江西省大联考2022届高三12月月考数学（文）试题（Word版含答案解析）

江西省大联考2022届高三12月月考
数 学（文）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1.已知全集，若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则（ ）
A.-9 B.15 C. D.
3.已知等比数列中，，，则（ ）
A. B. C.10 D.
4.哥隆尺是一种特殊的测量尺子，图（1）中的哥隆尺可以一次性测量的长度为1，2，3，4，5，6，小明同学要测量5，8，11，15这4个长度，若使用图（2）中的哥隆尺，则不可以一次性测量的长度个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知圆锥的母线长为4，侧面展开图是一个面积为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.6
7.已知，，若，的夹角为120°，则（ ）
A.-12 B.12 C.8 D.-8
8.近年来，娱乐综艺《中国好声音》备受全国音乐爱好者的关注，许多优美的声音通过该节目传到全国观众的耳朵里.声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画，在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦.已知某二和弦可表示为函数，则在上的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
9.下图中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的半径为（ ）
A. B. C. D.
10.若函数在上存在零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数，，直线与，的图象分别交于，两点，则的最大值为（ ）
A.2 B. C. D.3
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在圆上运动，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某公司工人甲生产第件产品的所需时间（单位：h）满足其中且，若甲生产第2件产品的时间为，生产第件产品的时间为，则______.
14.已知点，分别在圆和直线上运动，若的最小值为7，则______.
15.若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则______.
16.已知表面积为24的正方体，中，，，分别是线段，，的中点，点在平面内，若平面，则线段的长度的最小值为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽
到高一或高二学生的概率为.
（1）求的值；
（2）若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.
18.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，首项为2，且______，求的通项公式以及.
请在①，，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成上述问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本小题满分12分）
已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，，.
（1）求；
（2）求的面积.
20.（本小题满分12分）
如图，四棱柱的底面为平行四边形，其中平面，，，分别为线段，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求点到平面的距离.2
21.（本小题满分12分）
已知抛物线，直线过点且与交于，两点，其中.
（1）若，且，求点的坐标；
（2）若（为坐标原点），求实数的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且，讨论函数的零点个数.
江西省大联考2022届高三12月月考
数学（文）参考答案
1.【答案】C
【解析】依题意，；而，故，故选C.
2.【答案】B
【解析】依题意，，解得，故选B.
3.【答案】A
【解析】依题意，，又，同号，故，故选A.
4.【答案】C
【解析】若使用图（2）所示的哥隆尺，能够一次性测量的长度数据只有，其余3个数据均无法一次性测量，故选C.
5.【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，则有，解得，故圆锥的高，故所求体积，故选B.
6.【答案】D
【解析】依题意，，当且仅当时等号成立，故选D.
7.【答案】A
【解析】依题意，，故，解得，故，故选A.
8.【答案】A
【解析】依题意，，故为奇函数，图象关于原点对称，排除D；令，即，故，则或，因为，故由得或，或，由得，故在内有5个零点，排除B；而，排除C，故选A.
9.【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，作出图形如图所示，设其外接球的球心为，半径为，由，故，解得，故.故选D.
10.【答案】C
【解析】令，则，易知函数在上单调递增，而当时，，且，故实数的取值范围为，故选C.
11.【答案】C
【解析】根据题意，
，故当时，，，故当时，有最大值，故选C.
12.【答案】B
【解析】设，，则，则，，故，整理可得，故此渐近线与圆有交点，故当渐近线与圆相切时，离心率最小，此时，即，故，故离心率的最小值为2，故选B.
13.【答案】2
【解析】依题意，，解得，故，解得，从而.
14.【答案】-54或36
【解析】依题意，圆心到的距离为，则，解得或36.
15.【答案】-1
【解析】设，，故两式相减可得，则，故.
16.【答案】
【解析】依题意，，故，分别取，，的中点，，，则平面即为平面，易知平面平面，故点在直线上运动时，满足平面，又是等边三角形，故当是的中点时，，线段的长度取得最小值.
17.解：（1）依题意，，解得.
（2）高一抽取4人，记为，高三抽取2人，记为，
则从6人中任取2人的所有情况为，
，共15种，
其中满足条件的为，共9种，
故所求概率.
18.解：若选①：
依题意，是等比数列，设公比为，而，，故，则；
当时，，
故
若选②：
因为，故，故是以2为公比的等比数列，
又，
故，则；
故.
若选③：
依题意，，…，
累加可得，；
故.
19.解：（1）依题意，，解得，
而解得，
由正弦定理得，故.
（2）由余弦定理得，故，
解得或（舍去），
故的面积.
20.（1）证明：连接交于，连接，
因为为线段的中点，所以且；
又因为为线段的中点，，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，故，
在四棱柱中，平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，所以四边形为菱形，故，又，，平面，所以平面，故平面，
而平面，故平面平面.
（2）解：因为，所以，故，为等边三角形，
又，故，
故
由，易知，故以及，
设点到平面的距离为，连接，由（1）可知，，
而，得，解得，
故点到平面的距离为.
21.解：（1）依题意，为的焦点，
故，解得，故，则，
故点的坐标为或.
（2）设直线的方程为，
联立得，
设，，，由知，
，
所以且，
，故实数的取值范围为.
22.解：（1）依题意，
所以，
故，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）依题意，则，
当时，，所以在上单调递增；
当时，设，
此时，所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，且在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，在上单调递减，在上单调递增.
又，所以当，即时，有唯一零点在区间上，当，即时，在上无零点；
故当时，在上有1个零点；
当时，在上无零点.