2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册1.4.3诱导公式与对称 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
§ 1.4.3 诱导公式与对称
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．
2．理解诱导公式的推导过程
3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题．
数学素养
1.通过诱导公式的推导过程，培养逻辑推理素养．
2.通过诱导公式的应用，提升数学运算素养.
环节一
引入新课
新课引入
零角
角
→ 正的角度数
→ 0°
比如: 30°, 600°
比如:-30°,-600°
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
1°是如何定义的？
六十进制
角度制
同学们，sin
那么，sin
那么，c
后两个角都不是我们熟悉的锐角，其三角函数值我们不能直接得出，这需要一组公式来帮助我们把负角化为正角，把大角化为小角，然后，我们就能口算出结果了。这组公式叫三角诱导公式。
环节二
角α与-α的正弦函数、余弦函数关系
角α与-α的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，设任意角α和-a的终边与单位圆的交点分别为点P和P'，如图
p(u,v)
(u,-v)
不难看出，这两个角的终边OP，OP'关于x轴对称.
因此，点P和P'的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反
根据正余弦函数定义知
sin(一a)=一sin a，所以正弦函数v=sina是奇函数；
cos(一α)=cosα，所以余弦函数u=cos a是偶函数.
角α与-α的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，设任意角α和-a的终边与单位圆的交点分别为点P和P'，如图
p(u,v)
(u,-v)
不难看出，这两个角的终边OP，OP'关于x轴对称.
因此，点P和P'的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反
sin(一a)=一sin a，所以正弦函数v=sina是奇函数；
cos(一α)=cosα，所以余弦函数u=cos a是偶函数.
那么，sin
-
环节三
角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系
角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，当点P沿逆(顺)时针方向旋转 弧度至点P'时，点P'就是 ± 的终边与单位圆的交点
p(u,v)
(-u,-v)
不难看出.点P'与点P关于原点对称.因此，它们的横坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标的绝对值也相等且符号相反，
sin(a+ )=―sinα. sin(a-π)=-sinα
cos(a+π)=-cosα. cos(a-π)=-cos a
根据正余弦函数定义知
角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，当点P沿逆(顺)时针方向旋转 弧度至点P'时，点P'就是 ± 的终边与单位圆的交点
p(u,v)
(-u,-v)
不难看出.点P'与点P关于原点对称.因此，它们的横坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标的绝对值也相等且符号相反，
sin(a+ )=―sinα. sin(a-π)=-sinα
cos(a+π)=-cosα. cos(a-π)=-cos a
那么，c
c-
环节四
角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系
角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，如图，任意角α与π-α的终边关于y轴对称.
因此，点P和点P'的纵坐标相等，横坐标的绝对值相同等且符号相反，
p(u,v)

-
(-u, v)
sin(π—α)=sinα,
cos(π=α)=-cos a.
根据正余弦函数定义知
角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系
p(u,v)

-
(-u, v)
sin(π-α)=-sin(a- )=-(-sin a)=sina,
cos(π-α)=cos(α-π)=-cosα.
能否利用前两组公式推导？
体会角的终边轴对称与中心对称
答案(1)y轴　(2)原点　(3)原点
体会角的终边轴对称与中心对称
例2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________.
体会角的终边轴对称与中心对称
例3.画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系. 与； 与 与答， 与.
对诱导公式的理解
对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z):
sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α.
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.
sin(α+π)=sin(π+α)=-sin α,cos(α+π)=cos(π+α)=-cos α.
sin(α-π)=-sin α,cos(α-π)=-cos α.
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
诱导后，三角函数名称不变，符号看象限。
将α看作锐角时,确定原角所在象限,再根据“一全正,二正弦,三全负,四余弦”的符号规律确定原函数值符号.
环节五
诱导公式的应用
给角求值
例4.（教材例题6）求下列三角函数值：
解

给角求值
例4.（教材例题6）求下列三角函数值：

给角求值
例4.（教材例题6）求下列三角函数值：
给角求值
例4.（教材例题6）求下列三角函数值：
给值求值
给值求值
解题心得
(1)对于负角的正弦函数、余弦函数求值,可先利用诱导公式化为正角的正弦函数、余弦函数.若转化之后的正角大于360°,再利用诱导公式化为(0°,360°)之间的角的正弦函数、余弦函数.
(2)当化成的角是(90°,180°)之间的角时,再利用180°-α的诱导公式化为(0°,90°)之间的角的正弦函数、余弦函数.
环节五
学习与反思
检测
1.求下列三角函数值：

(1) cos135°;

(5) sin870°;
检测
2.计算：
检测
3.角α的终边与单位圆交于点 分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角 a，2π-a的正弦函数值、余弦函数值.