4.7.1相似三角形的性质（1） 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
4.7.1 相似三角形的性质1
第四章
图形的相似
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
学习目标
1．理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
2．能利用相似三角形的性质解决一些实际问题．
　
导入新课
A
C
B
A1
C1
B1
问题1： △ABC与△A1B1C1相似吗？
　
导入新课
A
C
B
A1
C1
B1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
△ABC∽ △A1B1C1
导入新课
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几
何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
相似三角形对应高的比等于相似比
1.如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
探究新知
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
探究新知
同理，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
总结
相似三角形对应高的比等于相似比．
探究新知
相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都
等于相似比
2.已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的中线
A'
B'
D'
C'
A
B
C
D
探究新知
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
∴ ∠B=∠B′，
又AD,A'D′分别为对应边的中线.
∴ △ABD∽△A′B′D′.
A'
B'
D'
C'
A
B
C
D
探究新知
总结
相似三角形对应的中线的比也等于相似比．
同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分线的比等于相似比．
探究新知
3.已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
且BE,B′E′是角的平方线，
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ∠B′A′C′= ∠BAC
又BE,B′E′分别为对应角的平方线
∴ ∠ABE= ∠A′B′E′
∴ △ABE∽△A′B′E′
探究新知
总结
1.(1)相似三角形对应高的比等于相似比．
(2)相似三角形对应中线的比等于相似比．
(3)相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
2．二级结论：相似三角形对应线段的比等于相似比．
3．易错警示：利用相似三角形的性质时，要注意“对
应”两字，要找准对应线段．

探究新知
例1：如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当 时，求DE的长.如果 呢？ 　
∴△ASR∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
B
A
E
R
C
D
S
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比)，
例题讲解
当 时，得 解得
B
A
E
R
C
D
S
当 时，得 解得
例题讲解
例2：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形。
（1）AE是Δ ASR的高吗？为什么？
（2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
（3）求正方形PQRS的边长。
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
例题讲解
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解： AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高
∴ ∠ADC=90 °
∵四边形PQRS是正方形
∴SR ∥BC
∴∠AER=∠ADC=90 °
∴ AE是ΔASR的高
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形。
例题讲解
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形。
（2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解： ΔASR与ΔABC相似 理由:
∵ SR∥BC
∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C
∴ ΔASR与ΔABC相似
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
例题讲解
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形。
（3）求正方形PQRS的边长。
是方程思想哦！
解：∵ ΔASR ∽ ΔABC
AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC
对应边上的高
∴
设正方形PQRS的边长为xcm,
则SR=DE=xcm AE=（40-x）cm
∴ 解得：x=24
∴正方形PQRS的边长为24cm.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
例题讲解
变式一：
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
例题讲解
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.
设SP=xcm，则SR=2xcm
得到：
所以 x=2 2x=4
S矩形PQRS= 2×4=8cm2
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况一：SR=2SP
例题讲解
设SR=xcm，则SP=2xcm
得到：
所以 x=2.5 2x=5
S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2
原来是分类思想呀！
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况二：SP=2SR
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm
例题讲解
例3：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，
则由相似性质有 .
解得x＝18.
较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
例题讲解
课堂练习
1．若△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，则△ABC与△DEF对应的高线之比为( )
A．1∶3 B．3∶1
C．9∶1 D．1∶9
B
2．已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的角平分线之比为3∶2，△ABC的最短边为4.5 cm，则△DEF的最短边为( )
A．6 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
C
课堂练习
3.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为(　　)
D
课堂练习
4.如图，若△ADE∽△ACB，且 , DE＝10，则BC＝____．
15
课堂练习
5.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40 mm，焦距是60 mm，求所拍摄的2 m外景物的宽CD.
解：由题意，可知△ABE∽△DCE
答：所拍摄的2 m外景物的宽CD为
课堂练习
6．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC，AG⊥BC于点G，与DE交于点F.已知，BC＝10，AF＝3.FG＝2，求DE的长．
课堂练习
课堂小结
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应中线的比等于相似比
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php