2021-2022学年苏科版九年级数学下册第5章二次函数期末综合复习训练（word解析版）

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《第5章二次函数》期末综合复习训练1（附答案）
1．若y＝（m+1）是二次函数，则m＝（　　）
A．7 B．﹣1 C．﹣1或7 D．以上都不对
2．已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
3．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣4）2﹣2
6．已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2 C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
7．函数y＝x2+2x﹣2写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣1
8．抛物线y＝﹣x2+2x﹣2与坐标轴的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A．0 B．0或2 C．0或2或﹣2 D．2或﹣2
10．下表是一组二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程ax2+bx+c＝0的一个近似根是x≈（　　）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
11．某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（　　）
A．y＝（30﹣x）（200+40x） B．y＝（30﹣x）（200+20x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣40x） D．y＝（30﹣x）（200﹣20x）
12．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　）
A．1m B．2m C．3m D．6m
13．如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（　　）平方米．
A．16 B．18 C．20 D．24
14．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　 　．
15．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为　 　．
16．如图已知二次函数y1＝x2+c与一次函数y2＝x+c的图象如图所示，则当y1＜y2时x的取值范围　 　．
17．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；
（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．
19．如图已知抛物线y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣m2+12交x轴于点A，交y轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使得△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，求出点P的坐标．
（3）将△ABC沿x轴向右移动t个单位长度（0＜t＜1）时，平移后△ABC和△ABO重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系．
20．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．
参考答案
1．解：由题意得：m2﹣6m﹣5＝2；且m+1≠0；
解得m＝7或﹣1；m≠﹣1，
∴m＝7，
故选：A．
2．解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，知a+b＞0，与y轴的交点为在y轴负半轴上，∴ab＜0，
∴a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴y＝ax+b的图象是C选项，
故选：C．
3．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
4．解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＝1，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
④1﹣（﹣）＝，﹣1＝，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴y1＝y2，结论④错误；
综上所述：正确的结论有②，1个，
故选：A．
5．解：∵抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的顶点坐标为（3，﹣4），
∴向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后的顶点坐标是（4，﹣2）
∴所得抛物线解析式是y＝（x﹣4）2﹣2，
故选：D．
6．解：∵二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点
∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将点（0，2）代入得
2＝﹣2a，解得a＝﹣1
故函数解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣2）
整理得：y＝﹣x2+x+2
故选：D．
7．解：y＝x2+2x﹣2，
＝x2+2x+1﹣1﹣2，
＝（x+1）2﹣3，
即y＝（x+1）2﹣3．
故选：C．
8．解：当x＝0时，y＝﹣2，
则与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
当y＝0时，﹣x2+2x﹣2＝0，
△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝﹣4＜0，
所以，该方程无解，即抛物线y＝﹣x2+2x﹣2与x轴无交点．
综上所述，抛物线y＝﹣x2+2x﹣2与坐标轴的交点个数是1个．
故选：B．
9．解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，
由上可得，m的值为0或2或﹣2，
故选：C．
10．解：观察表格得：方程ax2+bx+c＝0的一个近似根为1.2，
故选：C．
11．解：设每本降价x元，则售价为（30﹣x）元，销售量为（200+20x）本，
根据题意得，y＝（30﹣x）（200+20x），
故选：B．
12．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，
根据AB为4米可知：OA＝OB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
2×3﹣4＝2，
所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．
故选：B．
13．解：
设AB＝x，则BC＝12﹣2x
得矩形ABCD的面积：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18
即矩形ABCD的最大面积为18平方米
故选：B．
14．解：如图：y1＞y2＞y3．
故答案为y1＞y2＞y3．
15．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，
所以当x＝1时，函数取得最小值为5，
故答案为5．
16．解：由题意可得：x2+c＝x+c，
解得：x1＝0，x2＝1，
则当y1＜y2时x的取值范围：0＜x＜1．
故答案为：0＜x＜1．
17．解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：a＝，c＝﹣3．
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3
（2）令y＝0，则x2+x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4
∴A（﹣4，0）、B（1，0）
令x＝0，则y＝﹣3
∴C（0，﹣3）
∴S△ABC＝×AB×OC＝×5×3＝
设D（m，m2+m﹣3）
过点D作DE∥y轴交AC于E．直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，则E（m，﹣m﹣3）
DE＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）＝﹣（m+2）2+3
当m＝﹣2时，DE有最大值为3
此时，S△ACD有最大值为×DE×4＝2DE＝6
∴四边形ABCD的面积的最大值为6+＝．
（3）如图所示：
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P1（x，﹣3）
∴x2+x﹣3＝﹣3
解得x1＝0，x2＝﹣3
∴P1（﹣3，﹣3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P（x，3），
∴x2+x﹣3＝3，
解得x＝或x＝，
∴P2（，3）或P3（，3）
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）．
18．解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）C（0，2），
∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2，
当t＝时，AM＝3，
∵AB＝5，
∴MB＝2，
∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），
∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝MB×DM﹣MB×MN＝×2×2＝2；
（3）∵BM＝5﹣2t，
∴M（2t﹣1，0），
设P（2t﹣1，m），
∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，
∵PB＝PC，
∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，
∴m＝4t﹣5，
∴P（2t﹣1，4t﹣5），
∵PC⊥PB，
∴×＝﹣1
∴t＝1或t＝2，
∴M（1，0）或M（3，0），
∴D（1，3）或D（3，2）．
19．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣m2+12交y轴于点B（0，3），
∴﹣m2+12＝3，
∴m＝±3．
又∵抛物线的顶点C位于第二象限，
∴﹣＜0，
∴m＞1，
∴m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，如图1所示．
当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴点C的坐标为（﹣1，4），点D的坐标为（﹣1，0），
∴S△ABC＝S△ACD+S梯形CDOB﹣S△AOB，
＝AD CD+（OB+CD） OD﹣OA OB，
＝×2×4+×（3+4）×1﹣×3×3，
＝3．
∵S△PAB＝S△ABC，
∴AP OB＝3，
∴AP＝2，
∴点P的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）．
（3）设△ABC平移后得到△A′B′C′，A′B′与y轴交于点M，A′C′交AB于点N，如图2所示．
设线段AB所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣3，0），B（0，3）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴线段AB所在直线的解析式为y＝x+3．
同理，可得出线段AC所在直线的解析式为y＝2x+6．
∵将△ABC沿x轴向右移动t个单位长度（0＜t＜1）得到△A′B′C′，
∴点A′的坐标为（t﹣3，0），线段A′B′所在直线的解析式为y＝x+3﹣t（0＜t＜1），线段A′C′所在直线的解析式为y＝2x+6﹣2t（0＜t＜1）．
当x＝0时，y＝x+3﹣t＝3﹣t，
∴点M的坐标为（0，3﹣t）．
将y＝x+3代入y＝2x+6﹣2t，整理，得：x+3﹣2t＝0，
解得：x＝2t﹣3，
∴点N的坐标为（2t﹣3，2t），
∴S＝S△AOB﹣S△AA′N﹣S△A′OM，
＝OA OB﹣AA′ yA′﹣OA′ OM，
＝×3×3﹣t 2t﹣（3﹣t） （3﹣t），
＝﹣t2+3t．
∴S与t之间的函数关系式为S＝﹣t2+3t（0＜t＜1）．
20．解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6；
（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），
则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（3）①当∠ABP＝90°时，
直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6，
则直线PB的表达式中的k值为，
设直线PB的表达式为：y＝x+b，
将点B的坐标代入上式得：0＝3+b，
解得：b＝﹣，
即直线PB的表达式为：y＝x﹣，
当x＝1时，y＝﹣1，
即点P（1，﹣1）（舍去）；
②当∠AP（P′）B＝90°时，
点P′（1，0）；
③当∠PAB＝90°时，
同理可得：点P（﹣7，0），
故点P的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．