＝4，
在Rt△OAH中，OH＝＝＝3，
所以OP的范围为3≤O＜5．
故选：B．
5．解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，C错误；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
6．解：设Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
由于tanA＝＝2，
可设a＝2k，b＝k，由勾股定理得，
c＝＝5k，
∴sinB＝＝，
故选：A．
7．解：∵抛物线y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴当y＝0时，x＝2，
即抛物线y＝x2﹣4x+4与x轴的公共点的坐标是（2，0），
故选：B．
8．解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
9．解：底面周长是：2×6π＝12π，
则圆锥的侧面积是：×12π×10＝60π．
故选：B．
10．解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：
∵OD＝AO
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOC＝×⊙O面积＝×π×22＝π（cm2）；
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．解：∵y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．解：抛物线y＝2x2向左平移2个单位，所得抛物线解析式为：y＝2（x+2）2，则其对称轴是直线x＝﹣2．
故答案是：x＝﹣2．
13．解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．
所以x1＝﹣1，x2＝5．
故答案是：x1＝﹣1，x2＝5．
14．解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d＝5，r＝6，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
故答案为：相交．
15．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝25，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故答案为：50．
16．解：y＝ax2+bx+c，对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，
∴对一切实数x恒有x≤ax2+bx+c≤2x2+，
∴当x＝0时，0≤c≤，
∵c为整数，
∴c＝0，
∴x≤ax2+bx≤2x2+，
当ax2+bx≥x时，可得ax2+（b﹣1）x≥0，
∴，
解得b＝1，
∴ax2+x≤2x2+，
∴（2﹣a）x2﹣x+≥0，
∴当a＝2时，﹣x+≥0不是对于一切x成立，故不符合题意；
当a≠2时，，
解得a≤1，
又∵a＞0且为整数，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2+x，
故答案为：y＝x2+x．
17．解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴sinA＝＝＝；
故答案为：．
18．解：四边形ANDM角的度数之和为360°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
因为要做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子，
所以∠AMD＝∠AND＝90°，
所以∠MDN＝120°．
故填120°．
19．解：如图，设三角形的内切圆为⊙O，切点分别为D、E、F，
过AD⊥BC与D，
设OE＝OD＝OF＝rcm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴可以确定A、O、D三点在同一直线上，D是BC的中点，
∴BD＝3cm，而AB＝8cm，
∴AD＝＝，
根据切线长定理得AE＝AF，BD＝BE，CD＝CF，
∴AE＝AF＝（AB+AC﹣BC）÷2＝5，
∵AB是内切圆的切线，
∴∠AEO＝90°＝∠ADB，而∠A公共，
∴△ADB∽△AEO，
∴OE：BD＝AE：AD
设OE＝r，
∴r：3＝5：，
∴r＝cm．
故答案为： cm．
20．解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
直线y＝x+t与x轴所形成的锐角是45°．
当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD＝45°．
又OC＝1，则CD＝OD＝，即点C（﹣，），
把点C的坐标代入直线解析式，得
t＝y﹣x＝，
当直线过点A时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝1．
当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝﹣1．
即当t＝或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点；
故答案为t＝或﹣1≤t＜1．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．解：原式＝﹣2×+
＝﹣+
＝．
22．解：（1）如图所示：圆心P的坐标为：（﹣2，1），
∵AP＝PC＝，AC＝2，
∴AP2+PC2＝AC2，
∴△APC是等腰直角三角形，
∴∠CAP＝45°，
∴cos∠CAP＝；
（2）的长度为：＝π．
23．解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴＝，
设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，
∴13k＝26，
解得k＝2，
∴AH＝10，
答：坡顶A到地面PO的距离为10米．
（2）延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC∥PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
设BC＝x，则x+10＝24+DH，
∴AC＝DH＝x﹣14，
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.01．
解得x≈19．
答：古塔BC的高度约为19米．
24．I解：（Ⅰ）列表（完成表格）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 …
y1＝x2﹣4x+3 … 15 8 3 0 ﹣1 0 3 8 15 …
y＝|x2﹣4x+3| … 15 8 3 0 1 0 3 8 15 …
（Ⅱ）描点并画图．
（Ⅲ）（1）y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3将x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变得到；
故答案为x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变；
（2）结合图象，|x2﹣4x+3|＞8时，y＝|x2﹣4x+3|图象在y＝8的上方，
∴解集是x＞5或x＜﹣1；
故答案为x＞5或x＜﹣1
（3）①令x＝0，则y＝|x2﹣4x+3|＝3，
令y＝0，则y＝|x2﹣4x+3|＝0，解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则
∴
∴y＝﹣x+3；
②直线BC过（0，3），（2，1）和（3，0）三个点，如图所示，
此时，直线BC与y＝|x2﹣4x+3|的图象只有3个交点，
∴m＝0．
设直线BC向上平移后的直线为y＝﹣x+3+m，
∵平移后的直线与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，
∴直线BC只能向上平移，且直线y＝﹣x+3+m和y＝﹣x2+4x﹣3有且只有一个交点，
则只有一个解，
于是，消去y得x2﹣5x+6+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝1﹣4m＝0，
∴m＝．
综上所述，m＝0或m＝时将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点．
25．解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣×（10﹣5）2+6＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．
又∵≈1.83＞1.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
26．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．
27．（1）证明：∵∠ACB＝90°．
∴AB是⊙O的直径，
∵EA是⊙O的切线，
∴BA⊥EA，
∴∠EAC+∠CAB＝90°，
∵∠B+∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝∠B，
∵AC＝EC，
∴∠EAC＝∠E，
∴∠E＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠D，
∴AD＝AE；
（2）解：∵∠EAF＝90°，AE＝2，EF＝2，
∴AF＝＝2，
由（1）知：AD＝AE＝2，
∵∠B＝∠E，∠ACB＝∠EAF＝90°，
∴△ACB∽△FAE，
∴＝，
∴AB＝AC，
如图，过点A作AG⊥CD于点G，
设AC＝EC＝t，则CF＝2﹣t，
∵tan∠E＝＝，
sin∠E＝＝＝，
∴AG＝，
∴FG＝＝，
∴EG＝EC+CG，
∴CG＝CF﹣FG＝2﹣t﹣＝﹣t，
∵AC2＝AG2+CG2，
∴t2＝（）2+（﹣t）2，
解得t＝，
∴AB＝AC＝t＝3．
∴⊙O的直径是3．
28．解：（1）∵点C（0，3），OB＝OC，
∴B（3，0），
把A、B、C三点坐标代入y＝ax2+bx+c，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）；
（2）把C向下移1个单位得点C′，再作C′关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点上方取点D，使得DE＝1，连接CD，则CD＝C′E＝C″E，
∵C（0，3），
∴C′（0，2），
∵对称轴是直线x＝1，
∴C″（2，2），
∵A（﹣1，0），
∴AC＝，
AC″＝，
AE+DE+CD+AC＝AE+1+C″E+＝1++AE+C″E＝1++AC″＝1+的值最小，
∴四边形ACDE的周长的最小值为1+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝3：5或5：3，
则AE＝2.5或1.5，
即点E的坐标为（1.5，0）或（0.5，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3，
联立方程组或，
解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）