沪科版数学八年级上册 15.4 角的平分线 课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
角的平分线
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
在半透明的纸上画∠BAC，对折，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OD。
从上面试验可以看出，角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线。
B
C
A
D
不利用作图工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
情景引入
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
用尺规作图的方法作出角的平分线。
探究
已知：如图，∠AOB。求作：∠AOB的平分线。
O
A
B
C
M
N
画法：
1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。
2.分别以M、N为圆心。大于1/2MN的长为半径作弧。两弧在∠AOB的内部交于C。
3.作射线OC。
射线OC即为所求。
B
A
.
C
E
D
过直线上一点作这条直线的垂线
画法：
１.以C为圆心，适当长为半径作弧，交ＡB于D，E。
2.分别以D，E为圆心。大于 1/2 DE的长为半径作弧。两弧交于F。
3.作直线FＣ，直线FＣ，即为所求。
F
A
D
过直线外一点作这条直线的垂线
B
E
.
k
c
画法：
１.任意取一点K，使K和C在AB两旁。
3.分别以D、E为圆心。大于1/2DE的长为半径作弧。两弧交于F。
4.作直线FC，即为所求。
2.以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于D、E。
F
角平分线的性质
已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。求证：PD=PE。
1
2
A
B
D
E
P
O
C
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。
证明：
∵ OC是∠AOB的平分线(已知)，
∴∠1=∠2(角平分线的定义)。
∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO (已证)，
∠1＝∠2(已证)，
OP＝OP(公共边)，
∴△PDO≌△PEO (AAS)。
1
2
A
B
D
E
P
O
C
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。
O
C
B
1
A
2
P
D
E
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，
在Rt△PDO与Rt△PEO中
∴∠PDO=∠PEO=90°
PD=PE（已知）
｛
OP=OP（公共边）
∴Rt△PDO≌△PDO
∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上。
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
角平分线的判定定理：
角的内部到角两边的距离相等的点在这个角平分线上。　
角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径。
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：点P在∠BAC的角平分线上。
A
B
C
M
N
P
D
E
F
证明：
过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上。
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）
同理，PE=PF
∴PD=PF
∴AP平分∠BAC　
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。求证：点F在∠DAE的平分线上。
C
D
A
B
F
E
O
Q
P
变式
1.画一个已知角的角平分线；
2.角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
3.角平分线的判定结论：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
小结：
谢 谢