2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.4.1 平面几何中的向量方法课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
前面我们学面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算.本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题.
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
学习了向量的线性运算和数量积运算，我们发现很多几何图形的性质可以由向量的线性运算和数量积运算表示出来，例如
因此，平面几何中许多问题就可以用向量的方法来解决.
平行：
垂直：
夹角：
长度：
有了运算， 向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标.
例1 如图示，DE是 ABC的中位线，用向量方法证明：
下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.
平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题. 用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题:
例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
解：
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系:
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系:
如图示，已知△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C.
练习
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1. 证明: 等腰三角形的两个底角相等.
2. 如图示，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值.
练习
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x
y
3. 如图示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N. 设AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值.
练习
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1. 三角形的四心概念
（1）重心：
三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；
（2）垂心：
三角形三条高线的交点；
（3）内心：
即三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，内心到三边距离相等；
（4）外心：
即三角形外接圆的圆心，是三条边的中垂线的交点，外心到三个顶点距离相等；
点G是重心
点H是垂心
点I是内心
点O是外心
三角形的四心与向量的结合：
2. 四心对应的向量式
外心
垂心
内心
重心
下面证明四心的向量式.
证明：
D
E
A
B
C
G
若点G是△ABC 的重心，则
(1) 点G是三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；
三角形重心的性质：
证明：
，
C
D
C
点G是重心
小结:
平面几何中的向量方法:
1. 证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模.
2. 证明线段、直线平行,转化为证明向量平行.
3. 证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直.
4. 几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题.
5. 对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题.
作业：
课本P52习题6.4第1,2,3,19题