2021-2022学年沪科版八年级数学上册第14章全等三角形单元复习课教学设计
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年沪科版八年级数学上册第14章全等三角形单元复习课教学设计 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 97.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-26 18:50:44 | ||
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文档简介
全等三角形单元复习课教学设计
教学内容分析
本节课是基于学习沪科版八年级数学上册第 14 章《全等三角形》和第 15 章《轴对称图形和等腰三角形》的一节复习课，学生己经学习了全等三角形的定义、性质及判定，基本掌握等腰三角形、角平分线的性质和判定，通过本节课的复习进一步加强学生对全等三角形中 相关知识的综合应用能力。全等是特殊的相似，全等三角形的内容是 学习相似的重要基础。另外，全等三角形是证明线段相等和角相等的 重要工具，因此，本章的内容也是后续学习四边形、圆等内容的基础。
本单元的研究思路、内容和方法与平行线的研究一脉相承，分别从 定义一性质一判定一应用四个方面进行展开，并以画图、实验、归纳、猜想、证明为研究方法。在三角形全等的几种判定方法中，通过平移、旋转、翻折等方法来构造全等三角形，既体现了图形的运动变化，也 体现了探索三角形全等的合同变换的思想。
学情分析
学生已经学完全等三角形这章的内容，了解了这一章的整体内容，能独立应用全等三角形知识进行简单的计算和证明。 在新课学习中，学生没有用整体视野分析全等三角形，没有从研究思路、研究方法、知识结构等角度对知识进行整理，形成对全等三角形知识的整体认识;学生的图形直观观察能力、想象能力和演绎推理能力有待提高;推理的逻辑性与条理性不强。
教学目标
1、理解全等三角形及对应边、对应角的概念；
2 、 掌握全等三角形的性质， 三角形全等的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS，HL);
3、在运用全等三角形性质和判定解决问题的过程中体验数学活动的乐趣。
教学重难点
重点:复习全等三角形的性质和判定方法，在探索结果的证明中能够灵活应用这些性质和判定，对整章内容的核心知识点进行回顾及反思。
难点:改变条件后，结论的探索与发现，辅助线的添加。
教具准备
《几何画板》软件、直尺、圆规、实物展板
教学过程
一、问题先导
问题 1： 如图 1，已知△ABD≌△CBD.
(1) 若 ∠ ABD ＝ 20° ， ∠ BDC ＝ 30° ， 则
∠CBD= °，∠A= ° ;
若 AB=3,则 BC= ;
若点 D 到 AB 的距离等于 5，则点 D 到BC 的距离等于 .
图 1
教师活动： 提出问题，引导学生回忆全等三角形的性质。学生活动： 独立思考，解决问题。
设计意图: 本组问题串引导学生复习回顾全等三角形、角平分线的性质，特别是问题(3)的设计，通过对距离概念的解析引导学生过点D 向 BA 、BC 两边引垂线，并将其提升为基本经验(即看到角平分线想到向角的两边引垂线，构造全等三角形，为解决后面的问题埋下伏笔。
技术应用： 运用多媒体展示问题。
问题 2： 如图 1，已知 BD 平分∠ABC，添加一个条件 ，使得△ABD≌△CBD.
教师活动： 通过分析已知条件引导学生获得解决问题的策略。学生活动： 独立思考，合作交流，个别学生全班分享。
设计意图: (1)通过开放型问题的设计，唤醒学生已有的全等判定定理，帮助学生找到遗忘或疏忽的部分，完善知识框架.(2)在尝试不同方法添加条件的过程中，让学生感受题目设置中直接条件与间接条件的差异，引导学生主动对间接条件进行逐步深人的分析， 将间接条件转化为直接条件，从而解决问题,如添加条件 DB 平分
∠ADC.(3) 教师引导学生当问题中的∠ ABC 为平角时可添加条件AD=CD 运用“斜边、直角边”进行证明，并引导学生思考“SSA”能否证明三角形全等，由此引出问题 3.
技术应用： 教师根据学生回答运用几何画板改变条件给学生直观展示。
问题 3 ： 如图 2，已知 OC 平分∠POQ，F 为 OC 上一点，用圆规在
OP、OQ 上分别找点 A、B，使得 FA=FB，且△OAF 与△OBF 不全等.
图 2
教师活动： 引导学生理解与构造全等的不同，从而得到以 F 为圆心作圆。
学生活动： 独立思考，合作探究，在老师的引导下完善答案。设计意图: 尺规作图是本章节的教学重点也是难点，它贯穿于
三角形全等判定定理的探究过程.本题的解决，让学生在章节复习课中提升借助尺规构造图形的能力.该问题目标图形不明确，增加了问题的探究性，教师在实施时应该从两个方面引导学生.(1)化抽象为具体.不妨在射线OP 上任意取点A，联结AF，再引导学生进行下一步尝试.这样让学生的思考由不清晰的状态逐步具体化，便于以此为台阶，进一步深入思考.(2)分析条件.从条件 FA = FB 中可以看出点A ,B 在以 F 为圆心的圆上.不妨以 F 为圆心画一个适当的圆，使得该圆与射线 OP,OQ 都相交，那么只要在交点中取适当的点为 A,B，就可以解决该问题。
技术应用： 利用实物展板投影学生们的探究成果。二、知识结构
边角边，角边角，角角边，边边边，斜边、直角边（直角三角形）
全 等 形 全 等 三 角 形 应 用
对应边相等，对应角相等
师生活动： 师生共同总结整章知识结构。
设计意图： 随着前三个问题的解决，学生对知识点有了整体的回顾，此时理出结构图，学生易于理解与接受。
三、变式教学
问题 4： 问题 3 中∠OAF 与∠OBF 有怎样的关系？请说明理由。
图 3
教师活动： 提出问题，引导学生可由基本经验入手探究结果。学生活动： 不断尝试，合作交流，得到解决问题的不同方法。设计意图: 让学生能有意识地运用前面获得的基本经验添加适
当的辅助线解决该问题，达到提升、巩固经验的目的。解决该问题时， 一种添加辅助线的方法是过点 F 分别向OP,OQ 引垂线，其思路来源是尝试运用角平分线的性质解决问题另一种添加辅助线的方法是在 射线OP 上取一点E，使得 OE=OB，联结 FE，其本质是借助图形的轴 对称性，将三角形OBF 沿OC 所在直线翻折.这两种辅助线的构造， 本质上都是根据图形特征或已知条件构造全等三角形解决问题.
技术应用： 根据不同的解决方案，用几何画板作垂直或翻折， 让学生直观感受图形变换。
变式： 如图 4，在问题 4 的情境下，若∠POQ＝120°，请你探索线段 OA、OB、OF 之间的数量关系，并证明之.
图 4
教师活动： 通过问题 4 的变式，引导学生探究几条线段之间的数量关系，鼓励学生解决问题的多样性。
学生活动： 独立思考，合作探究。
设计意图: (1)由基本经验学生容易想到一种添加辅助线的方法
是过点F 分别向 OP,OQ 引垂线构造全等得到对应线段相等再由三十度所对直角边等于斜边一半及线段和差关系得到 OF=OA+OB.(2)由问题 4 可得∠OAF 与∠OBF 互补，FA=FB,可将三角形 OBF 绕点F 旋转， 当FA 与FB 重合时O 的对应点E 必在 OP 上，则易证三角形 OEF 为等边三角，结论得证。(3)在 AP 上截取 AH=OB 构造三角形全等得到对应线段相等。此类方法可归结为截长补短法，引导学生一样的题目可用不同的方法解决，发散学生的思维。
技术应用：《几何画板》演示旋转过程，实物展板展示学生的不同方法。
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获和体会？
师生活动：教师与学生一起回顾，之后教师提出期望．
设计意图： 通过回顾、梳理、反思，使学生对所学知识得到充分的消化和吸收，理顺了各知识点间的关系。倡导学生善于发现、勇于探索、敢于创新。
五、目标检测
1.下列各条件中，不能做出唯一三角形的是（ ）
A、已知两边和夹角 B、已知两角和夹边
C、已知两边和其中一边的对角 D、已知三边2.能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A、斜边相等 B、一锐角对应相等
C、 两锐角对应相等 D、两直角边对应相等
3. 已知△ ABC≌△DEF ， ∠ A=80° ， ∠E=50° ， 则∠F 的度数为（
）
A、 30° B、 50° C、 80° D、 100°
△ABC 中, ∠C=90°,AD 平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点 D 到 AB 的
距离是 .
在△ABC 中，∠ACB=2∠B．
如图①，当∠C=90°，AD 为∠BAC 的角平分线时. 求证：AB=AC+CD；
如图②，当∠C≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时， 线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？
如图③，当 AD 为△ABC 的外角平分线时，线段 AB、
AC、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。
设计意图: 第 1 至第 3 小题考查的是全等三角形的性质与判定， 第 4 小题考查的是角平分线的性质，第 5 小题是全等三角形与角平分线知识的综合应用，第（3）小问还考查了外角的性质，并且也是 截长补短法的巩固与提升。
教学评价
1、让学生经历探索、猜想、证明的过程，积累数学活动经验。
无论是问题中角的数量关系还是变式中线段的数量关系的研究， 都需要建立在学生探索、猜想的基础上进行证明。老师通过复分线的性质及轴对称性，引导学生进行相关的探索、猜想活动，使得
后续作图及证明活动的难度大大降低。
2、引导学生用数学的眼光观察图形，提升数学素养。
问题 4 的教学引导学生学会用数学的眼光观察图形。研究图形的一般数学视角是从图形的对称性、基本元素、数学量等角度表征其特 征。该问题的设计，让学生体验这一数学视角，引导学生在以后的数 学学习过程中，学会主动用这一视角去观察、分析、探究图形或表征 图形的特征。同时，引导学生在数学学习的过程中，不再仅仅做知识 的被动“接受者”，更应该做知识的主动建构者、数学学习的探究者。3、合理运用信息技术，加深学生对数学知识的理解与掌握。
本节课利用计算机中的《几何画板》画图软件展示了图形的旋转、翻折．问题 4 的变式将三角形OBF 绕点F 旋转，当FA 与FB 重合时O 的对应点E 在 OP 上，则易证三角形 OEF 为等边三角，结论得证。让学生感受到科学技术的魅力和自己猜想的正确性，从而产生成就感， 对数学学习更加充满信心和兴趣。实物展板的应用及时展示学生的不 同思路与方法，节省课堂时间。
教学反思与改进
本节课以问题串形式呈现，由易到难，不仅使课堂结构紧凑而且使教学内容不断深入。 开放性问题及探究题的设置，充分考虑到探索与证明的联系，为学生的积极思考创设条件，同时鼓励学生大胆探寻新颖独特的证明思路，提倡证明方法的多样性，引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，提高学生的演绎推理的能力。
《几何画板》软件的使用降低了问题难度，提高了学生对数学学习的兴趣。整节课学生的参与度高，但对每个学生的评价和反馈可能没有面面俱到，这是下一步需要改进的地方。
教学内容分析
本节课是基于学习沪科版八年级数学上册第 14 章《全等三角形》和第 15 章《轴对称图形和等腰三角形》的一节复习课，学生己经学习了全等三角形的定义、性质及判定，基本掌握等腰三角形、角平分线的性质和判定，通过本节课的复习进一步加强学生对全等三角形中 相关知识的综合应用能力。全等是特殊的相似，全等三角形的内容是 学习相似的重要基础。另外，全等三角形是证明线段相等和角相等的 重要工具，因此，本章的内容也是后续学习四边形、圆等内容的基础。
本单元的研究思路、内容和方法与平行线的研究一脉相承，分别从 定义一性质一判定一应用四个方面进行展开，并以画图、实验、归纳、猜想、证明为研究方法。在三角形全等的几种判定方法中，通过平移、旋转、翻折等方法来构造全等三角形，既体现了图形的运动变化，也 体现了探索三角形全等的合同变换的思想。
学情分析
学生已经学完全等三角形这章的内容，了解了这一章的整体内容，能独立应用全等三角形知识进行简单的计算和证明。 在新课学习中，学生没有用整体视野分析全等三角形，没有从研究思路、研究方法、知识结构等角度对知识进行整理，形成对全等三角形知识的整体认识;学生的图形直观观察能力、想象能力和演绎推理能力有待提高;推理的逻辑性与条理性不强。
教学目标
1、理解全等三角形及对应边、对应角的概念；
2 、 掌握全等三角形的性质， 三角形全等的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS，HL);
3、在运用全等三角形性质和判定解决问题的过程中体验数学活动的乐趣。
教学重难点
重点:复习全等三角形的性质和判定方法，在探索结果的证明中能够灵活应用这些性质和判定，对整章内容的核心知识点进行回顾及反思。
难点:改变条件后，结论的探索与发现，辅助线的添加。
教具准备
《几何画板》软件、直尺、圆规、实物展板
教学过程
一、问题先导
问题 1： 如图 1，已知△ABD≌△CBD.
(1) 若 ∠ ABD ＝ 20° ， ∠ BDC ＝ 30° ， 则
∠CBD= °，∠A= ° ;
若 AB=3,则 BC= ;
若点 D 到 AB 的距离等于 5，则点 D 到BC 的距离等于 .
图 1
教师活动： 提出问题，引导学生回忆全等三角形的性质。学生活动： 独立思考，解决问题。
设计意图: 本组问题串引导学生复习回顾全等三角形、角平分线的性质，特别是问题(3)的设计，通过对距离概念的解析引导学生过点D 向 BA 、BC 两边引垂线，并将其提升为基本经验(即看到角平分线想到向角的两边引垂线，构造全等三角形，为解决后面的问题埋下伏笔。
技术应用： 运用多媒体展示问题。
问题 2： 如图 1，已知 BD 平分∠ABC，添加一个条件 ，使得△ABD≌△CBD.
教师活动： 通过分析已知条件引导学生获得解决问题的策略。学生活动： 独立思考，合作交流，个别学生全班分享。
设计意图: (1)通过开放型问题的设计，唤醒学生已有的全等判定定理，帮助学生找到遗忘或疏忽的部分，完善知识框架.(2)在尝试不同方法添加条件的过程中，让学生感受题目设置中直接条件与间接条件的差异，引导学生主动对间接条件进行逐步深人的分析， 将间接条件转化为直接条件，从而解决问题,如添加条件 DB 平分
∠ADC.(3) 教师引导学生当问题中的∠ ABC 为平角时可添加条件AD=CD 运用“斜边、直角边”进行证明，并引导学生思考“SSA”能否证明三角形全等，由此引出问题 3.
技术应用： 教师根据学生回答运用几何画板改变条件给学生直观展示。
问题 3 ： 如图 2，已知 OC 平分∠POQ，F 为 OC 上一点，用圆规在
OP、OQ 上分别找点 A、B，使得 FA=FB，且△OAF 与△OBF 不全等.
图 2
教师活动： 引导学生理解与构造全等的不同，从而得到以 F 为圆心作圆。
学生活动： 独立思考，合作探究，在老师的引导下完善答案。设计意图: 尺规作图是本章节的教学重点也是难点，它贯穿于
三角形全等判定定理的探究过程.本题的解决，让学生在章节复习课中提升借助尺规构造图形的能力.该问题目标图形不明确，增加了问题的探究性，教师在实施时应该从两个方面引导学生.(1)化抽象为具体.不妨在射线OP 上任意取点A，联结AF，再引导学生进行下一步尝试.这样让学生的思考由不清晰的状态逐步具体化，便于以此为台阶，进一步深入思考.(2)分析条件.从条件 FA = FB 中可以看出点A ,B 在以 F 为圆心的圆上.不妨以 F 为圆心画一个适当的圆，使得该圆与射线 OP,OQ 都相交，那么只要在交点中取适当的点为 A,B，就可以解决该问题。
技术应用： 利用实物展板投影学生们的探究成果。二、知识结构
边角边，角边角，角角边，边边边，斜边、直角边（直角三角形）
全 等 形 全 等 三 角 形 应 用
对应边相等，对应角相等
师生活动： 师生共同总结整章知识结构。
设计意图： 随着前三个问题的解决，学生对知识点有了整体的回顾，此时理出结构图，学生易于理解与接受。
三、变式教学
问题 4： 问题 3 中∠OAF 与∠OBF 有怎样的关系？请说明理由。
图 3
教师活动： 提出问题，引导学生可由基本经验入手探究结果。学生活动： 不断尝试，合作交流，得到解决问题的不同方法。设计意图: 让学生能有意识地运用前面获得的基本经验添加适
当的辅助线解决该问题，达到提升、巩固经验的目的。解决该问题时， 一种添加辅助线的方法是过点 F 分别向OP,OQ 引垂线，其思路来源是尝试运用角平分线的性质解决问题另一种添加辅助线的方法是在 射线OP 上取一点E，使得 OE=OB，联结 FE，其本质是借助图形的轴 对称性，将三角形OBF 沿OC 所在直线翻折.这两种辅助线的构造， 本质上都是根据图形特征或已知条件构造全等三角形解决问题.
技术应用： 根据不同的解决方案，用几何画板作垂直或翻折， 让学生直观感受图形变换。
变式： 如图 4，在问题 4 的情境下，若∠POQ＝120°，请你探索线段 OA、OB、OF 之间的数量关系，并证明之.
图 4
教师活动： 通过问题 4 的变式，引导学生探究几条线段之间的数量关系，鼓励学生解决问题的多样性。
学生活动： 独立思考，合作探究。
设计意图: (1)由基本经验学生容易想到一种添加辅助线的方法
是过点F 分别向 OP,OQ 引垂线构造全等得到对应线段相等再由三十度所对直角边等于斜边一半及线段和差关系得到 OF=OA+OB.(2)由问题 4 可得∠OAF 与∠OBF 互补，FA=FB,可将三角形 OBF 绕点F 旋转， 当FA 与FB 重合时O 的对应点E 必在 OP 上，则易证三角形 OEF 为等边三角，结论得证。(3)在 AP 上截取 AH=OB 构造三角形全等得到对应线段相等。此类方法可归结为截长补短法，引导学生一样的题目可用不同的方法解决，发散学生的思维。
技术应用：《几何画板》演示旋转过程，实物展板展示学生的不同方法。
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获和体会？
师生活动：教师与学生一起回顾，之后教师提出期望．
设计意图： 通过回顾、梳理、反思，使学生对所学知识得到充分的消化和吸收，理顺了各知识点间的关系。倡导学生善于发现、勇于探索、敢于创新。
五、目标检测
1.下列各条件中，不能做出唯一三角形的是（ ）
A、已知两边和夹角 B、已知两角和夹边
C、已知两边和其中一边的对角 D、已知三边2.能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A、斜边相等 B、一锐角对应相等
C、 两锐角对应相等 D、两直角边对应相等
3. 已知△ ABC≌△DEF ， ∠ A=80° ， ∠E=50° ， 则∠F 的度数为（
）
A、 30° B、 50° C、 80° D、 100°
△ABC 中, ∠C=90°,AD 平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点 D 到 AB 的
距离是 .
在△ABC 中，∠ACB=2∠B．
如图①，当∠C=90°，AD 为∠BAC 的角平分线时. 求证：AB=AC+CD；
如图②，当∠C≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时， 线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？
如图③，当 AD 为△ABC 的外角平分线时，线段 AB、
AC、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。
设计意图: 第 1 至第 3 小题考查的是全等三角形的性质与判定， 第 4 小题考查的是角平分线的性质，第 5 小题是全等三角形与角平分线知识的综合应用，第（3）小问还考查了外角的性质，并且也是 截长补短法的巩固与提升。
教学评价
1、让学生经历探索、猜想、证明的过程，积累数学活动经验。
无论是问题中角的数量关系还是变式中线段的数量关系的研究， 都需要建立在学生探索、猜想的基础上进行证明。老师通过复分线的性质及轴对称性，引导学生进行相关的探索、猜想活动，使得
后续作图及证明活动的难度大大降低。
2、引导学生用数学的眼光观察图形，提升数学素养。
问题 4 的教学引导学生学会用数学的眼光观察图形。研究图形的一般数学视角是从图形的对称性、基本元素、数学量等角度表征其特 征。该问题的设计，让学生体验这一数学视角，引导学生在以后的数 学学习过程中，学会主动用这一视角去观察、分析、探究图形或表征 图形的特征。同时，引导学生在数学学习的过程中，不再仅仅做知识 的被动“接受者”，更应该做知识的主动建构者、数学学习的探究者。3、合理运用信息技术，加深学生对数学知识的理解与掌握。
本节课利用计算机中的《几何画板》画图软件展示了图形的旋转、翻折．问题 4 的变式将三角形OBF 绕点F 旋转，当FA 与FB 重合时O 的对应点E 在 OP 上，则易证三角形 OEF 为等边三角，结论得证。让学生感受到科学技术的魅力和自己猜想的正确性，从而产生成就感， 对数学学习更加充满信心和兴趣。实物展板的应用及时展示学生的不 同思路与方法，节省课堂时间。
教学反思与改进
本节课以问题串形式呈现，由易到难，不仅使课堂结构紧凑而且使教学内容不断深入。 开放性问题及探究题的设置，充分考虑到探索与证明的联系，为学生的积极思考创设条件，同时鼓励学生大胆探寻新颖独特的证明思路，提倡证明方法的多样性，引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，提高学生的演绎推理的能力。
《几何画板》软件的使用降低了问题难度，提高了学生对数学学习的兴趣。整节课学生的参与度高，但对每个学生的评价和反馈可能没有面面俱到，这是下一步需要改进的地方。