山东省威海市乳山市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

乳山市2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试题
2021.11
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则的虚部是（ ）
A． B． C．2 D．
2．在三棱锥中，点E，F分别是的中点，点G在棱上，且满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．设点，点C关于面对称的点为D，则线段的中点P到点D的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知正四棱柱中，，E，F分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
5．万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（ ）
A．30 B．20 C．10 D．
6．已知l是平面内一条直线，m是平面的一条斜线，且m在平面内的射影为n，若l与m的夹角为，l与n的夹角为，则m与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．设直线l与圆交于A，B两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线l的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ）
A．6 B．36 C．10 D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若两个非零空间向量，满足，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．点关于直线的对称点为
C．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
11．已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x的方程有实根，则椭圆E的离心率e可能是（ ）
A． B． C． D．
12．已知点P在圆上，点、，则（ ）
A．点P到直线的距离小于6 B．点P到直线的距离大于2
C．当最小时， D．当最大时，
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数_______．
14．已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________．
15．在平行六面体中，，则线段的长度为___________．
16．已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为_______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知，y轴为边中线
（1）求边所在直线方程；
（2）求角平分线所在直线方程．
18．（本小题满分12分）
圆C过点，且圆心在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，点D，E分别在棱和棱上，且，M为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，
（1）求点M的轨迹方程．
（2）若点，则求的最大值与最小值．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且．
（1）求证：面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，，其中O为原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点C满足，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段的中点．求直线的方程．
高二数学试题答案
一、单选题（每题5分）
二、多项选择题（每题5分，漏选得2分，错选得0分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C A B C D B AB ABD AC AC
三、填空题（每题5分）
13．2 14．0或 15．3 16．16
四、解答题
17．（1）因为， 2分
设交y轴于点M，则根据条件可知为等边三角形，则， 4分
M为中点，则．故直线方程为． 6分
（2）因为，所以， 7分
所以内角角平分线斜率为， 9分
故内角平分线所在直线方程为． 10分
18．解：（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1．
的中点，因此，直线m的方程为．即． 2分
联立方程组，解得．所以圆心坐标为，又半径， 5分
则所求圆的方程是． 6分
（2）设线段的中点，则，解得 8分
代入圆C中得， 10分
即线段中点M的轨迹方程为． 12分
19．证明：依题意，以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 1分
可得、、、、、、、、 3分
（1）依题意，，从而，所以； 4分
（2）依题意，是平面的一个法向量， 6分
．设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得． 8分
，所以，二面角的正弦值为． 10分
（3）依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 11分
所以，直线与平面所成角的正弦值为 12分
20．解：（1）设，依题意得， 2分
两边平方化简得，所以M的轨迹方程为 4分
（2），又M点满足，即 6分
因此又 8分
所以当时，有最小值，所以 10分
当时，有最大值121，所以． 12分
21．证明（1）由于平面平面，则， 1分
由题意可知，且，可得平面 3分
（2）以点A为坐标原点，平面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，
由可得点F的坐标为 5分
由可得，设平面的法向量为：，则
，据此可得平面的一个法向量：，很明显平面的一个法向量为， 7分
，故二面角的余弦值为，正弦值为． 8分
（3）存在这样的 9分
由可得，则，若A，E，F，G四点共面，则在平面内面的一个法向量为：，所以．
，所以存在这样的使得四点共面 12分
22．解：（1）∵椭圆的一个顶点为，∴，由，得
所以，椭圆的方程为； 4分
（2）∵直线与以C为圆心的圆相切于点P，所以，根据题意可知，直线和斜率均存在，设直线的斜率为k，则直线的方程为， 5分
，消去y，可得，解得或 6分
将代入，得，
所以，点B的坐标为， 7分
因为P为线段的中点，点A的坐标为所以点P的坐标为， 8分
由，得C为，所以，直线的斜率为， 9分
又因为，所以， 10分
整理得，解得或．
所以，直线的方程为或． 12分