4.5相似三角形判定定理的证明 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
4.5 相似三角形判定定理的证明
第四章
图形的相似
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
学习目标
1.理解并掌握相似三角形判定定理的证明.
2.能综合利用相似三角形的判断定理判定两个三角形相似并解决问题.
　
导入新课
我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？
答：相似三角形的判定定理有：
(1)两角分别相等的两个三角形相似；
(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(3)三边成比例的两个三角形相似．
证明相似三角形的判定定理
两角分别相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
相似三角形的判定定理1：
探究新知
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B’
A’
C’
B
A
C
证明：两角分别相等的两个三角形相似
探究新知
证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分
别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE.
∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，
∴△A′DE≌△ABC,
∴∠A′DE=∠B，
又∵∠B′=∠B，
∴∠A′DE=∠B′，
∴DE∥B′C′，
B’
A’
D
E
C’
B
A
C
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
探究新知
过D连接DF// A′C′
∵ DF// A′C′ ,DE∥B′C′
∴四边形EDFC′是平行四边形
∴DE=FC′，
∵
∴△A′DE∽△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
F
探究新知
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'，
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
相似三角形的判定定理2：
探究新知
已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A= ∠A′，
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
∠ADE= ∠B′, ∠A ′ ED= ∠C′
∴△A′DE∽△A′B′C′.
求证：△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
证明：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
探究新知
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
探究新知
三边成比例的两个三角形相似
用数学符号表示：
∴ △ ABC ∽ △A1B1C1
∵
A
B
C
A1
B1
C1
相似三角形的判定定理3：
探究新知
A
B
C
A1
B1
C1
证明：三边成比例的两个三角形相似
已知：在△ ABC 与△A1B1C1中，
求证：△ ABC ∽ △A1B1C1
探究新知
证明:在△A1B1C1的边A1B1 (或延长线)上截取 A1D=AB,
过点D作DE∥B1C1交A1C1于点E.
∵ DE∥B1C1 ，
∴△ADE∽△A1B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
已知：在△ ABC 与△A1B1C1中，
求证：△ ABC ∽ △A1B1C1
探究新知
∴
又
∴
∴
∴
（SSS）
∵
∴
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
探究新知
相似三角形判定定理的运用
1．如图，已知AD∥BC，∠A＝∠BDC＝90°.
(1)求证：BA·BC＝DB·DC；
(2)若BD＝6，DC＝8，求AB的长．
证明:∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBC
又∠A＝∠BDC＝90°
∴△ABD∽△DCB
∴ ，
∴BA·BC＝DB·DC；
探究新知
(2)∵△ABD∽△DCB
∴ ，
又∵BD＝6，DC＝8，
∴BC＝
∴AB＝ .
1．如图，已知AD∥BC，∠A＝∠BDC＝90°.
(1)求证：BA·BC＝DB·DC；
(2)若BD＝6，DC＝8，求AB的长．
针对练习
.
2.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90°.
求证：
(1)△ACD∽△CBD；
(2)AD·BD＝CD2.
证明：(1) ∵∠A＋∠ACD＝90°，
∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD
又∵CD是Rt△ABC的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°
∴△ACD∽△CBD.
(2)由(1)知△ACD∽△CBD，
∴ ∴AD·BD＝CD2.
针对练习
3.如图，正方形ABCD的边长为4，BF＝1，E为AB点．
(1)证明图中一对相似三角形；
(2)求证： DE⊥EF.
(1)解： △ADE∽△BEF
证明如下：∵∠A＝∠B
E为AB中点，∴AE＝BE＝2
∴ ，
∴△ADE∽△BEF
针对练习
(2)证明：∵∠DEF＝180°－∠AED－∠BEF
＝180°－∠AED－∠ADE
＝∠A
＝90°
∴DE⊥EF
3.如图，正方形ABCD的边长为4，BF＝1，E为AB点．
(1)证明图中一对相似三角形；
(2)求证： DE⊥EF.
针对练习
课堂练习
1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
①
②
③
④
①③
2．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（　　）
A．一定相似
B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似
D．无法判断
A
课堂练习
3．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC．图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
C
课堂练习
4．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　　　．
①②
课堂练习
5.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长.
解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD =
∴
又∠B =∠ACD,
∴△ABC∽△DCA，
∴
∴AD=
A
B
C
D
课堂练习
6.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
C
D
A
B
解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC = AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD = 2 , AC = 8,
∴ AB = 4.
课堂练习
课堂小结
相似三角形判定定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
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