2021－2022学年度第一学期教学效果测试
高三数学
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1 2．已知集合A＝{x|x －3x≤4}，B＝{x| x－1＜1}，则下列判断正确的是
A．B A B． RB＝(－∞，0]∪[2，＋∞)
C．－1∈A且 3 B D．A∪B＝{x|－1≤x＜2}
2．已知 l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．若 l⊥m，l⊥n，且 m，n α，则 l⊥α
B．若 m//β，n//β，且 m，n α，则α//β
C．若 m//n，n α，则 m//α
D．若 l⊥β，l α，则α⊥β
3．方程 x2 sinα＋y2cosα＝1(0＜α π＜ )表示焦点在 y轴上的椭圆，则α的取值范围是
2
A．(0 π， ) B．(0 π] C (π π π π， ． ， ) D．[ ， )
4 4 4 2 4 2
1
4．已知复数z 8－i＝ (i为虚数单位)，给出下列说法：①复数 z在复平面内对应的点在第四
2＋3i
象限；②|z| -＝ 5；③z的虚部为－2i；④z＝1－2i，其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元 1584年)，
他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸
之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在 1和 2之间
插入 11个正数，使包含 1和 2的这 13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四
个数应为
1 1 3 4
A．24 B．23 C．213 D．213
cos(π＋α)
6 1 π．已知cosα＝ ，－ ＜α＜0，则 2 的值为
5 2 tan(α＋π)cos(－α)tanα
A．2 6 B 2 6 C 6 6．－ ．－ D．
12 12
2
7 (0 π．已知定义在 ， )的函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f′(x)sinx－f(x)cosx＜0成立，则下列
2
不等式成立的是
A 2f(π) f(π) B f(π) 3f(π) C 3f(π) 2f(π) D 2f(π) 3f(π． ＜ ． ＜ ． ＜ ． ＜ )
6 4 3 6 4 3 2 3 4
8．已知函数 f(x)＝a2x2 x＋x－2lna(a＞1)，g(x)＝－e －2lnx，若 f(x)的图象与 g(x)的图象在[1，
＋∞)上恰有两对关于 x轴对称的点，则实数 a的取值范围是
A e e e．( ，＋∞) B．[ e，+∞) C．( ， e] D．(1， )
2 2 2
3
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
4
9 1 1．若不等式 m＜n与 ＞ (m，n为实数)同时成立，则下列不等关系可能成立的是
m n
A．m＜n＜0 B．0＜m＜n C．m＜0＜n D．mn＜0
10．如图是函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象，则下列结论正确的有
A．f(x)的最小正周期为π
B ( 2π．图象关于 － ，0)对称
3
C π．f(－ )＝1
12
D π．f(x)的图象向右平移 个单位，可以得到 y＝cos2x的图象
6
11．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1各棱的长度均相等，D为AA1的中点，M、N分别是线
段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM＝C1N，当 M、N运动时，下列结论中正确的
是
5
A．平面 DMN⊥平面BCC1B1
B．在△DMN内总存在与平面 ABC平行的线段
C 1．三棱锥A1－DMN的体积是三棱柱ABC－A1B1C1的体积的8
D．cos∠MDN [1 1∈ ， ]
5 2
6
12 x．已知函数f(x)＝e ，g(x)＝lnx＋1的图象与直线 y＝m分别交于 A、B两点，则
A．m＞0
B． m＞0，曲线 y＝f(x)在 A处的切线总与曲线 y＝g(x)在 B处的切线相交
C．|AB|的最小值为 1
D． m＞0，使得曲线 y＝f(x)在点 A处的切线也是曲线 y＝g(x)的切线
7
8
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13．已知{an}为等差数列，a＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝ ．
14．如图所示，为了测量山高 MN，分别选择山下平地的 A处和另一座山的山顶 C处为测量
观测点．从 A点测得 M点的仰角∠NAM＝45°，C点的仰角∠BAC＝30°，以及∠MAC＝75°，
从 C点测得∠ACM＝60°，已知山高 BC＝50米，则山高 MN＝ 米．
9
→ →
15．在△OAB中，已知OA＝3OC →，OB＝2O→D，且 AD与 BC的交点为 M，E是 OA中点，
→ →
又直线 ME与线段 OB交于点 F，若OF＝λOB，则实数λ的值为 ．
10
16 2 2．已知 A(－4，0)，P(a，a＋4)，圆 O：x ＋y ＝4，直线 PM，PN分别与圆 O相切，切点
→ →
为 M，N，若MR＝RN，则|AR|的最小值为 ．
11
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
1 n
已知数列{an}的前 n项和为Sn，且 Sn＝2 －1．2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2) b 3n－1设 n＝ ，求数列{b }的前 n项和 Tn．a nn
【解析】
18．(本小题满分 12分)
3
已知函数f(x)＝ sin2x 1 2－ sin x 3－ cos2x．
2 2 2
(1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期；
→ →
(2)设锐角△ABC的内角 A，B，C，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量 n＝(sinB，λ)共线，
12
求λ的取值范围．
【解析】
19．(本小题满分 12分)如图，在平面四边形 ABCD中，已知 BC＝1，cos∠BCD 3＝－ ．
5
(1)若 AC平分∠BCD，且AC＝ 5，求 AB的长；
(2)若∠CBD＝45°，求 CD的长．
【解析】
13
20．(本小题满分 12分)如图，在四棱锥 P－ABCD中，平面 PDC⊥平面 ABCD，AD//BC，
AD⊥DC，PD⊥PB，AD 1＝ BC＝1，CD＝3．
2
(1)证明：PD⊥平面 PBC；
(2) 10已知直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值为 ，求 PD的长．
5
【解析】
21．(本小题满分 12分)
2 2 2
已知 A(0，3)、B、C为圆 O：x ＋y ＝r (r＞0)上三点．
(1)若直线 BC过点(0，2)，求△ABC面积的最大值；
(2)若 D 2为曲线x ＋(y＋1)2＝4(y≠－3)
→ → →
上的动点，且AD＝AB＋AC，试问直线 AB和直线 AC
的斜率之积是否为定值 若是，求出该定值；若不是，说明理由．
14
【解析】
法一：
15
16
22．(本小题满分 12分)已知函数 f(x)＝lnx＋2ax，a∈R．
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)若对任意的 x∈(0 3x，＋∞)，都有f(x)＋1≤xe 恒成立，求 a的取值范围．
【解析】法一：
17
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19兴化市、泗阳县2021－2022学年度第一学期教学效果测试
高三数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，B＝{x|＜1}，则下列判断正确的是
A．BA B．
C．－1∈A且 D．A∪B＝{x|－1≤x＜2}
2．已知l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．若l⊥m，l⊥n，且m，nα，则l⊥α
B．若m//β，n//β，且m，nα，则α//β
C．若m//n，nα，则m//α
D．若l⊥β，lα，则α⊥β
3．方程x2表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是
A． B． C． D．
4．已知复数(i为虚数单位)，给出下列说法：①复数z在复平面内对应的点在第四象限；②；③z的虚部为－2i；④＝1－2i，其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为
A．2 B．2 C．2 D．2
6．已知，则的值为
A． B． C． D．
7．已知定义在的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)sinx－f(x)cosx＜0成立，则下列不等式成立的是
A．f()＜f() B．f()＜f() C． D．
8．已知函数f(x)＝a2x2＋x－2lna(a＞1)，，若f(x)的图象与g(x)的图象在[1，＋∞)上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若不等式m＜n与，n为实数)同时成立，则下列不等关系可能成立的是
A．m＜n＜0 B．0＜m＜n C．m＜0＜n D．mn＜0
10．如图是函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象，则下列结论正确的有
A．f(x)的最小正周期为π
B．图象关于对称
C．
D．f(x)的图象向右平移个单位，可以得到y＝cos2x的图象
11．如图所示，正三棱柱各棱的长度均相等，D为的中点，M、N分别是线段和线段上的动点(含端点)，且满足，当M、N运动时，下列结论中正确的是
A．平面DMN⊥平面
B．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段
C．三棱锥的体积是三棱柱的体积的
D．
12．已知函数，g(x)＝lnx＋1的图象与直线y＝m分别交于A、B两点，则
A．m＞0
B． m＞0，曲线y＝f(x)在A处的切线总与曲线y＝g(x)在B处的切线相交
C．|AB|的最小值为1
D． m＞0，使得曲线y＝f(x)在点A处的切线也是曲线y＝g(x)的切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知为等差数列，a，则 ．
14．如图所示，为了测量山高MN，分别选择山下平地的A处和另一座山的山顶C处为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠NAM＝45°，C点的仰角∠BAC＝30°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠ACM＝60°，已知山高BC＝50米，则山高MN＝ 米．
15．在△OAB中，已知，且AD与BC的交点为M，E是OA中点，又直线ME与线段OB交于点F，若，则实数λ的值为 ．
16．已知A(－4，0)，P(a，a＋4)，圆O：，直线PM，PN分别与圆O相切，切点
为M，N，若，则|AR|的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和Tn．
18．(本小题满分12分)
已知函数．
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；
(2)设锐角△ABC的内角A，B，C，f(C)＝0，若向量与向量共线，求λ的取值范围．
19．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，已知BC＝1，．
(1)若AC平分∠BCD，且，求AB的长；
(2)若∠CBD＝45°，求CD的长．
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥DC，PD⊥PB，，CD＝3．
(1)证明：PD⊥平面PBC；
(2)已知直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，求PD的长．
21．(本小题满分12分)
已知A(0，3)、B、C为圆O：)上三点．
(1)若直线BC过点(0，2)，求△ABC面积的最大值；
(2)若D为曲线上的动点，且，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值 若是，求出该定值；若不是，说明理由．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋2ax，a∈R．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对任意的x∈(0，＋∞)，都有恒成立，求a的取值范围．
