人教版八年级数学上册13.3.2等边三角形同步习题（word版含解析）

2021-2022学年初中数学八年级上册（人教版）
13.3.2等边三角形-同步习题
时间：40分钟
一、单选题
1．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，交于点D，交于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
2．在等边所在的平面内求一点P，使、、都是等腰三角形，具有这样性质的点P共有（ ）个．
A．1 B．4 C．9 D．10
3．下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形
（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形
（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5） B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
4．若一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60度，那么这个三角形是（ ）
A．等腰直角三角形 B．含有120度角的等腰三角形
C．等边三角形 D．含有60度角的直角三角形
5．如图，在等边△ABC中，AB=10cm，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则EC的长是（　　）
A．2.5cm B．5cm C．7cm D．7.5cm
6．若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角为（ ）度
A．60 B．45 C．30 D．无法确定
二、填空题
7．已知，是等边三角形，于E，于D，若，则图中60度的角有_______个．
8．已知：如图所示，点在的延长线上，，则的形状为___________
9．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是______.
10．如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=__________度．
11．在中，，的垂直平分线交于点M﹐交于点N，，则的长为_________．
12．在中，交于点D，，则________．
三、解答题
13．如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD．求证：△OCD是等边三角形．
14．如图，等边三角形中，是上的高，，图中有哪些与相等的线段？
15．如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG．求证：△MNG是等边三角形．
16．如图，在中，，点D在上，，，，垂足分别为E，F，且，求的长．
17．如图，是等边三角形，过点C作交的外角平分线于点D，连接，过点C作，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）求的度数．
18．如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测的灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【解析】解：①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，
∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，
∴△AOB为等腰三角形；
③△AOC为等腰三角形；
④△BOC为等腰三角形；
⑤∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ABC=∠ODE，∠ACB=∠OED，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODE=∠OED，
∴△DOE为等腰三角形；
⑥∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，
∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，
∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，
∴△BOD为等腰三角形；
⑦△COE为等腰三角形．
故选：D．
2．D
【解析】①当点P在三角形的内部时，点P是边AB、BC、AC的垂直平分线的交点，是三角形的外心，如图点．
②当P在三角形的外部时，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，与垂直平分线的交点有3个，如图，点，共9个．
综上具有这样性质的点P共有10个．
故选：D．
3．A
【解析】解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，
三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，
故（2）正确；
三个内角都相等的三角形是等边三角形，
故（3）正确；
三边都相等的三角形是等边三角形，
故（4）正确；
等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，
故（5）正确；
故选：A．
4．C
【解析】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，
根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．
故选：C．
5．D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=10，∠A=60°，
∵D是AB的中点，
∴AD=AB=5，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD=2.5，
∴EC=AC﹣AE=7.5，
故选：D．
6．D
【解析】解：如图，作线段AC，以C为圆心，长为半径作圆C，则点B是圆C上的点，
由图形可知，在一个三角形中，若一边等于另一边的一半，那么这边所对的角度无法确定，
故选：D．
7．5
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AE⊥BC，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，∠CAE=∠BAE=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB=60°，
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，
∴60度的角一共有5个，
故答案为：5．
8．等边三角形
【解析】解：∵点在的延长线上，，
∴，
∵，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
9．AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC
【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°，
∴要使是等边三角形，则需要添加一条件是：AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC.
故答案为此题答案不唯一，如AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC.
10．120
【解析】∵△ABD、△ACE都是正三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△ADC≌△ABE(SAS)，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠DAB=∠BOD=60°，
∠BOC=180-∠BOD=120°，
故答案为：120
11．7
【解析】解：连接MA．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴MA=MB=14cm，
∴∠1=∠B=15°．
∵∠2是△ABM的外角，
∴∠2=∠1+∠B=15°+15°=30°．
在Rt△ACM中，∵∠2=30°，
∴ACMA12=7cm．
故答案为：7．
12．4.8
【解析】如图，，
∠B=∠C=30°，
又为直角三角形，∠B=30°，
故答案为：4.8．
13．证明见解析
【解析】∵OA=OB，∴∠A=∠B=60°．
又∵AB∥DC，∴∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°，∴△OCD是等边三角形．
14．
【解析】∵等边三角形中，是上的高，
∴BD=DC，∠B=60°，∠BAD=30°，
∵，
∴∠EDA=∠BAD=30°，△BDE是等边三角形，
∴BD=DE=BE=AE，
∵等边三角形ABC是轴对称图形，
∴CD=CF=DF=AF，
∴BD=DE=BE=AE=CD=CF=DF=AF，
故与BD相等的线段有DE、BE、AE、CD、CF、DF、AF．
15．见解析
【解析】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM=∠BAM=90°．
∴∠ABM=90°-∠ABC=30°．
∴∠M=90°-∠ABM=60°．
同理：∠N=∠G=60°．
∴△MNG为等边三角形．
16．5
【解析】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，
∴，
在Rt△ADE中，∠BAD=30°，
∴DE．
17．（1）见解析；（2）30゜
【解析】解：
（1）证明：如图，为等边三角形，
∴，
∴．
又∵，
∴．
又∵平分，
∴．
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴；
（2）∵，
∴．
18．（1）轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；（2）14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向．
【解析】解：（1）根据题意可知BA=28×0.5=14海里，
因为此时灯塔M在北偏东60°的方向上，
根据三角形外角定理可以得到∠BAM=∠M
所以BA=BM=14海里，
即轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（1）
轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，
所以BC=28×05=14海里，
所以BC=BM
又因为∠CBM=60°
所以△ABM为等边三角形
所以CM=14海里
所以灯塔M在轮船的南偏东60°方向
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