2022届高三年级苏州八校联盟第二次适应性检测
数学试卷 2021．12
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分．每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知全集 U＝{x∈N*|－2＜x＜9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，那么{2，7，8}是( )
A．M∪P B．M∩P C．(CUM)∪(CUP) D．(CUM)∩(CUP)
2．设 x∈R，“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3 π π 1．已知θ∈[ ， ]，sin2θ＝ ，则 cosθ＝( )
4 2 3
A 6－ 3 B 2 3－ 6 C 2 3＋ 6． ． ． D 2 6－ 3．
6 6 6 6
4．已知复数数列{an}满足 a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，(i为虚数单位)，则 a10＝( )
1
A．2i B．－1＋i C．1＋i D．－2i
2 2
5 x y．已知双曲线 C： － ＝1(a＞0)的离心率为 2，左、右焦点分别为 F1，F2，点 A在双曲
a2 3
线 C上，若△AF1F2的周长为 10，则△AF1F2的面积为( )
A． 15 B．2 15 C．15 D．30
6．已知一平面与一正方体的 12条棱的夹角都等于 a，则 sinα＝( )
A 1 B 3 2 3． ． C． D．
2 3 2 2
2
7．已知 f(x)＝cosx＋2sinx，则下列函数中在 R 上单调递增的是( )
A．y＝f(x)＋x B．y＝f(x)＋x2 C．y＝f(x)＋x3 D．y＝f(x)＋x4
2 2 3x＋y8．已知 x，y满足x ＋y ＝6y－6，则 2 的最大值为( )x ＋y2
A．1 B． 3 C．1 3＋ D 6．1＋
3 3
3
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20分．每小题给出的四个选项中，
都有多个选项是正确的，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，选错或不答的得 0分．请
把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9．已知 a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有( )
A 1 1．若 ac2＞bc2，则 a＞b B．若 ＜ ，则 a＞b
a b
1 1
C．若 a＞b＞0，ac＞bd＞0，则 c＞d D．若 ＞ ，则 a＜b
a2b ab2
10 f(x) 22x x＋1．已知函数 ＝ －2 ＋2，定义域为 M，值域为[1，2]，则下列说法中一定正确的是
( )
A．M＝[0，2] B．M (－∞，1] C．0∈M D．1∈M
4
11．圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名 因为它可以从圆锥中截取获得．我们知道，用一个垂
直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线(截而与圆锥侧面的交线)是一个圆，用一个不垂直
于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分
别是椭圆、抛物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．截
口曲线形状与θ和圆锥轴截面半顶角α有如下关系(θ，α∈(0 π， ))；当θ＞α时，截口曲线为椭
2
圆；当θ＝α时，截口曲线为抛物线：当 0＜α时，截口曲线为双曲线．(如下左图)
现有一定线段 AB与平面β夹角φ(如上右图)，B为斜足，β上一动点 P满足∠BAP＝γ，设 P
点在β的运动轨迹是Γ，则( )
A φ π γ π π．当 ＝ ， ＝ 时，Γ是椭圆 B．当φ＝ ，γ π＝ 时，Γ是双曲线
4 6 3 6
C π π π π．当φ＝ ，γ＝ 时，Γ是抛物线 D．当φ＝ ，γ＝ 时，Γ是椭圆
4 4 3 4
5
6
12．如右图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，点 E、F、G分别是DD1、AD、
BC中点，连结A1D、AC分别交 EF、FG于 S、K两点，则下面选项叙述正确的是( )
A 6．四棱锥 E－DFGC的外接球体积是 π
8
B．SK⊥EC
C．平面 DSK 7π被四棱锥 E－DFGC的外接球所截得的截面面积是
24
D．若⊙O1为正方形 ABCD的内切圆，⊙O2为正方形A1ADD1的外接圆，P、Q分别为⊙O1、
⊙O 3＋ 22上的点，则线段 PQ长度的最大值为
2
7
8
9
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，若两个空，第一个空 2分，第二个空 3分，共
计 20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．过点( 2 2－ 3，1)的直线与圆x ＋y ＝4相切，则直线在 y轴上的截距为 ．
10
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝nan，且S2＋S4＋S6＋…＋S60＝1860，则a1＝ ．
15．如下图，在矩形 ABCD中，AB＝3，AD＝2，DE＝2EC，M为 BC的中点，若点 P在线
→
段 BD上运动，则PE
→
·PM的最小值为 ．
16．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征．对于圆 x2＋y2＝r2，与
点(x0，y0)对应的及线方程为 x0x＋y0y＝r2，我们还知道如果点(x0，y0)在圆上，极线方程即为
切线方程；如果点(x0，y0)在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程．同样，对于椭圆
11
x2 y2 x x y y 2 2
2＋ 2＝1 (x
0 0 x y
，与点 0，y0)对应的极线方程为 2＋ ＝1．如上图，已知椭圆C： ＋ ＝1，a b a b2 4 3
P(－4，t)，过点 P 作椭圆 C 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程
为 ；直线 AB与 OP交于点 M，则 sin∠PMB的最小值是 ．
四、解答题：本大题共 6小题，共计 70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
→ x x → → →
已知向量 a＝(cos ＋sin ，2sinx)， b＝(cosx－sinx， 3cosx)，函数 f(x)＝ a· b．
2 2 2 2 2 2
(1)求函数 f(x)的最大值，并指出 f(x)取最大值时 x的取值集合；
12
(2) α β cos(α β) 12 f(β) 6 f(α π若 ， 为锐角， ＋ ＝ ， ＝ ，求 ＋ )的值．
13 5 6
【解析】
18．(本小题满分 12分)
设等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且 an＋1＝2Sn＋1，(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式
(2) 1在 an与 an－1之间插入 n个实数，使这 n＋2个数依次组成公差为 dn的等差数列，设数列{ }dn
13
15
的前 n项和为 Tn．求证：Tn＜ ．
8
【解析】
19．(本小题满分 12分)
如右图所示，在直角三角形 ABC中，∠ACB＝90°，点 D，E分别在边 AB，BC上，CD＝5，
CE＝3，且△EDC的面积为 3 6．
(1)求边 DE的长；
14
(2)若 AD＝3，求△ABC的面积．
A
D
C B
E
【解析】
20．(本小题满分 12分)
如图，在三棱台 ABC－DEF中，二面角 B－AD－C是直二面角，AB⊥AC，AB＝3，AD＝
DF＝FC＝1，AC＝2．
(1)求证：AB⊥平面 ACFD；
(2)求二面角 F－BE－D的平面角的余弦值．
15
【解析】
16
21．(本小题满分 12分)
已知函数f(x)＝e－x－alnx－2x(a∈R，x＞0)
(1)若 a＝1，x0是函数 f(x)
x
的零点，求证：x0·e 0＝1；
(2) －x 2证明：对任意 x＞0，0＜a≤1，都有asinx－xlnx＜e ＋x ．
【解析】
17
22．(本小题满分 12分)
2
设抛物线C：x ＝2py(p＞0)的焦点为 F，抛物线 C上一点 A的横坐标为x1(x1＞0)，过点 A作
p
抛物线 C的切线 l1，与 x轴交于点 D，与 y轴交于点 E，与直线 l：y＝ 交于点 M．当|FD|
2
＝2时，∠AFD＝60°．
(1)求抛物线 C的方程；
(2)若 B为 y轴左侧抛物线 C上一点，过 B作抛物线 C的切线 l2，与直线 l1交于点 P，与直
线 l交于点 N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时 x1的值．
【解析】
18
192022届高三年级苏州八校联盟第二次适应性检测
数学试卷 2021．12
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知全集U＝{x∈N*|－2＜x＜9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，那么{2，7，8}是( )
A．M∪P B．M∩P C．(CUM)∪(CUP) D．(CUM)∩(CUP)
2．设x∈R，“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知θ∈[，]，sin2θ＝，则cosθ＝( )
A． B． C． D．
4．已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，(i为虚数单位)，则a10＝( )
A．2i B．－1＋i C．1＋i D．－2i
5．已知双曲线C：(a＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10，则△AF1F2的面积为( )
A． B．2 C．15 D．30
6．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于a，则sinα＝( )
A． B． C． D．
7．已知f(x)＝cosx＋2sinx，则下列函数中在R上单调递增的是( )
A．y＝f(x)＋x B．y＝f(x)＋x2 C．y＝f(x)＋x3 D．y＝f(x)＋x4
8．已知x，y满足，则的最大值为( )
A．1 B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9．已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有( )
A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若，则a＞b
C．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞d D．若，则a＜b
10．已知函数，定义域为M，值域为[1，2]，则下列说法中一定正确的是( )
A．M＝[0，2] B．M(－∞，1] C．0∈M D．1∈M
11．圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名 因为它可以从圆锥中截取获得．我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线(截而与圆锥侧面的交线)是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．截口曲线形状与θ和圆锥轴截面半顶角α有如下关系(θ，α∈；当θ＞α时，截口曲线为椭圆；当θ＝α时，截口曲线为抛物线：当0＜α时，截口曲线为双曲线．(如下左图)
现有一定线段AB与平面β夹角φ(如上右图)，B为斜足，β上一动点P满足∠BAP＝γ，设P点在β的运动轨迹是Γ，则( )
A．当φ＝时，Γ是椭圆 B．当φ＝时，Γ是双曲线
C．当φ＝时，Γ是抛物线 D．当φ＝时，Γ是椭圆
12．如右图所示，已知正方体的棱长为1，点E、F、G分别是、BC中点，连结分别交EF、FG于S、K两点，则下面选项叙述正确的是( )
A．四棱锥E－DFGC的外接球体积是
B．SK⊥EC
C．平面DSK被四棱锥E－DFGC的外接球所截得的截面面积是
D．若为正方形ABCD的内切圆，为正方形的外接圆，P、Q分别为⊙O1、⊙O2上的点，则线段PQ长度的最大值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．过点的直线与圆相切，则直线在y轴上的截距为 ．
14．已知数列的前n项和为，若，且，则 ．
15．如下图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，DE＝2EC，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则的最小值为 ．
16．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征．对于圆x2＋y2＝r2，与点(x0，y0)对应的及线方程为x0x＋y0y＝r2，我们还知道如果点(x0，y0)在圆上，极线方程即为切线方程；如果点(x0，y0)在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程．同样，对于椭圆，与点(x0，y0)对应的极线方程为．如上图，已知椭圆，P(－4，t)，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ；直线AB与OP交于点M，则sin∠PMB的最小值是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知向量＝(cos＋sin，2sin)，＝(cos－sin，cos)，函数f(x)＝·．
(1)求函数f(x)的最大值，并指出f(x)取最大值时x的取值集合；
(2)若α，β为锐角，cos(α＋β)＝，f(β)＝，求f(α＋)的值．
18．(本小题满分12分)
设等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋1，(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式
(2)在an与an－1之间插入n个实数，使这n＋2个数依次组成公差为dn的等差数列，设数列{}的前n项和为Tn．求证：Tn＜．
19．(本小题满分12分)
如右图所示，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3．
(1)求边DE的长；
(2)若AD＝3，求△ABC的面积．
20．(本小题满分12分)
如图，在三棱台ABC－DEF中，二面角B－AD－C是直二面角，AB⊥AC，AB＝3，AD＝DF＝FC＝1，AC＝2．
(1)求证：AB⊥平面ACFD；
(2)求二面角F－BE－D的平面角的余弦值．
21．(本小题满分12分)
已知函数，x＞0)
(1)若a＝1，是函数f(x)的零点，求证：；
(2)证明：对任意x＞0，0＜a≤1，都有．
22．(本小题满分12分)
设抛物线的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为，过点A作抛物线C的切线l1，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：交于点M．当|FD|＝2时，∠AFD＝60°．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线l2，与直线l1交于点P，与直线l交于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时x1的值．
