江西省大联考2022届高三12月月考数学（理）试题（Word版含答案解析）

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江西省大联考2022届高三12月月考
数学（理）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，若集合，，则
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则
A．3 B． C． D．
3．哥隆尺是一种特殊的测量尺子，图（1）中的哥隆尺可以一次性测量的长度为1，2，3，4，5，6，小明同学要测量5，8，11，15这4个长度，若使用图（2）中的哥隆尺，则不可以一次性测量的长度个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（注：圆台的体积）
A． B． C． D．
5．近年来，娱乐综艺《中国好声音》备受全国音乐爱好者的关注，许多优美的声音通过该节目传到全国观众的耳朵里。声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画，在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦。已知某二和弦可表示为函数，则在上的图象大致为
A． B． C． D．
6．已知，若恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
7．已知平行四边形中，，，，若，，则
A． B． C． D．
8．如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为
A． B． C． D．
9．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
10．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则
A． B． C． D．
11．已知函数，命题：的图象是轴对称图形，但不是中心对称图形；命题：在上单调递减，则在，，中，正确的命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
12．若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某公司工人甲生产第件产品的所需时间（单位：）满足其中且，若甲生产第2件产品的时间为，生产第件产品的时间为，则________。
14．若直线与直线相互垂直，则被圆截得的弦长
为________。
15．已知首项为2的数列的前项和为，若，则的通项公式为________。
16．已知表面积为24的正方体中，点，，分别是线段，，的中点，点在平面内，若平面，则线段的长度的最小值为________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知圆过点，，。
（1）求的标准方程；
（2）若点在上运动，求的取值范围。
18．（本小题满分12分）
已知函数的部分图象如下所示，其中，。
（1）求的解析式；
（2）设函数，，求的值域。
19．（本小题满分12分）从①，②的面积，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答。
已知的内角，，所对的边分别是，，，若，且________。
（1）求；
（2）若角的平分线与交于点， ，求，。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，垂足为，
。
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的正弦值。
21．（本小题满分12分）已知首项为1的数列的前项和为，且。
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足，求证：。
22．（本小题满分12分）已知函数。
（1）若在上恰有1个零点，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围。
江西省大联考2022届高三12月月考
数学（理）参考答案
1．【答案】C
【解析】依题意，，而，则，故选C。
2．【答案】B
【解析】依题意，，故，解得，故，，故，故选B。
3．【答案】C
【解析】若使用图（2）所示的哥隆尺，能够一次性测量的长度数据只有，其余3个数据均无法一次性测量，故选C。
4．【答案】B
【解析】依题意，圆台的体积，解得，故圆台的母线长，故选B。
5．【答案】A
【解析】依题意，，故为奇函数，图象关于原点对称，排除D；令，即，故，则或，因为，故由得或或，由得，故在上有5个零点，排除B；而，排除C，故选A。
6．【答案】D
【解析】依题意，，当且仅当时等号成立，故实数的取值范围为，故选D。
7．【答案】A
【解析】作出图形如下所示，，，故。
，解得，故选A。
8．【答案】D
【解析】由正弦定理，即，故，则，故，由余弦定理，，故选D。
9．【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，将该三棱锥置于长方体中如下图所示，可知该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的直径，故所求外接球的表面积，故选D。
10．【答案】C
【解析】设，，故两式相减可得，则，故，故选C。
11．【答案】C
【解析】依题意，故的一个周期为，当时，，当时，
，作出在上的图象，并拓展到上，得到的图象如下所示，观察可知，为假命题，为假命题，故，为真，故选C。
12．【答案】A
【解析】设公共点为，的导数为，在处的切线斜率；的导数为，在处的切线斜率，因为在公共点处有公共切线，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故选A。
13．【答案】2
【解析】依题意，，解得，故，故，从而。
14．【答案】
【解析】依题意，，解得，故，则圆心到的距离
，故所求弦长为。
15．【答案】
【解析】依题意，，故，则，又，故数列是首项为3，公比为3的等比数列，故，即。
16．【答案】
【解析】依题意，，故，分别取，，的中点，，，则平面即为平面，易知平面平面，故点在直线上运动时，满足平面，又，是等边三角形，故当是中点时，，线段的长度取得最小值。
17．解：（1）设的一般方程为，
则
解得，故的一般方程为，
化标准方程为。
（2）设，
则的圆心到直线的距离满足，
解得，
故的取值范围为。
18．解：（1）依题意，，解得，
故，故，
因为，所以，
因为，故，则。
（2），
若，， ，
故，则，
即的值域为。
19．解：（1）若选①，
，又，
，
，
若选②：，，
又，
，
，
，
。
若选③：，，
由正弦定理得，，
，
，。
（2）是角的平分线，
，
，
即，
，
由（1）知，，解得。
20．（1）证明：由，得，所以，
又，，所以平面，
因为，所以平面。
因为平面，所以平面平面。
（2）解：因为，所以，，
结合（1）可知，，两两相互垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
所以，，，，
所以，，。
设平面的一个法向量为，则得
令，则，所以。
设平面的一个法向量为，则，得，
令，则，，所以。
所以。
故二面角的正弦值为。
21．（1）证明：两边同时除以，得，
又，故是以为首项，为公差的等差数列。
（2）解：由（1）可知，，
则。
当时，，
而符合上式，故。
（3）证明：因为，故，
且，
而，
故。
22．解：（1）令，故，则，
令，故，
故当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
而，， ，故或，
故实数的取值范围为。
（2）依题意，，，
令，则，
而，易知在上单调递增，
又因为时，，时，，
故存在唯一的，使得，故，
则，故，
即恒成立，
因为，
所以，故，
即实数的取值范围为。